高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.3* 复数的三角表示课后练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.3* 复数的三角表示课后练习题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题（共12题）
复数 z=−sin100∘+ics100∘ 的辐角主值是
A． 80∘ B． 100∘ C． 190∘ D． 260∘
复数 z=csπ4+isinπ4 的辐角的主值是
A． 3π4 B． π4 C． −3π4 D． −π4
据记载，欧拉公式 eiθ=csθ+sinθ⋅i（θ∈R）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”，特别是当 θ=π 时，得到一令人着迷的优美恒等式 eiπ=−1，将数学中五个重要的数（自然数的底 e，圆周率 π，虚数单位 i，自然数的单位 1 和零元 0）联系到一起，很多数学家评价它是“最完美的数学公式”，根据欧拉公式，在复平面内，若复数 z=eiπ2 对应的点为 z，将向量 OZ 绕原点 O 按逆时针方向旋转 π6，所得向量对应的复数是
A． −12+32i B． −32+12i C． −12−32i D． −32−12i
将复数 4cs−π2+isin−π2 化成代数形式，正确的是
A． 4 B． −4 C． 4i D． −4i
若 z=csθ+isinθ（θ∈R，i 是虚数单位），则 z−2−2i 的最小值是
A． 22 B． 2 C． 22+1 D． 22−1
复数 1+3i 的三角形式是
A． csπ3+isinπ3 B． 2csπ3+isinπ3
C． csπ6+isinπ6 D． 2csπ6+isinπ6
复数 z=−3csπ5−isinπ5（i 是虚数单位）的三角形式是
A． 3cs−π5+isin−π5
B． 3csπ5+isinπ5
C． 3cs4π5+isin4π5
D． 3cs6π5−isin6π5
设 π<θ<5π4，则复数 cs2θ+isin2θcsθ−isinθ 的辐角的主值为
A． 2π−3θ B． 3θ−2π C． 3θ D． 3θ−π
若复数 1+i1−in 为实数，则正整数 n 的最小值是
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
欧拉公式 eix=csx+isinx（i 为虚数单位，x∈R，e 为自然底数）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：① eiπ+1=0；② csπ10+isinπ10cs2π10+isin2π10⋯cs9π10+isin9π10=i；则以上两个结论的对错情况为
A．①②均正确B．①②均错误C．①对②错D．①错②对
将复数 1+i 对应的向量 OM 绕原点按逆时针方向旋转 π4，可得到的向量为 OM1，那么 OM1 对应的复数是
A． 2i B． 2i C． 22+22i D． 2+2i
复数 −i 的一个立方根是 i ,它的另外两个立方根是
A． 32±12i B． −32±12i C． ±32+12i D． ±32−12i
二、填空题（共5题）
已知 θ∈0,π4，复数 z=2csθ+isinθ，则 ∣z∣ 的取值范围是 ．
复数 −12−32i 的三角形式是 ．
将复数 32cs2π3+isin2π3 化为代数形式为 ．
若复数 z 满足 z−1z=12，argz−1z=π3，则 z= ．
计算：2csπ12+isinπ12⋅3csπ6+isinπ6= ．
三、解答题（共3题）
设 z 满足 z−1z=12，argz−1z=π3，求 z．
计算：1+3i5162csπ6−isinπ6．
将下列复数表示为三角形式：
(1) 12+32i；
(2) −1−3i；
(3) 33−3i；
(4) −4+3i．
答案
一、选择题（共12题）
1. 【答案】C
【解析】 z=−sin100∘+ics100∘=cs190∘+isin190∘．
2. 【答案】B
【解析】由辐角的主值的定义，知复数 z=csπ4+isinπ4 的辐角的主值是 π4．
3. 【答案】A
【解析】根据题意：z=eiπ2=csπ2+sinπ2⋅i=i，
向量 OZ 绕原点 O 按逆时针方向旋转 π6 得到的复数 z1=−12+32i．
4. 【答案】D
【解析】 4cs−π2+isin−π2=40+i−1=−4i．
5. 【答案】D
【解析】 z−2−2i=csθ−2+sinθ−2i=csθ−22+sinθ−22=9−4sinθ+csθ=9−42sinθ+π4≥9−42=22−1,
所以 z−2−2i 的最小值为 22−1．
6. 【答案】B
【解析】 1+3i=212+32i=2csπ3+isinπ3．
7. 【答案】C
【解析】由复数的三角形式 z=rcsθ+isinθ 得，
z=−3csπ5−isinπ5=3−csπ5+isinπ5=3cs4π5+isin4π5．
8. 【答案】B
【解析】 cs2θ+isin2θcsθ−isinθ=cs2θ+isin2θcs−θ+isin−θ=cs3θ+isin3θ .
因为 π<θ<5π4，
所以 3π<3θ<15π4，
所以 π<3θ−2π<7π4 .
9. 【答案】B
【解析】 1+i1−in=2csπ4+isinπ4n2cs7π4+isin7π4n=csπ2+isinπ2n=csnπ2+isinnπ2,
由题意得 csnπ2≠0,sinnπ2=0,
所以正整数 n 的最小值为 2．
10. 【答案】A
11. 【答案】B
【解析】复数 1+i 的三角形式是 2csπ4+isinπ4，向量 OM1 对应的复数是 2csπ4+isinπ4×csπ4+isinπ4=2csπ2+isinπ2=2i．
12. 【答案】D
【解析】因为 −i=cs3π2+isin3π2，
所以 −i 的立方根为 cs3π2+2kπ3+isin3π2+2kπ3（其中 k=0,1,2）．
当 k=0 时，得 csπ2+isinπ2=i；
当 k=1 时，得 cs7π6+isin7π6=−32−12i；
当 k=2 时，得 cs11π6+isin11π6=32−12i．
二、填空题（共5题）
13. 【答案】 [102,2]
【解析】由题意得 ∣z∣=4cs2θ+sin2θ=1+3cs2θ，
又 θ∈0,π4，
所以 22≤csθ≤1，12≤cs2θ≤1，
所以 52≤1+3cs2θ≤4，
故 102≤∣z∣≤2．
14. 【答案】 cs4π3+isin4π3
【解析】 −12−32i=cs4π3+isin4π3．
15. 【答案】 −322+362i
【解析】 32cs2π3+isin2π3=32−12+32i=−322+362i．
16. 【答案】 1+33i
【解析】设 z−1z=z0，则 z0=12，argz0=π3，
所以 z0=12csπ3+isinπ3=14+34i，
所以 z−1z=14+34i，解得 z=1+33i．
17. 【答案】 3+3i
【解析】 2csπ12+isinπ12⋅3csπ6+isinπ6=6csπ4+isinπ4=3+3i.
三、解答题（共3题）
18. 【答案】由已知得 z−1z=12csπ3+isinπ3，
即 1−1z=14+34i，
所以 1z=34−34i，
所以 z=433−i=333+i=1+33i．
19. 【答案】 原式=2csπ3+isinπ35162cs−π6+isin−π6=25162×cs5π3+π6+isin5π3+π6=2cs11π6+isin11π6=232−12i=62−22i.
20. 【答案】
(1) 12+32i=csπ3+isinπ3．
(2) −1−3i=2−12−32i=2cs4π3+isin4π3．
(3) 33−3i=632−12i=6cs11π6+isin11π6．
(4) −4+3i=5−45+35i=5csθ+isinθtanθ=−34．