2023-2024学年重庆市綦江区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年重庆市綦江区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列手机中的图标是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.已知图中的两个三角形全等，则∠1的度数是( )
A. 76°B. 60°C. 54°D. 50°
3.图1是被称作“通州八景”之一的燃灯佛舍利塔，它巍峨挺拔，雄伟壮观，始建于北周年间，是北京地区建造年代最早、最高大的佛塔之一.燃灯佛舍利塔为八角形十三层砖木结构密檐式塔，十三层均为正八边形砖木结构，图2所示的正八边形是其中一层的平面示意图，其内角和为( )
A. 135°B. 360°C. 1080°D. 1440°
4.下列运算正确的是( )
A. 2a+4=6aB. a2⋅a3=a5C. (2a)2=2a2D. a3÷a3=a
5.肥皂泡膜是人眼能够分辨的最薄的东西之一，它的平均厚度约为700纳米，已知1纳米=10−9米，那么700纳米用科学记数法可表示为( )
A. 7×10−8B. 7×10−7C. 70×10−8D. 0.7×10−7
6.如图，河道m的同侧有M、N两个村庄，计划铺设一条管道将河水引至M，N两地，下面的四个方案中，管道长度最短的是( )
A. B.
C. D.
7.如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的4幅拼法中，其中能够验证平方差公式的有( )
A. 图1、图2、图3B. 图2、图3、图4C. 图1、图2、图4D. 图1、图3、图4
8.如图，将一张三角形纸片ABC的三角折叠，使点A落在△ABC的A′处折痕为DE，若∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA′=γ，那么下列式子中正确的是( )
A. γ=180°−α−βB. γ=α+2β
C. γ=2α+βD. γ=α+β
9.如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，且交于点O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，则以下结论：
①∠E=12∠A；
②∠BOC=3∠E；
③∠BOC=90°+∠A；
④∠BOC=90°+∠E．
正确的是( )
A. ①②③B. ①③④C. ①④D. ①②④
10.有n个依次排列的整式，第一个整式为9x2，第二个整式为9x2+6x+1，第二个整式减去第一个整式的差记为a1，将a1+2记为a2，将第二个整式加上a2作为第三个整式，将a2+2记为a3，将第三个整式与a3相加记为第四个整式，以此类推.以下结论正确的个数是( )
①a3=6x+5；
②当x=2时，第四个整式的值为81；
③若第三个整式与第二个整式的差为21，则x=3；
④第2024个整式为(3x+2023)2．
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.如图1是一路灯的实物图，图2是该路灯的平面示意图，已知∠MAC=50°，∠ACB=20°，则图2中∠CBA的度数为______．
12.如图，BC=BD，只需添加一个条件即可证明△ABC≌△ABD.这一个条件可以是(写出一个即可) ______．
13.因式分解：
(1)ab−ac= ______；
(2)ax2−6ax+9a= ______．
14.一个长为a，宽为b的长方形的周长为12，面积为7，则a2b+ab2的值为______．
15.如图，在△ABC中，AB=AC，BC长为6，面积是27，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于点E、F，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为______．
16.如图，将长方形纸片ABCD沿着DE翻折，使得点C落在AD边上的点C′处，在第一次翻折的基础上再次将纸片沿着AE翻折，使得点D落在点D′处.若∠BED′=15°，则∠EAC′= ______．
17.若关于x的不等式组3x+a≤22(x+32)>x−2至少有两个整数解，且关于y的分式方程4yy−2+a+62−y=2的解是非负整数，则符合条件的所有整数a的和是______．
18.若一个四位正整数abcd−满足：a+c=b+d，我们就称该数是“振兴数”，则最小的“振兴数”是______；若一个“振兴数”m满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被5整除.则满足条件的“振兴数”m的最小值为______．
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1)(−2)2+ 36×20−|−3|+13；
(2)(a+1)(a−1)+a(a−4)．
20.(本小题10分)
(1)计算x−1x2−1÷x+1x2+2x+1；
(2)化简求值：(1+1x−2)÷x2−2x+1x2−4，其中x=3．
21.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，点A、B、C、O都在边长为1的小正方形组成网格的格点上，△ABC的位置如图所示．
(1)在图中画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
(2)△ABC的顶点B关于x轴对称的点B″的坐标为：B″ ______，A关于y轴对称的点A″的坐标为：A″ ______；
(3)求△A′B′C′的面积．
22.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在边AB上，BD=BC．
(1)作∠B的平分线，交AC于点E(尺规作图，保留痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的条件下，连接CD，DE.求证：BE垂直平分CD．
证明：∵BE为∠ABC的平分线，
∴∠CBE= ______．
∵BD=BC，BE=BE，
在△BDE和△BCE中，
BD=BC BE=BE，( )
∴△BDE≌△BCE(______).
∴ ______．
∴ ______两点都在CD的垂直平分线上．
∴BE垂直平分CD．
23.(本小题10分)
定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的12，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫做“和谐三角形”．
例如：在△ABC中，如果∠A=70°，∠B=35°，那么∠A与∠B互为“和谐角”，△ABC为“和谐三角形”．
问题1：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，点D是线段AB上一点(不与A、B重合)，连接CD．
(1)如图1，△ABC是“和谐三角形”吗？为什么？
(2)如图1，若CD⊥AB，则△ACD、△BCD是“和谐三角形”吗？为什么？
问题2：如图2，△ABC中，∠ACB=60°，∠A=80°，点D是线段AB上一点(不与A、B重合)，连接CD，若△ACD是“和谐三角形”，求∠ACD的度数．
24.(本小题10分)
列方程(组)解应用题．
綦江区某校为举行六十周年校庆活动，特定制了系列文创产品，其中花费了312000元购进纪念画册和保温杯若干.已知纪念画册总费用占保温杯总费用的310．
(1)求纪念画册和保温杯的总费用各是多少元？
(2)若每本纪念画册的进价比每个保温杯的进价多20%，而保温杯数量比纪念画册数量的3倍多1200个.求每本纪念画册和每个保温杯的进价各是多少元？
25.(本小题10分)
(1)如图①，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D.求证：△ABD≌△CAF；

(2)如图②，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F都在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角.已知AB=AC，且∠1=∠2=∠BAC.求证：EF=BE−CF；
(3)如图③，在△ABC中，AB=AC，AB>BC.点D在边BC上，CD=3BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为17，求△ACF与△BDE的面积之和．
26.(本小题10分)
如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，AC=AE，∠BAC+∠DAE=180°．
(1)如图1，当点C在AD上时，∠BAC=90°，连接CE，若∠ABC=30°，求∠CED的度数；
(2)如图2，当点C在AD上时，∠BAC=90°，延长BC交DE于M，连接AM，求证：AM平分∠CME；
(3)如图3，若∠BAC≠90°，连接BE、CD，F为BE中点，连接AF，请猜想线段AF、CD之间的数量关系，并证明你的猜想．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
根据轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：第一个三角形中b、c之间的夹角为180°−76°−54°=50°，
∠1是b、c之间的夹角．
∵两个三角形全等，
∴∠1=50°．
故选：D．
根据全等三角形对应角相等可知∠1是b、c边的夹角，然后写出即可．
本题考查了全等三角形对应角相等，根据对应边的夹角准确确定出对应角是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：内角和是：(8−2)×180°=1080°．
故选：C．
n边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180°，代入公式就可以求出内角和．
本题主要考查了多边形的内角和公式，掌握n边形的内角和公式是解题关键．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，分别根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法逐项计算即可．
【解答】
解：A.2a与4不是同类项，所以不能合并，原式错误，不符合题意;
B.a2⋅a3=a5，计算正确，符合题意;
C.(2a)2=4a2，原式错误，不符合题意;
D.a3÷a3=1，原式错误，不符合题意．
5.【答案】B
【解析】解：700纳米=700×10−9米=7×10−7米，
故选：B．
根据科学记数法的一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
本题考查科学记数法的表示方法．表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6.【答案】C
【解析】解：作点M关于直线m的对称点M′，连接M′N交直线m于点P，则MP+NP=M′N，此时管道长度最短．
故选：C．
根据轴对称的性质及两点之间线段最短即可得出结论．
本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：图1可以验证的公式为：(a+b)(a−b)=a2−b2，符合题意；
图2可以验证的公式为：a2=(a−b)2+b2+2b(a−b)，整理得：(a+b)(a−b)=a2−b2，符合题意；
图3可以验证的公式为：(a+b)(a−b)=a2−b2，符合题意；
图4可以验证的公式为：(a+b)2=(a−b)2+4ab，不符合题意；
故能验证平方差公式的是图1、图2、图3．
故选：A．
根据两种方法，求出面积，列出等式，即可得出结论．
本题考查平方差公式的几何背景．正确的识图，利用两种方法，表示出面积，是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了三角形外角的性质，折叠问题，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．
根据三角形的外角得：∠BDA′=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A′+∠CEA′，代入已知可得结论．
【解答】
解：如图，设AC交DA′于F．
由折叠得：∠A=∠A′，
∵∠BDA′=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A′+∠CEA′，
∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA′=γ，
∴∠BDA′=γ=α+α+β=2α+β，
故选：C．
9.【答案】C
【解析】解：∵CE为外角∠ACD的角平分线，BO平分∠ABC，
∴∠DCE=12∠ACD，∠DBE=12∠ABC，
又∵∠DCE是△BCE的外角，
∴∠E=∠DCE−∠DBE
=12(∠ACD−∠ABC)
=12∠A，故①正确；
∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)
=180°−12(∠ABC+∠ACB)
=180−12(180°−∠A)
=90°+12∠A，故②、③错误．
∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，
∴∠ACO=12∠ACB，∠ACE=12∠ACD，
∴∠OCE=12(∠ACB+∠ACD)=90°，
∵∠BOC是△COE的外角，
∴∠BOC=∠OCE+∠E=90°+∠E，故④正确．
综上所述，①④正确．
故选：C．
根据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠A=2∠E，∠BOC=90°+12∠A，∠BOC=90°+∠E．
本题考查角平分线的性质以及三角形外角性质知识点，本题运用了数形结合的数学思维．解题关键在于对角平分线的性质以及三角形外角性质知识点熟练掌握．
10.【答案】D
【解析】解：∵第一个整式为9x2，第二个整式为9x2+6x+1，第二个整式减去第一个整式的差记为a1，
∴a1=9x2+6x+1−9x2=6x+1，
∵a1+2记为a2，
∴a2=6x+1+2=6x+3，
∵a2+2记为a3，
∴a3=6x+3+2=6x+5，故①正确；
以此类推：
同理可得：a4=6x+7，
a5=6x+9，
a6=6x+11，
an=6x+2n−1，
由于第一个整式为9x2，第二个整式为9x2+6x+1，
∵第二个整式加上a2作为第三个整式，
∴第三个整式为：9x2+6x+1+6x+3=9x2+12x+4=(3x+2)2，
∵第三个整式加上a3作为第四个整式，
∴第四个整式为：9x2+12x+4+6x+5=9x2+18x+9=(3x+3)2，
当x=2时，(3x+3)2=(2×3+3)2=81，故②正确；
∵第三个整式与第二个整式的差为：(3x+2)2−(9x2+6x+1)=21，
解得：x=3，
故③正确；
根据题意，第五个整式为：第四个整式加a4，
∴第五个整式为9x2+18x+9+6x+7=9x2+24x+16=(3x+4)2，
同理第六个整式为(3x+5)2，
第七个整式为(3x+6)2，
第八个整式为(3x+7)2，
第2023个整式为(3x+2022)2，
第2024个整式为(3x+2023)2，故④正确，
故选：D．
根据已知条件找到规律即可解决．
本题考查整式的加减、列代数式、以及代数式的求值，属于规律性的题目，繁琐，但只要理解题意，掌握规律即可解决，耐心会更好．
11.【答案】30°
【解析】解：∵∠MAC是△ABC的外角，
∴∠MAC=∠CBA+∠ACB，
∴∠CBA=∠MAC−∠ACB=50°−20°=30°．
故答案为：30°．
由∠MAC是△ABC的外角，利用三角形的外角性质，即可求出∠CBA的度数．
本题考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
12.【答案】AC=AD(答案不唯一)
【解析】解：这一个条件可以是AC=AD，理由如下：
在△ABC和△ABD中，
BC=BDAC=ACAB=AB，
∴△ABC≌△ABD(SSS)，
故答案为：AC=AD(答案不唯一)．
由SSS证明△ABC≌△ABD即可．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
13.【答案】a(b−c) a(x−3)2
【解析】解：(1)ab−ac=a(b−c)，
故答案为：a(b−c)；
(2)ax2−6ax+9a=a(x2−6x+9)
=a(x−3)2；
故答案为：a(x−3)2．
(1)利用提公因式法进行分解，即可解答；
(2)先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
14.【答案】42
【解析】解：∵长为a，宽为b的长方形的周长为12，面积为7，
∴2(a+b)=12，ab=7，
故a+b=6，ab=7，
则a2b+ab2
=ab(a+b)
=7×6
=42．
故答案为：42．
利用长方形的性质得出a+b和ab的值，进而将原式变形得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．
15.【答案】12
【解析】解：连接AM，AD，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴MA=MC，
∵BC=6，点D为BC边的中点，
∴CD=3，
∴△CDM周长=CD+MC+MD=3+MC+MD≥3+AD，
∴△CDM周长的最小值为3+AD，
∵AB=AC，点D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∵△ABC中，BC长为6，面积是27，
∴12×6×AD=27，
解得AD=9，
∴△CDM周长的最小值为3+9=12，
故答案为：12．
连接AM，AD，利用线段垂直平分线性质，以及三角形两边之和大于第三边，推出△CDM周长的最小值为3+AD，再利用面积求出AD即可解决问题．
本题考查轴对称−最短路线问题，解答时涉及线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形两边之和大于第三边，能将两线段的长的最小值用一条线段的长表示是解题的关键．
16.【答案】60°
【解析】解：设∠EAC′=x°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠CDC′=90°，AD//BC，
由折叠的性质得：∠DC′E=∠C=90°，∠CED=∠DEC′，∠AED=∠AED′，
∴∠AC′E=180°−90°=90°，
∴∠AEC′=90°−∠EAC′=90°−x°，
∵∠C=∠CDC′=∠DC′E=90°，
∴∠CEC′=360°−90°−90°−90°=90°，
∴∠DEC′=12∠CEC′=45°，
∵AD/​/BC，
∴∠AEB=∠EAC′=x°，
∵∠AED=∠AED′，
∴x+15=90−x+45，
∴x=60，
∴∠EAC′=60°
故答案为：60°．
设∠EAC′=x°，由矩形的性质得到∠C=∠CDC′=90°，AD//BC，由折叠的性质得：∠DC′E=∠C=90°，∠CED=∠DEC′，∠AED=∠AED′，求出∠AEC′=90°−x°，又∠CEC′=90°，得到∠DEC′=12∠CEC′=45°，由平行线的性质得到∠AEB=∠EAC′=x°，由∠AED=∠AED′，得到x+15=90−x+45，求出x=60，即可得到∠EAC′=60°．
本题考查平行线的性质，折叠的性质，关键是由折叠的性质，平行线的性质得到x+15=90−x+45．
17.【答案】26
【解析】解：3x+a≤2①2(x+32)>x−2②，
解不等式①得，x≤2−a3，
解不等式②得，x>−5，
∵不等式组3x+a≤22(x+32)>x−2至少有两个整数解，
∴2−a3≥−3，
解得a≤11，
4yy−2+a+62−y=2，
方程可化为4yy−2−a+6y−2=2，
方程两边同乘y−2得，4y−(a+6)=2(y−2)，
解得y=2+a2，
∵y的分式方程的解是非负整数，
∴2+a2≥0且2+a2≠2，
解得a≥−2且a≠2，
∴−2≤a≤11且a≠2，
∵a为整数，且2+a2为非负整数，
∴a=−2，0，4，6，8，10，
∴符合条件的所有整数a的和是−2+0+4+6+8+10=26，
故答案为：26．
解不等式组，得到关于a的不等式，利用分式方程的解为非负整数得到关于a的不等式，将两个不等式组成新的不等式组，解不等式组求整数解即可．
本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，利用已知条件得到关于a的不等式组是解题的关键．
18.【答案】1001 4114
【解析】解：∵a+c=b+d，且l≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，0≤d≤9，
∴当a=1，b=0，c=0，d=1时，四位数最小，
故答案为：1001．
根据题意，得a2−b2=15，c+d=5k，k是正整数，
∴(a+b)(a−b)=15×1=5×3，a>b，
∴a+b=15a−b=1，a+b=5a−b=3，
解得：a=8b=7，a=4b=1，
∵a+c=b+d，
∴8+c=7+d，4+c=1+d，
∴d−c=1，d−c=3，
∴2c+1=5k，2c+3=5k，
∴c=5k−12，c=5k−32，
∴0≤5k−12≤9，0≤5k−32≤9，
解得：1≤k≤195，1≤k≤215，
故k=1，k=2，k=3或k=1，k=2，k=3，k=4，
故当k=1时，c=2，或c=1，
当k=2时，c=12，或c=72，
当k=3时，c=7或c=6，
当k=4时，c=172，
∵m最小，
∴a=4，b=1，c=1，
根据a+c=b+d，
故d=4，
故最小数是4114，
故答案为：4114．
正确理解定义，结合数的特点分析解答即可．
本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确理解定义，结合数的特点进行分析．
19.【答案】解：(1)(−2)2+ 36×20−|−3|+13
=4+6×1−3+13
=4+6−3+13
=713；
(2)(a+1)(a−1)+a(a−4)
=a2−1+a2−4a
=2a2−1−4a．
【解析】(1)先算乘方，开方，再算乘法，最后算加减即可；
(2)根据平方差公式及单项式乘多项式的法则分别计算出各项，再合并同类项即可．
本题考查的是平方差公式、实数的运算、单项式乘多项式的法则，熟知以上知识是解题的关键．
20.【答案】解：(1)原式=x−1(x+1)(x−1)⋅(x+1)2x+1=1；
(2)原式=(x−2x−2+1x−2)⋅(x+2)(x−2)(x−1)2
=x−1x−2⋅(x+2)(x−2)(x−1)2
=x+2x−1，
当x=3时，原式=3+23−1=52．
【解析】(1)根据分式的除法法则计算；
(2)根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算，得到答案．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
21.【答案】(−4,−3) (2,6)
【解析】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求；
(2)∵点B(−4,3)，
∴点B关于x轴对称的点B″的坐标为(−4,−3)，
故答案为：(−4,−3)；
∵点A(−2,6)，
∴点A关于y轴对称的点A″的坐标为(2,6)，
故答案为：(2,6)；
综上所述：B″(−4,−3)，A″(2,6)；
(3)△A′B′C′的面积=6×6−12×6×3−12×2×3−12×4×6=36−9−3−12=12．
(1)根据轴对称的性质即可画出图形；
(2)根据关于x轴、y轴对称的点的特点解答即可；
(3)利用△A′B′C′所在的矩形的面积减去周围三个三角形面积即可．
本题考查了作图−轴对称变换，关于坐标轴对称的点的坐标的特征，三角形的面积等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
22.【答案】∠ABE SAS DE=EC B，E
【解析】(1)解：如图，BE即为所求；
(2)证明：∵BE为∠ABC的平分线，
∴∠CBE=∠ABE．
∵BD=BC，BE=BE，
在△BDE和△BCE中，
BD=BC∠DBE=∠CBEBE=BE，
∴△BDE≌△BCE(SAS)．
∴DE=EC．
∴B，E两点都在CD的垂直平分线上．
∴BE垂直平分CD．
故答案为：∠DBE，∠DBE=∠CBE，SAS，DE=CE，B、E．
(1)根据题意作出图形；
(2)证明△BDE≌△BCE(SAS).推出DE=EC，可得结论．
本题考查作图−基本作图，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，角平分线等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
23.【答案】解：问题1：(1)△ABC是“和谐三角形”，理由如下：
∵∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∴∠B=12∠A，
∴△ABC是“和谐三角形”；
(2)△ACD、△BCD是“和谐三角形”，理由如下：
∵∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴∠ACD=30°，∠BCD=60°．
在△ACD中，
∵∠A=60°，∠ACD=30°，
∴∠ACD=12∠A，
∴△ACD为和谐三角形”；
在△BCD中，
∵∠BCD=60°，∠B=30°，
∴∠B=12∠BCD，
∴△BCD为和谐三角形”；
问题2：若△ACD是“和谐三角形”，由于点D是线段AB上一点(不与A、B重合)，
则∠ACD=12∠A或∠ACD=12∠ADC．
当∠ACD=12∠A时，∠ACD=12∠A=40°；
当∠ACD=12∠ADC时，∠A+3∠ACD=180°，即3∠ACD=100°，
∴∠ACD=100°3．
综上，∠ACD的度数为40°或100°3．
【解析】问题1：(1)根据三角形内角和定理求出∠B的度数，再由“和谐三角形”的定义即可得出结论；
(2)根据三角形内角和定理求出∠B的度数，由CD⊥AB可知∠ADC=∠BDC=90°，再求出各角的度数，进而可得出结论；
问题2：由“和谐三角形”的定义可知则∠ACD=12∠A或∠ACD=12∠ADC，据此得出结论．
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设纪念画册的总费用是x元，保温杯的总费用是y元，
由题意得：x+y=312000x=310y，
解得：x=72000y=240000，
答：纪念画册的总费用是72000元，保温杯的总费用是240000元；
(2)设每个保温杯的进价是m元，则每本纪念画册的进价是(1+20%)m元，
由题意得：240000m−72000(1+20%)m×3=1200，
解得：m=50，
经检验，m=50是原方程的解，且符合题意，
∴(1+20%)m=1.2×50=60，
答：每本纪念画册的进价是60元，每个保温杯的进价是50元．
【解析】(1)设纪念画册的总费用是x元，保温杯的总费用是y元，根据花费了312000元购进纪念画册和保温杯若干．已知纪念画册总费用占保温杯总费用的310.列出二元一次方程组，解方程即可；
(2)设每个保温杯的进价是m元，则每本纪念画册的进价是(1+20%)m元，根据保温杯数量比纪念画册数量的3倍多1200个．列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出分式方程．
25.【答案】(1)证明：∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN=90°，
∴∠BDA=∠AFC=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAF=90°，
∴∠ABD=∠CAF，
在△ABD和△CAF中，
∠ABD=∠CAF∠ADB=∠CFAAB=AC，
∴△ABD≌△CAF(AAS)；
(2)证明：∵∠1=∠2=∠BAC，∠1=∠BAE+∠ABE，∠BAC=∠BAE+∠CAF，∠2=∠FCA+∠CAF，
∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，
在△ABE和△CAF中，
∠AEB=∠CFA∠ABE=∠CAFAB=AC，
∴△ABE≌△CAF(AAS)，
∴BE=AF，CF=AE；
∴EF=BE−CF；
(3)解：∵△ABC的面积为17，CD=3BD，
∴△ABD的面积是：11+3×17=174，
由(2)中可证出△ABE≌△CAF，
∴△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和，即等于△ABD的面积是174．
【解析】(1)根据AAS证明△ABD≌△CAF；
(2)根据AAS证明△ABE≌△CAF，然后利用全等三角形的性质解答即可；
(3)利用(2)的结论、三角形的面积公式计算即可．
本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，三角形的外角性质等知识点，掌握全等三角形的判定定理和性质是解答本题的关键．
26.【答案】(1)解：∵∠BAC+∠DAE=180°，∠BAC=90°，
∴∠DAE=∠BAC=90°，
∵AB=AD，AC=AE，
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴∠D=∠ABC=30°，
∴∠AED=90°−∠D=60°，
∵∠DAE=90°，AC=AE，
∴∠AEC=45°，
∴∠CED=∠AED−∠AEC=15°；
(2)证明：如图2：过点A作AP⊥BC于点P，过点A作AQ⊥DE于点Q，

由(1)知△ABC≌△ADE，
∴S△ABC=S△ADE，BC=DE，
∴12BC⋅AP=12DE⋅AQ，
∴AP=AQ，
∴AM平分∠CME；
(3)解：AF=12CD，理由如下：
如图3，延长AF到M，使AF=FM，连接ME，

∴AF=12AM，
∵F为BE中点，
∴BF=EF，
又∵∠AFB=∠MFE，
∴△ABF≌△MEF(SAS)，
∴ME=AB，∠BAF=∠M，
∴AB//ME，
∴∠BAE+∠AEM=180°，
∵∠BAC+∠DAE=180°，
∴∠BAE+∠CAD=360°−180°=180°，
∴∠AEM=∠CAD，
∵AB=AD，AB=ME，
∴ME=AD，
又∵AC=AE，
∴△AME≌△CDA(SAS)，
∴CD=AM，
∴AF=12CD．
【解析】(1)利用SAS证明△ABC≌△ADE，根据全等三角形的性质得出∠D=∠ABC=30°，根据直角三角形的性质得出∠AED=60°，根据等腰直角三角形的性质得出∠AEC=45°，根据角的和差即可得解；
(2)过点A作AP⊥BC于点P，过点A作AQ⊥DE于点Q，根据全等三角形的性质得出S△ABC=S△ADE，BC=DE，根据三角形面积公式求出AP=AQ，根据角平分线的判定定理即可得解；
(3)延长AF到M，使AF=FM，连接ME，利用SAS证明△ABF≌△MEF，根据全等三角形的性质得出ME=AB=AD，∠BAF=∠M，即可判定AB//ME，根据平行线的性质及周角的定义求出∠AEM=∠CAD，利用SAS证明△AME≌△CDA，根据全等三角形的性质即可得解．
此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、三角形面积、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键．