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    12.3 复数的几何意义-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第二册)
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    苏教版 (2019)必修 第二册12.3 复数的几何意义课后练习题

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    这是一份苏教版 (2019)必修 第二册12.3 复数的几何意义课后练习题,文件包含123复数的几何意义原卷版docx、123复数的几何意义解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共16页, 欢迎下载使用。

    一、复数的几何意义
    1、复平面:当用直角坐标平面内的点来表示复数时,称这个直角坐标系为复平面,x轴为实轴,y轴为虚轴.
    2、复数的几何意义
    (1)任一个复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点Z(a,b)是一一对应的.
    (2)一个复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的向量OZ=(a,b)是一一对应的.
    【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系
    实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,
    原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0,表示的是实数.
    3、复数的模
    (1)定义:向量OZ的eq \a\vs4\al(模)r叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模或绝对值
    (2)记法:复数z=a+bi的模记为|z|或|a+bi|.
    (3)公式:|z|=|a+bi|=r=eq \r(a2+b2)(r≥0,r∈R).
    二、复数加法与减法的几何意义
    1、复数可以用向量来表示,已知复数z1=x1+y1i(x1、y1∈R),z2=x2+y2i(x2、y2∈R),
    其对应的向量OZ1=(x1,y1),OZ2=(x2,y2),
    如图1,且OZ1和OZ2不共线,
    以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2,
    根据向量的加法法则,对角线OZ所对应的向量OZ=OZ1+OZ2,
    而OZ1+OZ2所对应的坐标是(x1+x2,y1+y2),
    这正是两个复数之和z1+z2所对应的有序实数对.
    2、复数的减法是加法的逆运算,如图2,
    复数z1−z2与向量OZ1−OZ2等于Z2Z1)对应,
    这就是复数减法的几何意义.
    【注意】(1)根据复数加减法的几何意义知,两个复数对应向量的和向量所对应的复数就是这两个复数的和;两个复数对应向量的差向量所对应的复数就是这两个复数的差.
    (2)求两个复数对应向量的和,可使用平行四边形法则或三角形法则.
    (3)在确定两复数的差所对应的向量时,应按照三角形法则进行.
    拓展:由复数加减运算的几何意义可得出:||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|.
    题型一 复数对应的点所在象限
    【例1】(2023春·北京·高三北京市八一中学校考开学考试)在复平面内,复数对应的点位于( )
    A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
    【答案】A
    【解析】,
    故在复平面内对应的点坐标为,位于第一象限.故选:A
    【变式1-1】(2023春·河北承德·高三河北省滦平县第一中学校考阶段练习)若复数满足,则在复平面内复数对应的点位于( )
    A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
    【答案】D
    【解析】由题意,
    对应点坐标为,在第四象限.故选:D.
    【变式1-2】(2023·全国·校联考一模)已知是关于的方程的一个根,则复数在复平面内对应的点位于( )
    A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
    【答案】B
    【解析】因为是关于的方程的一个根,
    所以方程的另外一个根为,则,
    所以,
    所以在复平面内对应的点位于第二象限.故选:B.
    【变式1-3】(2023春·山西晋城·高三校考阶段练习)若复数满足,则在复平面内对应的点所在的象限为( )
    A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
    【答案】B
    【解析】因为,
    故由,可得,
    故在复平面内对应的点,在第二象限内,故选:B
    【变式1-4】(辽宁省名校联盟2023届高三下学期3月份联合考试数学试题)已知复数,(且),则对应的点在平面直角坐标系内的( )
    A.轴上 B.轴上 C.一、二象限 D.三、四象限
    【答案】A
    【解析】,,

    又,则对应的点在平面直角坐标系内的轴上故选:A
    题型二 复数的坐标表示
    【例2】(2023春·浙江·高一校联考阶段练习)已知复平面内的平行四边形ABCD,三个顶点A,B,C对应的复数分别是1+2i,-2+i,0,那么点D对应的复数为( )
    A.1-3i B.3-i C.3+i D.-1+3i
    【答案】C
    【解析】根据复数的几何意义可知,
    设,则由,
    所以,因此对应的复数为:3+i,故选:C
    【变式2-1】(2023·高一课时练习)复平面上有A、B、C三点,点对应的复数为,对应的复数为,对应的复数为,则点的坐标为______.
    【答案】
    【解析】因为对应的复数是,对应的复数为,又,
    所以对应的复数为,又,
    所以点对应的复数为,
    所以点的坐标为.
    【变式2-2】(2023·高一单元测试)在复平面内,复数对应点,复数对应点,把向量绕点顺时针旋转得到向量,则点P对应的复数是______.
    【答案】
    【解析】由题意知向量对应的复数是,
    再由复数乘法的几何意义得,向量对应的复数是,
    最后由复数加法的几何意义得,向量,
    其对应的复数是,
    所以点P对应的复数是.
    【变式2-3】(2022·高一课前预习)已知平行四边形ABCD中,与对应的复数分别是3+2i与1+4i,两对角线AC与BD相交于P点.
    (1)求对应的复数;
    (2)求对应的复数;
    (3)求△APB的面积.
    【答案】(1)-2+2i;(2)5;(3).
    【解析】由题意,画出平行四边形如下图示
    (1)在平行四边形ABCD中,有
    ∴有 = (1+4i)-(3+2i)=-2+2i
    即对应的复数是-2+2i
    (2)∵= (3+2i)-(-2+2i)=5
    即对应的复数是5
    (3)∵,
    ∴,而,

    ∴cs∠APB=,故sin∠APB=

    即的面积为
    题型三 求复数的模
    【例3】(2022春·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习)若复数满足(i是虚数单位),则的模长等于( )
    A.1 B. C. D.
    【答案】D
    【解析】因为
    所以,所以
    所以
    故的模长为,故选:D
    【变式3-1】(2022春·河南濮阳·高一校考阶段练习)设复数满足,则__________.
    【答案】
    【解析】复数z满足,则,
    所以.
    【变式3-2】(2023·高一课时练习)已知复数(i为虚数单位),求复数的模.
    【答案】
    【解析】因为复数,则,
    所以,

    .
    【变式3-3】(2021·高一课前预习)(多选)表示
    A.点与点之间的距离 B.点与点之间的距离
    C.点到原点的距离 D.坐标为的向量的模
    【答案】ACD
    【解析】由复数的几何意义,知复数,分别对应复平面内的点与点,
    所以表示点与点之间的距离,故A说法正确,B说法错误;
    ,可表示点到原点的距离,故C说法正确;
    ,可表示表示点到原点的距离,
    即坐标为的向量的模,故D说法正确,故选:ACD
    【变式3-4】(2023·高一单元测试)复数.若,则( )的值与a、b的值无关.
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】因为,所以,
    所以,
    又,所以,
    ,所以,
    因为,所以,所以,所以,
    所以,即的值与a、b的值无关.故选:A.
    题型四 复数模有关的最值问题
    【例4】(2023·全国·高一专题练习)已知复数z满足,则的最小值为( )
    A.1 B.2 C. D.
    【答案】B
    【解析】设复数z在复平面内对应的点为Z,
    因为复数z满足,
    所以由复数的几何意义可知,点到点和的距离相等,
    所以在复平面内点的轨迹为轴,
    又表示点到点的距离,
    所以问题转化为轴上的动点到定点距离的最小值,
    所以的最小值为2,故选:B.
    【变式4-1】(2022春·福建厦门·高一厦门外国语学校校考期中)已知z1、z2为复数,且|z1|=2,若z1+z2=2i,则|z1﹣z2|的最大值是( )
    A.5 B.6 C.7 D.8
    【答案】B
    【解析】z1+z2=2i,∴z2=2i﹣z1,则|z1﹣z2|=|2z1﹣2i|=2|z1﹣i|,
    |z1|=2,∴z1在复平面内所对应的点P的轨迹是以原点为圆心,以2为半径的圆,
    所对应的点坐标为A(0,1),
    |z1﹣i|表示P,A的距离,
    ∴|z1﹣i|≤3,2|z1﹣i|≤2×3=6,z1=﹣2i时取等号,
    |z1﹣z2|的最大值为6,故选:B.
    【变式4-2】(2023·全国·高一专题练习)若且,则最大值是_______________.
    【答案】3
    【解析】的几何意义为复平面动点到定点距离为1的点的轨迹,
    可看成圆,表示圆上的点到原点的距离,
    所以最大值为圆O1到原点距离加上半径1,即 .
    【变式4-3】(2023·全国·高一专题练习)已知,则 的最小值是_________.
    【答案】1
    【解析】因为,所以z在复平面内所对应的点Z在以原点O为圆心,半径为的圆上.
    ,表示Z到点所对应的点的距离,
    ,所以.
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