2023-2024学年吉林省吉林市丰满区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省吉林市丰满区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列标志是亚运会会徽，其中会徽标志是中心对称图形的为( )
A. B.
C. D.
2.一元二次方程x(x+2)=0的解是( )
A. x1=x2=0B. x1=x2=2
C. x1=2，x2=0D. x1=−2，x2=0
3.抛物线y=(x+2)2−1的顶点坐标是( )
A. (2,1)B. (−2,−1)C. (−2,1)D. (2,−1)
4.若关于x的一元二次方程x2+4x+a=0有两个相等实数根，则a的值是( )
A. 4B. −4C. −2D. 2
5.如图，OA是⊙O半径，B为OA上一点(且不与点O，A重合)，过点B作OA的垂线交⊙O于点C，以OB，BC为边作矩形OBCD，连接BD.若BD=5，BC=4，则AB的长为( )
A. 8B. 6C. 4D. 2
6.如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m.停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2.求车道的宽度(单位：m).设停车场内车道的宽度为x m，根据题意所列方程为( )
A. (40−2x)(22−x)=520B. (40−x)(22−x)=520
C. (40−x)(22−2x)=520D. (40−x)(22+x)=520
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.若一元二次方程x2+x−6m=0的一个解是x=3，则1013m−2的值为______．
8.如图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，该同学投掷铅球最好成绩的点为______(填C，D，E，F中的一个字母)．
9.如图，⊙O的内接四边形ABCD，E为CD延长线上一点，若∠B=119°，则∠ADE的度数为______°.
10.如图，正比例函数y=x与反比例函数y=kx(x>0)在第一象限内的交点为P，PA⊥OP交y轴于点A，若△POA的面积为4，则k的值是______．
11.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，过点C作CD//x轴，与抛物线交于点D，若OA=2，AB=4，则线段CD的长为______．
12.如图，在△ABC中，以点B为圆心，适当的长度为半径画弧分别交AB，BC边于点P，Q，再分别以点P，Q为圆心，以大于12PQ为半径画弧，两弧交于点M，连接BM交AC于点E，过点E作ED/​/BC交AB于点D，若AB=6，AE=3，则△ADE的周长为______．
13.如图，△ABC中，∠BAC=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，若DC/​/AB，则旋转角∠DAC度数为______°.
14.中国书画扇面是中国传统文化艺术的重要表现形式，同时也具有极高审美的艺术价值.如图，一件扇形艺术品完全打开后，测得∠BAC=120°，AB=45cm，BD=30cm，则由线段BD，弧DE，线段EC，弧CB围成扇面的面积是______cm2(结果保留π)．
三、解答题：本题共12小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题5分)
解方程：x2−4x+3=2．
16.(本小题5分)
第19届亚洲运动会于2023年9月23日在杭州召开，现将写有汉字“喜”“迎”“亚”“运”的四个卡片，这四张卡片除汉字不同外，其它完全相同.先洗匀卡片，再正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，并记录结果．
(1)若从中随机抽取一个张卡片，则抽取一张卡片上的汉字刚好是“亚”的概率为______；
(2)从中随机抽取两张卡片，请用画树状图或列表法，求随机抽取两张卡片上的汉字恰好组成“喜迎”或“亚运”的概率．
17.(本小题5分)
目前，以5G为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底5G用户数达到9.68万户，求这两年全市5G用户数的年平均增长率．
18.(本小题5分)
已知二次函数y=x2−2x−3，当−2≤x≤5时，求函数y的取值范围．
晨晨同学的解答如下：
解：当x=−2时，则y=(−2)2−2×(−2)−3=5；
当x=5时，则y=52−2×5−3=12；
所以函数y的取值范围为5≤y≤12．
你认为晨晨的解答过程是否正确，请说明你的理由．
19.(本小题7分)
某校生物兴趣小组在相同的试验条件下，对某植物种子发芽率进行试验研究时，收集的以下试验结果：
(1)求表中x，y的值；
(2)任取一粒这种植物的种子，请你估计它能发芽的概率(精确到0.01)；
(3)若该学校劳动基地需要这种植物幼苗7600株，试估算该小组需要准备多少粒种子进行发芽培育．
20.(本小题7分)
如图，等边三角形ABC内一点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE，DE．
(1)请判断△ADE的形状______，并写出判断的依据______；
(2)若∠ADC=105°，求∠BED的度数．
21.(本小题7分)
图①，图②，图③均是5×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.点A，点B均在格点上.在图①，图②，图③中，只用无刻度直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．

(1)在图①中画一个△ABC，使得∠CAB=∠CBA=45°；
(2)在图②中画一个△ABD，使得∠DAB+∠DBA=90°(∠DAB≠∠DBA)；
(3)在图③中画一个△ABE，使得∠EAB+∠EBA=45°．
22.(本小题7分)
蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I(A)是电阻R(Ω)的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)若一个用电器通过的电流超过12A，这个用电器将被烧毁，为使这个用电器安全使用，它的可变电阻应控制在什么范围？
23.(本小题8分)
如图①是某企业投入了一种高效环保型新能源电动车示意图，企业经历了从投入到盈利过程，如图②的二次函数的图象描述了该企业年初以来累积利润S(亿元)与销售时间t(年)之间的关系(即前t(年)的利润总和S与t之间的关系).请根据图象提供的信息，解答下列问题：
(1)求累积利润S(亿元)与时间t(年)之间的函数关系式；
(2)求截止到几年末企业累积利润可达到30亿元；
(3)求第8年企业所获利润．
24.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的切线交OP于点C．
(1)求证：△PBC是等腰三角形；
(2)若⊙O的半径为2 5，OP=2，求BC的长．
25.(本小题10分)
如图1，矩形ABCD纸片，AB=4cm，BC=3cm，动点P，Q分别从点A同时出发，均以1cm/s的速度，点P沿AB−BC方向，到终点C停止运动：点Q沿AD−DC方向，到终点C停止运动，连接PQ，将矩形ABCD在PQ左下方的部分纸片沿PQ折叠得到如图2，设点P运动的时间为x(s)，重叠部分图形的面积为m(cm2).
(1)当点A落到CD边上时，求x的值；
(2)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)当x>3时，若△ACD以CD为腰的等腰三角形，直接写出x的值．
26.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=2x2+bx+c经过点A(−1,2)，B(0,−4)，点C，D，E，F在抛物线上，其横坐标分别为m，m+1，m+2，m+3(m≥−1)，连接AC，AD．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点E与抛物线顶点重合时，求点F的坐标；
(3)当∠CAD的边与y轴垂直时，求点E与点F的纵坐标；
(4)设y1=yD−yC，y2=yE−yD，y3=yF−yE，探索y1，y2，y3之间的关系，请直接写出结论．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
根据中心对称图形的概念：“在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形”进行分析．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】D
【解析】解：x(x+2)=0，
x=0或x+2=0，
所以x1=0，x2=−2．
故选：D．
先移项，再利用因式分解法把方程转化为x+2=0或x+2−1=0，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
3.【答案】B
【解析】解：∵y=(x+2)2−1是抛物线的顶点式，
∴抛物线的顶点坐标为(−2,−1)．
故选：B．
直接利用顶点式的特点可求顶点坐标．
本题主要考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的三种形式是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵方程x2+4x+a=0有两个相等实数根，
∴Δ=16−4a=0，
∴a=4，
故选：A．
根据题意得Δ=16−4a=0，进行计算即可得．
本题考查了一元二次方程的个数与根的判别式的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的个数与根的判别式的关系．
5.【答案】D
【解析】解：如图，连接OC．
∵四边形OBCD是矩形，
∴∠OBC=90°，BD=OC=OA=5，
∴OB= OC2−BC2= 52−42=3，
∴AB=OA−OB=5−3=2，
故选：D．
连接OC，在Rt△OBC中，求出OB即可解决问题．
本题主要考查了圆，勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的性质以及勾股定理．
6.【答案】B
【解析】解：若设停车场内车道的宽度为x m，则停车位(图中阴影部分)可合成长为(40−x)m，宽为(22−x)m的矩形，
根据题意得：(40−x)(22−x)=520．
故选：B．
由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位(图中阴影部分)可合成长为(40−x)m，宽为(22−x)m的矩形，结合停车位的占地面积为520m2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7.【答案】2024
【解析】解：把x=3代入x2+x−6m=0，可得32+3−6m=0，
解得m=2，
∴1013m−2=1013×2−2=2024．
故答案为：2024．
把x=3代入x2+x−6m=0即可求出m的值，然后代入代数式求值即可．
本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键．
8.【答案】F
【解析】解：由于点F到圆心O的距离最远，
所以该同学投掷铅球最好成绩的点为F，
故答案为：F．
根据各个点到圆心的距离直观得出答案即可．
本题考查比较线段的长短，掌握比较线段长短的方法是正确解答的关键．
9.【答案】119
【解析】解：∵∠ADE是圆内接四边形ABCD的一个外角，
∴∠ADE=∠B=119°．
故答案为：119．
根据圆内接四边形的外角等于它的内对角即可得出答案．
本题考查圆内接四边形，掌握圆内接四边形的外角等于它的内对角是解决问题的关键．
10.【答案】4
【解析】解：∵P点在y=x上，
∴∠POA=45°，
∴△POA为等腰直角三角形，
过P作PC⊥OA于C，
则S△POC=S△PCA=12k，
∴S△POA=k=4，
故答案为：4．
由P在y=x上可知△POA为等腰直角三角形，过P作PC⊥OA于点C，则可知S△POC=S△PCA=12k，可求得k的值．
本题主要考查反比例函数k的几何意义，由条件得出S△POC=S△PCA=12k是解题的关键．
11.【答案】8
【解析】解：∵对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于点A、B，CD//x轴，
∴点D与点C是抛物线上的对称点，
∴CD=2OA+AB，
∵OA=2，AB=4，
∴4=CD−2×2，
∴CD=8；
故答案为：8．
由题意得出点D与点C是抛物线上的对称点，得出CD=2OA+AB，即可得出结果．
本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的对称性质；根据题意得出CD=2OA+AB是解决问题的关键．
12.【答案】9
【解析】解：由题意得：∠ABE=∠CSE，
∵ED/​/BC，
∴∠DEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠BED，
∴DE=BD，
∴AD+DE+AE=AD+BD+AE=AB+AE=6+3=9，
故答案为：9．
根据题意得BE平分∠ABC，再根据平行线的性质求解．
本题考查了基本作图，掌握角平分线的性质是解题的关键．
13.【答案】50
【解析】解：∵DC/​/AB，
∴∠BAC=∠DCA=65°，
∵将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，
∴AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=65°，
∴∠DAC=180°−65°−65°=50°，
故答案为：50．
由旋转的性质可得AC=AD，可得∠ACD=∠ADC=65°，由三角形的内角和定理可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
14.【答案】600π
【解析】解：∵AB=45cm，BD=30cm，
∴AD=AB−BD=15cm，
∵∠BAC=120°，
∴由线段BD，弧DE，线段EC，弧CB围成扇面的面积是120π×452360−120π×152360=600π(cm2)，
故答案为：600π．
由扇形面积公式计算即可．
本题考查扇形的面积，关键是掌握扇形面积的公式．
15.【答案】解：x2−4x+3=2，
方程整理得：x2−4x=−1，
配方得：x2−4x+4=3，即(x−2)2=3，
开方得：x−2=± 3，
解得：x1=2− 3，x2=2+ 3．
【解析】方程整理并利用完全平方公式配方，开方即可求出解．
此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
16.【答案】14
【解析】解：(1)从写有汉字“喜”“迎”“亚”“运”的四个卡片中随机抽取一个张卡片，则抽取一张卡片上的汉字刚好是“亚”的概率为14．
故答案为：14；
(2)把写有汉字“喜”“迎”“亚”“运”的四个卡片分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中随机抽取两张卡片上的汉字恰好组成“喜迎”或“亚运”的，
则两张卡片上的图案正好一张是会徽另一张是吉祥物的概率是412=13．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查了列表法与树状图法；正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17.【答案】解：设这两年全市5G用户数的年平均增长率为x，
依题意得：2(1+x)2=9.68，
解得：x1=1.2=120%，x2=−3.2(不合题意，舍去)．
答：这两年全市5G用户数的年平均增长率为120%．
【解析】根据该市2019年底及2021年底有5G用户的数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18.【答案】解：晨晨的解答过程不正确，
∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴抛物线开口向上，函数顶点坐标是(1,−4)，
∴当x=1时，函数有最小值为−4，
∴当−2≤x≤5时，函数y的取值范围为−4≤y≤12．
【解析】把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后根据二次函数的增减性求出最大值与最小值，即可得解．
本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键．
19.【答案】解：(1)x=1425÷1500=0.95，y=2853÷3000=0.951，
故答案为：0.95，0.951；
(2)任取一粒这种植物的种子，估计它能发芽的概率是0.95，
故答案为：0.95；
(3)7600÷0.95=8000，
答：估算至少需要准备8000粒种子进行发芽培育．
【解析】(1)用发芽种子数除以试验的种子数即可得出x、y的值；
(2)根据频率估计概率求解即可；
(3)用需要这种植物幼苗数量除以种子能发芽的概率可得答案．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
20.【答案】等边三角形 有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
【解析】解：(1)∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°，
∴∠DAE=60°，AD=AE，
∴△ADE是等边三角形(有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形)；
故答案为：等边三角形；有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；
(2)∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB，∠CAB=60°，
∴∠CAB=∠DAE=60°，
∴∠CAD=∠BAE，
在△ACD和△ABE中，
AC=AB∠CAD=∠BAEAD=AE，
∴△ACD≌△ABE(SAS)，
∴∠ADC=∠AEB=105°，
∵∠AED=60°，
∴∠BED=∠AEB−∠AED=45°．
(1)根据将线段AD绕点A逆时针旋转60°，得∠DAE=60°，AD=AE，故△ADE是等边三角形(有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形)；
(2)证明△ACD≌△ABE(SAS)，可得∠ADC=∠AEB=105°，从而∠BED=∠AEB−∠AED=45°．
本题考查旋转的性质，涉及全等三角形的判定与性质，等边三角形性质及应用，解题的关键是掌握旋转前后对应角相等，对应边相等．
21.【答案】解：(1)如图①中，△ACB即为所求；
(2)如图②中，△ABD即为所求；
(3)如图③中，△ABE即为所求．

【解析】(1)画一个等腰直角三角形ACB即可；
(2)画一个直角三角形ADB即可；
(3)画一个三角形AEB，∠AEB的外角为45°即可．
本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是学会利用网格特征，正确画出图形．
22.【答案】解：(1)电流I是电阻R的反比例函数．
设I=UR，
∵图象经过A(4,9)，
∴u=IR=9×4=36，
∴I=36R，(R>0)
(2)当I=12时，R=3612=3，
∵I随R的增大而减小，
用电器的可变电阻应控制在3欧以下范围内．
【解析】(1)先由点P的坐标求得电压的值，再根据等量关系“电流=电压÷电阻”可列出关系式；
(2)将电流的值代入求得的函数关系式后即可确定电阻的取值范围．
本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．
23.【答案】解：(1)由题意，∵顶点为(2,−2)，
∴S=a(t−2)2−2．
又抛物线过(0,0)，
∴4a−2=0．
∴a=12．
∴S=12(t−2)2−2．
(2)由题意，令S=30，
∴12(t−2)2−2=30．
∴t1=10，t2=−6(不合题意，舍去)．
∴截止到10年末企业累积利润可达到30亿元．
(3)由题意，当t=7时，S=12(7−2)2−2=10.5；
当t=8时，S=12(8−2)2−2=16．
∴第8年企业所获利润为：16−10.5=5.5(亿元)．
【解析】(1)依据题意，由顶点为(2,−2)，从而S=a(t−2)2−2，又抛物线过(0,0)，求出a后可以得解；
(2)依据题意，令S=30，从而12(t−2)2−2=30，进而计算可以得解；
(3)依据题意，分别求出当t=7时和当t=8时，S的值，然后相减即可求出第8年企业所获利润．
本题主要考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，解题时首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，尤其是对本题图象中所给的信息是解决问题的关键．
24.【答案】(1)证明：
∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBA+∠ABC=90°．
∵OP⊥OA，
∴∠OPA+∠A=90°．
又∵OB=OA，
∴∠A=∠OBA．
∴∠ABC=∠OPA=∠CPB，
∴CP=CB；
∴△PBC是等腰三角形；
(2)解：设BC=x，则PC=x，
在Rt△OBC中，OB=2 5，OC=CP+OP=x+2，
∵OB2+BC2=OC2，
∴(2 5)2+x2=(x+2)2，
解得x=4，
即BC的长为4．
【解析】(1)由BC是⊙O的切线，根据切线的性质得到∠OBA+∠ABC=90°，由垂直的定义得到∠OPA+∠A=90°，等量代换得到∠A=∠OBA，∠ABC=∠OPA=∠CPB，进一步得到结果．
(2)设BC=x，则PC=x，在Rt△OBC中，根据勾股定理得到(2 5)2+x2=(x+2)2，然后解方程即可．
本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识的综合应用，考点较多，难度适中．
25.【答案】解：(1)如图1，

∵A′Q=A′P，∠A′=90°，
∴∠A′QP=∠A′PQ=45°，
∴∠A′QA=90°，
∴当点Q与D重合时，A在CD上，
∴x=3；
(2)如图2，

当0