高中数学苏教版 (2019)必修 第二册10.2 二倍角的三角函数导学案

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册10.2 二倍角的三角函数导学案，共6页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．sin 10°sin 50°sin 70°＝( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,4) C．eq \f(1,8) D．eq \f(1,16)
C [sin 10°sin 50°sin 70°＝sin 10°cs 40°cs 20°＝eq \f(sin 10°cs 10°cs 20°cs 40°,cs 10°)＝eq \f(\f(1,8)sin 80°,cs 10°)＝eq \f(1,8)．]
2．已知sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))，则cs 2α＝( )
A．1 B．－1 C．eq \f(1,2) D．0
D [因为sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))，所以eq \f(1,2)cs α－eq \f(\r(3),2)sin α＝eq \f(\r(3),2)cs α－eq \f(1,2)sin α，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(\r(3),2)))sin α＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(\r(3),2)))cs α，所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－1，所以cs 2α＝cs2α－sin2α＝eq \f(cs2α－sin2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(1－tan2α,tan2α＋1)＝0，故选D． ]
3．设cs 2θ＝eq \f(\r(2),3)，则cs4θ＋sin4θ＝( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(4,9) C．eq \f(11,18) D．eq \f(13,18)
C [cs4θ＋sin4θ＝(cs2θ＋sin2θ)2－2cs2θsin2θ＝1－eq \f(1,2)sin22θ＝1－eq \f(1,2)(1－cs22θ)
＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)cs22θ＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(11,18)．]
4．若tan θ＋eq \f(1,tan θ)＝4，则sin 2θ＝( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2) C．eq \f(\r(3),2) D．eq \f(2,3)
A [由tan θ＋eq \f(1,tan θ)＝eq \f(sin θ,cs θ)＋eq \f(cs θ,sin θ)＝eq \f(1,sin θcs θ)＝4，
得sin θcs θ＝eq \f(1,4)，则sin 2θ＝2sin θcs θ＝2×eq \f(1,4)＝eq \f(1,2)．]
5．若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且sin2α＋cs 2α＝eq \f(1,4)，则tan α＝( )
A．eq \f(\r(3),3) B．1 C．eq \f(4,3) D．eq \r(3)
D [∵sin2α＋cs 2α＝eq \f(1,4)，
∴sin2α＋cs2α－sin2α＝eq \f(1,4)，
∴cs2α＝eq \f(1,4)．
又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
∴cs α＝eq \f(1,2)，sin α＝eq \f(\r(3),2)．∴tan α＝eq \r(3)．]
二、填空题
6．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝eq \f(1,2)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(α,2)))＝－eq \f(1,3)，则tan(α＋β)＝________．
eq \f(7,24) [∵taneq \f(α＋β,2)＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(α,2)))))
＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(α,2))),1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(α,2))))
＝eq \f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))＝eq \f(1,7)，
∴tan(α＋β)＝eq \f(2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α＋β,2))),1－tan2\f(α＋β,2))＝eq \f(2×\f(1,7),1－\f(1,49))＝eq \f(7,24)．]
7．设α为锐角，若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,12)))的值为________．
eq \f(17\r(2),50) [∵α为锐角，
∴α＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，
又∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(3,5)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(24,25)，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－1＝eq \f(7,25)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,12)))
＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))－\f(π,4)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))cs eq \f(π,4)－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))sin eq \f(π,4)
＝eq \f(24,25)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(7,25)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(17\r(2),50)．]
8．若θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,12)))，且2sin2θ＋eq \r(3)sin 2θ＝－eq \f(1,5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,12)))＝________．
eq \f(1,7) [由2sin2θ＋eq \r(3)sin 2θ＝－eq \f(1,5)，得1－cs 2θ＋eq \r(3)sin 2θ＝－eq \f(1,5)，得cs 2θ－eq \r(3)sin 2θ＝eq \f(6,5)，
2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3)))＝eq \f(6,5)，即cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3)))＝eq \f(3,5)，
又θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,12)))，
所以2θ＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3)))＝eq \f(4,3)，
所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,12)))＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3)))－\f(π,4)))
＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3)))－tan\f(π,4),1＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3)))tan\f(π,4))＝eq \f(1,7)．]
三、解答题
9．已知sin α＋cs α＝eq \f(1,3)，0<α<π，求sin 2α，cs 2α，tan 2α的值．
[解] ∵sin α＋cs α＝eq \f(1,3)，
∴sin2α＋cs2α＋2sin αcs α＝eq \f(1,9)，
∴sin 2α＝－eq \f(8,9)且sin αcs α＝－eq \f(4,9)<0．
∵0<α<π，sin α>0，
∴cs α<0．
∴sin α－cs α>0．
∴sin α－cs α＝eq \r(sin α－cs α2)＝eq \r(1－sin 2α)
＝eq \f(\r(17),3)．
∴cs 2α＝cs2α－sin2α＝(sin α＋cs α)(cs α－sin α)＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(17),3)))＝－eq \f(\r(17),9)．
tan 2α＝eq \f(sin 2α,cs 2α)＝eq \f(8\r(17),17)．
10．已知函数f(x)＝(a＋2cs2x)cs(2x＋θ)为奇函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．
(1)求a，θ的值；
(2)若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,4)))＝－eq \f(2,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))的值．
[解] (1)因为f(x)＝(a＋2cs2x)cs(2x＋θ)是奇函数，而y1＝a＋2cs2x为偶函数，所以y2＝cs(2x＋θ)为奇函数，又θ∈(0，π)，则θ＝eq \f(π,2)，所以f(x)＝－sin 2x(a＋2cs2x)，
由f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝0得－(a＋1)＝0，得a＝－1．
(2)由(1)得，f(x)＝－eq \f(1,2)sin 4x，
因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,4)))＝－eq \f(1,2)sin α＝－eq \f(2,5)，即sin α＝eq \f(4,5)，
又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，从而cs α＝－eq \f(3,5)，
所以有sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝sin αcs eq \f(π,3)＋cs αsin eq \f(π,3)＝eq \f(4－3\r(3),10)．
11．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则eq \f(m\r(n),2cs227°－1)＝( )
A．8 B．4 C．2 D．1
C [因为m＝2sin 18°，m2＋n＝4，所以n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cs218°．
所以eq \f(m\r(n),2cs227°－1)＝eq \f(2sin18 °\r(4cs218°),2cs227°－1)＝eq \f(4sin 18°cs 18°,2cs227°－1)＝eq \f(2sin 36°,cs 54°)＝eq \f(2sin 36°,sin 36°)＝2．故选C．]
12．(多选题)下列各式中，值为eq \f(\r(3),2)的是( )
A．2sin15°cs15° B．eq \f(1＋tan 15°,21－tan 15°)
C．1－2sin215° D．eq \f(3tan 15°,1－tan215°)
BCD [2sin 15°cs 15°＝sin 30°＝eq \f(1,2)；
eq \f(1＋tan 15°,21－tan 15°)＝eq \f(tan 45°＋tan 15°,21－tan 45°tan 15°)＝eq \f(1,2)tan(45°＋15°)＝eq \f(1,2)tan 60°＝eq \f(\r(3),2)；
1－2sin2 15°＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2)；
eq \f(3tan 15°,1－tan215°)＝eq \f(3,2)·eq \f(2tan 15°,1－tan215°)＝eq \f(3,2)tan 30°＝eq \f(\r(3),2)．
故选BCD．]
13．化简：eq \f(1＋cs 20°,2sin 20°)－sin 10°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,tan 5°)－tan 5°))＝___________．
eq \f(\r(3),2) [原式＝eq \f(2cs210°,4sin 10°cs 10°)－sin 10°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs 5°,sin 5°)－\f(sin 5°,cs 5°)))
＝eq \f(cs 10°,2sin 10°)－sin 10°×eq \f(2cs 10°,sin 10°)
＝eq \f(cs 10°－2sin30°－10°,2sin 10°)
＝eq \f(cs 10°－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 10°－\f(\r(3),2)sin 10°)),2sin 10°)
＝eq \f(\r(3)sin 10°,2sin 10°)＝eq \f(\r(3),2)．]
14．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(2,3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝________，sin 2α＝________．
eq \f(2,3) －eq \f(1,9) [sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(2,3)，
sin 2α＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2α))＝2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))－1＝2×eq \f(4,9)－1
＝－eq \f(1,9)．]
15．如图所示，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿由点B到点E的方向前进30 m至点C，测得顶端A的仰角为2θ，再沿刚才的方向继续前进10eq \r(3) m到点D，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．
[解] ∵∠ACD＝θ＋∠BAC＝2θ，
∴∠BAC＝θ，∴AC＝BC＝30 m．
又∠ADE＝2θ＋∠CAD＝4θ，
∴∠CAD＝2θ，
∴AD＝CD＝10eq \r(3) m．
∴在Rt△ADE中，AE＝AD·sin 4θ＝10eq \r(3)sin 4θ(m)，
在Rt△ACE中，AE＝AC·sin 2θ＝30sin 2θ(m)，
∴10eq \r(3)sin 4θ＝30sin 2θ，
即20eq \r(3)sin 2θcs 2θ＝30sin 2θ，
∴cs 2θ＝eq \f(\r(3),2)，
又2θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
∴2θ＝eq \f(π,6)，∴θ＝eq \f(π,12)，
∴AE＝30sineq \f(π,6)＝15(m)，
∴θ＝eq \f(π,12)，建筑物AE的高为15 m．