高中苏教版 (2019)第10章 三角恒等变换10.2 二倍角的三角函数同步练习题

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一、二倍角公式
1、二倍角的正弦（）：；变形
2、二倍角的余弦（）：.
3、二倍角的正切（）：
二、升（降）幂缩（扩）角公式
利用余弦的二倍角公式变形可得：
升幂公式：，
降幂公式：，
三、三角函数化简“三看”原则

四、辅助角公式
对于形如的式子，可变形如下：
=
由于上式中和的平方和为1，
故令，
则==
其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，
或由和共同确定．
题型一 二倍角的正弦公式
【例1】（2022秋·广东·高三校联考阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，得，
所以．故选：B.
【变式1-1】（2023·四川·校联考一模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由可得，，
即，故选：B
【变式1-2】（2023春·湖南·高一校联考开学考试）如果，且是第四象限的角，那么______.
【答案】
【解析】由于，且是第四象限的角，则，
所以.故答案为：
【变式1-3】（2023春·湖北黄冈·高一校考阶段练习）已知，，则角终边所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】∵，，
∴终边在第三象限．故选：C.
【变式1-4】（2022秋·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期末）设，则（ ）
A．- B．- C．- D．
【答案】D
【解析】由可得
；
所以.故选：D
题型二 二倍角的余弦公式
【例2】（2022·全国·高一课时练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
分子分母同时除以，得．故选：D.
【变式2-1】（2023秋·陕西宝鸡·高一统考期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】.故选：C.
【变式2-2】（2023秋·湖南益阳·高一统考期末）化简：（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】.故选：C
【变式2-3】（2023春·湖南株洲·高一株洲二中校考开学考试）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，
所以，，所以，
.故选:C.
题型三 二倍角的正切公式
【例3】（2023秋·陕西榆林·高一统考期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，则.故选：A
【变式3-1】（2023秋·云南·高一昆明一中校考期末）已知，则______．
【答案】
【解析】，
∴．
故答案为：.
【变式3-2】（2023·高一课时练习）求值：________．
【答案】
【解析】 ；故答案为： .
【变式3-3】（2023秋·河南·高一校联考期末）（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）．
（2）设，
则，即，解得，
又，所以．
【变式3-4】（2023秋·山东济南·高一济南市历城第二中学校考期末）已知的三个内角分别为、、，若满足，，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以在中，角为锐角，
由可得：，则，
所以，
则，故选：.
题型四 二倍角给值求值问题
【例4】（2022秋·广东深圳·高一校考期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，
故选：B.
【变式4-1】（2023春·湖北荆州·高一沙市中学校考阶段练习）已知，则_________．
【答案】.
【解析】注意到，
则.
故答案为：.
【变式4-2】（2023春·黑龙江·高一双鸭山一中校考开学考试）已知，则_________.
【答案】
【解析】因为，则
.
故答案为：.
【变式4-3】（2022·高一课时练习）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
所以，
所以.故选：C.
【变式4-4】（2023秋·吉林·高一松原市实验高级中学校考期末）已知α，β为锐角，，则______.
【答案】
【解析】因为，
所以，
因为β为锐角，所以.
故答案为：.
题型五 利用二倍角化简证明
【例5】（2023秋·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末）___________.
【答案】
【解析】
.
故答案为：.
【变式5-1】（2022·全国·高一课时练习）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】原式
.故选：D.
【变式5-2】（2022·高一课时练习）求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析.
【解析】（1）左边右边；
（2）左边右边.
【变式5-3】（2022·高一课时练习）函数的最小正周期为___________.
【答案】
【解析】因为
，即，
所以的最小正周期；
故答案为：
题型六 辅助角公式及其应用
【例6】（2023秋·江苏连云港·高一江苏省海头高级中学校考期末）（多选）下列计算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A，，
故A正确；
对于B，，
故B错误；
对于C，，
故C正确；
对于D，，
故D正确.故选：ACD
【变式6-1】（2023秋·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校考期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，则，
则，故选：D.
【变式6-2】（2022春·江苏徐州·高一校考阶段练习）已知函数在时取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为在时取得最大值，
所以，即，
所以
故选：C
【变式6-3】（2023·高一课时练习）设函数，其中，．求函数的值域．
【答案】
【解析】因为，
所以
，
因为，所以，
所以