高中数学苏教版 (2019)必修 第二册10.2 二倍角的三角函数获奖教案

编号：014     课题:§10.2  二倍角的三角函数

目标要求

1、理解并掌握二倍角的正弦、余弦和正切公式以及倍角公式的变换．

2、理解并掌握给角求值、条件求值问题．

3、理解并掌握化简、证明问题．

4、理解并掌握倍角公式与三角函数性质的综合问题.

学科素养目标

三角恒等变换公式是联系三角函数与平面向量，物理应用知识的桥梁.三角恒等变换公式中的“拆与添”、方程组思想等技巧都是数学常用思想方法.突出计算能力，逻辑推理能力，分析问题和解决实际应用问题的能力．

重点难点

重点：化简、证明问题；

难点：倍角公式与三角函数性质的综合问题．

教学过程

基础知识点

1.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)公式:

(2)本质:两角和的正弦、余弦、正切公式,当两角相等时的特殊形式.

(3)应用:①化简;②求值;③证明.

【思考】

(1)所谓的“二倍角”公式,一定是角与之间的转化关系吗?为什么?

(2)公式中的角是任意角吗?

提

2.倍角公式的变换

(1)因式分解变换

.

(2)配方变换

.

(3)升幂缩角变换

.

(4)降幂扩角变换

.

【课前基础演练】

题1.（多选）下列命题正确的是    (     )

A. 倍角的正切公式的适用范围不是任意角.

B. 对于任意的角,都有成立.

C. 存在角,使成立.

D. 对任意的角都成立.

题2. sin 15°sin 75°的值为     (     )

 A.              B.                C.              D.

题3.已知,则sin 2α=________,cos 2α=________,tan 2α=________.

 关键能力·合作学习

类型一 给角求值问题(数学运算)

【题组训练】

题4.     (     )

A.              B.               C.1              D.

题5.        (     )

A.1             B.2             C.             D.

题6..

【解题策略】利用二倍角公式解决给角求值问题的策略

(1)注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系,灵活正用或逆用二倍角公式.

(2)结合诱导公式恰当变化函数名称,灵活处理系数,构造二倍角公式的形式.

【补偿训练】题7.列各式的值:

(1)；

(2);

(3).

类型二 条件求值问题(数学运算)

【典例】题8.已知,求的值.

【解题策略】解决条件求值问题的方法

(1)将已知式或未知式化简,使关系明朗化;

(2)寻找角之间的关系,特别是已知角与要求的角之间的二倍关系,如果二倍关系中含有已知角和某些特殊角,则利用诱导公式转化后整体代入.

【跟踪训练】

题9.已知,求和的值.

【补偿训练】题10.已知,且，求.

类型三 化简、证明问题(数学运算、逻辑推理)

角度1 化简问题

【典例】题11.化简:（1）；（2）.

【变式探究】

题12.化简.

角度2 证明问题

【典例】题13.证明.

【解题策略】

1.化简三角函数式的常用方法

(1)切化弦;(2)异名化同名;(3)异角化同角;(4)高次降低次.

2.化简三角函数式的常用技巧

(1)特殊角的三角函数与特殊值的互化;

(2)对于分式形式,应分别对分子、分母进行变形处理,有公因式的提取公因式后进行约分;

(3)对于二次根式,注意倍角公式的逆用;

(4)利用角与角之间的隐含关系,如互余、互补等.

3.证明问题的原则及一般步骤

(1)观察式子两端的结构形式,一般是从复杂到简单,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想.

(2)证明的一般步骤是:先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异,然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的.

【题组训练】

题14.的化简结果为      (     )

A.          B.          C.          D.

题15.求证:.

题16.化简:,其中.

类型四 倍角公式与三角函数性质的综合(逻辑推理、数学运算)

【典例】题17.求函数的最小值,

并求其单调减区间.

【解题策略】倍角公式与三角函数性质的综合问题的解题策略

运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y=asin ωx+bcos ωx+k的形式,借助辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ)+k(或y=Acos(ωx+φ)+k)的形式,将ωx+φ看作一个整体研究函数的性质.

【跟踪训练】

题18.求函数的最小正周期和最小值,并写出该函数在上的单调递减区间.

课堂检测·素养达标

题19.已知,则的值为       (    ) 

A.              B.                C.               D.

题20.计算的结果为     (     )

 A.             B.              C.             D.

【补偿训练】

 题21.的值为   (    )

 A.              B.             C.              D.

题22.已知,则等于________.

题23.函数的最小正周期是________.

题24.求证:.

编号：014     课题:§10.2  二倍角的三角函数

目标要求

1、理解并掌握二倍角的正弦、余弦和正切公式以及倍角公式的变换．

2、理解并掌握给角求值、条件求值问题．

3、理解并掌握化简、证明问题．

4、理解并掌握倍角公式与三角函数性质的综合问题.

学科素养目标

三角恒等变换公式是联系三角函数与平面向量，物理应用知识的桥梁.三角恒等变换公式中的“拆与添”、方程组思想等技巧都是数学常用思想方法.突出计算能力，逻辑推理能力，分析问题和解决实际应用问题的能力．

重点难点

重点：化简、证明问题；

难点：倍角公式与三角函数性质的综合问题．

教学过程

基础知识点

1.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)公式:

(2)本质:两角和的正弦、余弦、正切公式,当两角相等时的特殊形式.

(3)应用:①化简;②求值;③证明.

【思考】

(1)所谓的“二倍角”公式,一定是角与之间的转化关系吗?为什么?

提示:不一定.对于“二倍角”应该广义的理解,如:是的二倍角,是的二倍角,是的二倍角, 是的二倍角,…,这里蕴含着换元思想.这就是说“倍”是相对而言的,是描述两个数量之间关系的.

(2)公式中的角是任意角吗?

提示:对于公式中的角是任意角,但是中的角要保证有意义且分母.

2.倍角公式的变换

(1)因式分解变换

.

(2)配方变换

.

(3)升幂缩角变换

.

(4)降幂扩角变换

.

【课前基础演练】

题1.（多选）下列命题正确的是    (     )

A. 倍角的正切公式的适用范围不是任意角.

B. 对于任意的角,都有成立.

C. 存在角,使成立.

D. 对任意的角都成立.

【答案】选ACD

提示:A√.倍角的正切公式,要求且,故此说法正确.

B×.当时,,而.

C√.由,得时, 成立.

D√.由倍角的正弦公式可得.

题2. sin 15°sin 75°的值为     (     )

 A.              B.                C.              D.

【解析】选B.原式.

题3.已知,则sin 2α=________,cos 2α=________,tan 2α=________.

【解析】因为,所以,

所以.

答案:

 关键能力·合作学习

类型一 给角求值问题(数学运算)

【题组训练】

题4.     (     )

A.              B.               C.1              D.

【解析】选A.原式.

题5.        (     )

A.1             B.2             C.             D.

【解析】选B. .

题6..

【解析】原式.

答案:

【解题策略】利用二倍角公式解决给角求值问题的策略

(1)注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系,灵活正用或逆用二倍角公式.

(2)结合诱导公式恰当变化函数名称,灵活处理系数,构造二倍角公式的形式.

【补偿训练】题7.列各式的值:

(1)；

(2);

(3).

【解析】(1)原式.

(2)原式.

(3)原式.

类型二 条件求值问题(数学运算)

【典例】题8.已知,求的值.

【解题策略】解决条件求值问题的方法

(1)将已知式或未知式化简,使关系明朗化;

(2)寻找角之间的关系,特别是已知角与要求的角之间的二倍关系,如果二倍关系中含有已知角和某些特殊角,则利用诱导公式转化后整体代入.

【跟踪训练】

题9.已知,求和的值.

【解析】由，得，则，即.

因为，所以，所以，

.

【补偿训练】题10.已知,且，求.

【解析】因为，

，

所以原式可化为，

解得或.

因为,所以,故或,

即或.

类型三 化简、证明问题(数学运算、逻辑推理)

角度1 化简问题

【典例】题11.化简:（1）；（2）.

【思路导引】结合题目特点,利用二倍角的正弦、余弦公式化简.

【解析】(1)原式.

(2)原式

.

【变式探究】

题12.化简.

【解析】原式

            .

角度2 证明问题

【典例】题13.证明.

【思路导引】利用二倍角公式化简左边式子求解.

【解析】.

【解题策略】

1.化简三角函数式的常用方法

(1)切化弦;(2)异名化同名;(3)异角化同角;(4)高次降低次.

2.化简三角函数式的常用技巧

(1)特殊角的三角函数与特殊值的互化;

(2)对于分式形式,应分别对分子、分母进行变形处理,有公因式的提取公因式后进行约分;

(3)对于二次根式,注意倍角公式的逆用;

(4)利用角与角之间的隐含关系,如互余、互补等.

3.证明问题的原则及一般步骤

(1)观察式子两端的结构形式,一般是从复杂到简单,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想.

(2)证明的一般步骤是:先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异,然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的.

【题组训练】

题14.的化简结果为      (     )

A.          B.          C.          D.

【解析】选B..

题15.求证:.

【证明】方法一:左边右边,得证.

方法二:

右边左边,得证.

题16.化简:,其中.

【解析】原式

 .

①当时,,

此时原式.

②当时,,

此时原式.

类型四 倍角公式与三角函数性质的综合(逻辑推理、数学运算)

【典例】题17.求函数的最小值,

并求其单调减区间.

【思路导引】

化简f(x)的解析式→f(x)=Asin(ωx+φ)+B→ωx+φ的范围→求最小值,单调减区间.

【解析】

       ,

因为,所以,所以,

所以当,即时,f(x)取最小值为.

因为在上单调递增,所以f(x)在上单调递减.

【解题策略】倍角公式与三角函数性质的综合问题的解题策略

运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y=asin ωx+bcos ωx+k的形式,借助辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ)+k(或y=Acos(ωx+φ)+k)的形式,将ωx+φ看作一个整体研究函数的性质.

【跟踪训练】

题18.求函数的最小正周期和最小值,并写出该函数在上的单调递减区间.

【解析】

  ,

所以.

由,得,

又,所以令k=0,得函数的单调递减区间为.

课堂检测·素养达标

题19.已知,则的值为       (    ) 

A.              B.                C.               D.

【解析】选A.因为,所以.

题20.计算的结果为     (     )

 A.             B.              C.             D.

【解析】选B. .

【补偿训练】

 题21.的值为   (    )

 A.              B.             C.              D.

【解析】选B..

题22.已知,则等于________.

【解析】由得.

答案:  

题23.函数的最小正周期是________.

【解析】

            ,

故最小正周期为.

答案:

题24.求证:.

【证明】左边 =

 右边,所以等式成立.