2023-2024学年吉林省吉林市丰满区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省吉林市丰满区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列标志是亚运会会徽，其中会徽标志是中心对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
2．一元二次方程x（x+2）＝0的解是（ ）
A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝2
C．x1＝2，x2＝0D．x1＝﹣2，x2＝0
3．抛物线y＝（x+2）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，﹣1）
4．若关于x的一元二次方程x2+4x+a＝0有两个相等实数根，则a的值是（ ）
A．4B．﹣4C．﹣2D．2
5．如图，OA是⊙O半径，B为OA上一点（且不与点O，A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C，以OB，BC为边作矩形OBCD，连接BD．若BD＝5，BC＝4，则AB的长为（ ）
A．8B．6C．4D．2
6．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2.求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为x m，根据题意所列方程为（ ）
A．（40﹣2x）（22﹣x）＝520B．（40﹣x）（22﹣x）＝520
C．（40﹣x）（22﹣2x）＝520D．（40﹣x）（22+x）＝520
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．若一元二次方程x2+x﹣6m＝0的一个解是x＝3，则1013m﹣2的值为 ．
8．如图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，该同学投掷铅球最好成绩的点为 （填C，D，E，F中的一个字母）．
9．如图，⊙O的内接四边形ABCD，E为CD延长线上一点，若∠B＝119°，则∠ADE的度数为 °．
10．如图，正比例函数y＝x与反比例函数在第一象限内的交点为P，PA⊥OP交y轴于点A，若△POA的面积为4，则k的值是 ．
11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，与抛物线交于点D，若OA＝2，AB＝4，则线段CD的长为 ．
12．如图，在△ABC中，以点B为圆心，适当的长度为半径画弧分别交AB，BC边于点P，Q，再分别以点P，Q为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点M，连接BM交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D，若AB＝6，AE＝3，则△ADE的周长为 ．
13．如图，△ABC中，∠BAC＝65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，若DC∥AB，则旋转角∠DAC度数为 °．
14．中国书画扇面是中国传统文化艺术的重要表现形式，同时也具有极高审美的艺术价值．如图，一件扇形艺术品完全打开后，测得∠BAC＝120°，AB＝45cm，BD＝30cm，则由线段BD，弧DE，线段EC，弧CB围成扇面的面积是 cm2（结果保留π）．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．解方程：x2﹣4x+3＝2．
16．第19届亚洲运动会于2023年9月23日在杭州召开，现将写有汉字“喜”“迎”“亚”“运”的四个卡片，这四张卡片除汉字不同外，其它完全相同．先洗匀卡片，再正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，并记录结果．
（1）若从中随机抽取一个张卡片，则抽取一张卡片上的汉字刚好是“亚”的概率为 ；
（2）从中随机抽取两张卡片，请用画树状图或列表法，求随机抽取两张卡片上的汉字恰好组成“喜迎”或“亚运”的概率．
17．目前，以5G为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底5G用户数达到9.68万户，求这两年全市5G用户数的年平均增长率．
18．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当﹣2≤x≤5时，求函数y的取值范围．
晨晨同学的解答如下：
解：当x＝﹣2时，则y＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）﹣3＝5；
当x＝5时，则y＝52﹣2×5﹣3＝12；
所以函数y的取值范围为5≤y≤12．
你认为晨晨的解答过程是否正确，请说明你的理由．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．某校生物兴趣小组在相同的试验条件下，对某植物种子发芽率进行试验研究时，收集的以下试验结果：
（1）求表中x，y的值；
（2）任取一粒这种植物的种子，请你估计它能发芽的概率（精确到0.01）；
（3）若该学校劳动基地需要这种植物幼苗7600株，试估算该小组需要准备多少粒种子进行发芽培育．
20．如图，等边三角形ABC内一点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE，DE．
（1）请判断△ADE的形状 ，并写出判断的依据 ；
（2）若∠ADC＝105°，求∠BED的度数．
21．图①，图②，图③均是5×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，点B均在格点上．在图①，图②，图③中，只用无刻度直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
（1）在图①中画一个△ABC，使得∠CAB＝∠CBA＝45°；
（2）在图②中画一个△ABD，使得∠DAB+∠DBA＝90°（∠DAB≠∠DBA）；
（3）在图③中画一个△ABE，使得∠EAB+∠EBA＝45°．
22．蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）若一个用电器通过的电流超过12A，这个用电器将被烧毁，为使这个用电器安全使用，它的可变电阻应控制在什么范围？
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．如图①是某企业投入了一种高效环保型新能源电动车示意图，企业经历了从投入到盈利过程，如图②的二次函数的图象描述了该企业年初以来累积利润S（亿元）与销售时间t（年）之间的关系（即前t（年）的利润总和S与t之间的关系）．请根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）求累积利润S（亿元）与时间t（年）之间的函数关系式；
（2）求截止到几年末企业累积利润可达到30亿元；
（3）求第8年企业所获利润．
24．如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的切线交OP于点C．
（1）求证：△PBC是等腰三角形；
（2）若⊙O的半径为，OP＝2，求BC的长．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．如图1，矩形ABCD纸片，AB＝4cm，BC＝3cm，动点P，Q分别从点A同时出发，均以1cm/s的速度，点P沿AB﹣BC方向，到终点C停止运动：点Q沿AD﹣DC方向，到终点C停止运动，连接PQ，将矩形ABCD在PQ左下方的部分纸片沿PQ折叠得到如图2，设点P运动的时间为x（s），重叠部分图形的面积为m（cm2）．
（1）当点A落到CD边上时，求x的值；
（2）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）当x＞3时，若△ACD以CD为腰的等腰三角形，直接写出x的值．
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝2x2+bx+c经过点A（﹣1，2），B（0，﹣4），点C，D，E，F在抛物线上，其横坐标分别为m，m+1，m+2，m+3（m≥﹣1），连接AC，AD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点E与抛物线顶点重合时，求点F的坐标；
（3）当∠CAD的边与y轴垂直时，求点E与点F的纵坐标；
（4）设y1＝yD﹣yC，y2＝yE﹣yD，y3＝yF﹣yE，探索y1，y2，y3之间的关系，请直接写出结论．
参考答案
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．下列标志是亚运会会徽，其中会徽标志是中心对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念：“在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形”进行分析．
解：选项A、B、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．一元二次方程x（x+2）＝0的解是（ ）
A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝2
C．x1＝2，x2＝0D．x1＝﹣2，x2＝0
【分析】先移项，再利用因式分解法把方程转化为x+2＝0或x+2﹣1＝0，然后解两个一次方程即可．
解：x（x+2）＝0，
x＝0或x+2＝0，
所以x1＝0，x2＝﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
3．抛物线y＝（x+2）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，﹣1）
【分析】直接利用顶点式的特点可求顶点坐标．
解：∵y＝（x+2）2﹣1是抛物线的顶点式，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣1）．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的三种形式是解题的关键．
4．若关于x的一元二次方程x2+4x+a＝0有两个相等实数根，则a的值是（ ）
A．4B．﹣4C．﹣2D．2
【分析】根据题意得Δ＝16﹣4a＝0，进行计算即可得．
解：∵方程x2+4x+a＝0有两个相等实数根，
∴Δ＝16﹣4a＝0，
∴a＝4，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的个数与根的判别式的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的个数与根的判别式的关系．
5．如图，OA是⊙O半径，B为OA上一点（且不与点O，A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C，以OB，BC为边作矩形OBCD，连接BD．若BD＝5，BC＝4，则AB的长为（ ）
A．8B．6C．4D．2
【分析】连接OC，在Rt△OBC中，求出OB即可解决问题．
解：如图，连接OC．
∵四边形OBCD是矩形，
∴∠OBC＝90°，BD＝OC＝OA＝5，
∴OB＝＝＝3，
∴AB＝OA﹣OB＝5﹣3＝2，
故选：D．
【点评】本题主要考查了圆，勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的性质以及勾股定理．
6．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2.求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为x m，根据题意所列方程为（ ）
A．（40﹣2x）（22﹣x）＝520B．（40﹣x）（22﹣x）＝520
C．（40﹣x）（22﹣2x）＝520D．（40﹣x）（22+x）＝520
【分析】由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为（40﹣x）m，宽为（22﹣x）m的矩形，结合停车位的占地面积为520m2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：若设停车场内车道的宽度为x m，则停车位（图中阴影部分）可合成长为（40﹣x）m，宽为（22﹣x）m的矩形，
根据题意得：（40﹣x）（22﹣x）＝520．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．若一元二次方程x2+x﹣6m＝0的一个解是x＝3，则1013m﹣2的值为 2024 ．
【分析】把x＝3代入x2+x﹣6m＝0即可求出m的值，然后代入代数式求值即可．
解：把x＝3代入x2+x﹣6m＝0，可得32+3﹣6m＝0，
解得m＝2，
∴1013m﹣2＝1013×2﹣2＝2024．
故答案为：2024．
【点评】本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键．
8．如图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，该同学投掷铅球最好成绩的点为 F （填C，D，E，F中的一个字母）．
【分析】根据各个点到圆心的距离直观得出答案即可．
解：由于点F到圆心O的距离最远，
所以该同学投掷铅球最好成绩的点为F，
故答案为：F．
【点评】本题考查比较线段的长短，掌握比较线段长短的方法是正确解答的关键．
9．如图，⊙O的内接四边形ABCD，E为CD延长线上一点，若∠B＝119°，则∠ADE的度数为 119 °．
【分析】根据圆内接四边形的外角等于它的内对角即可得出答案．
解：∵∠ADE是圆内接四边形ABCD的一个外角，
∴∠ADE＝∠B＝119°．
故答案为：119．
【点评】本题考查圆内接四边形，掌握圆内接四边形的外角等于它的内对角是解决问题的关键．
10．如图，正比例函数y＝x与反比例函数在第一象限内的交点为P，PA⊥OP交y轴于点A，若△POA的面积为4，则k的值是 4 ．
【分析】由P在y＝x上可知△POA为等腰直角三角形，过P作PC⊥OA于点C，则可知S△POC＝S△PCA＝k，可求得k的值．
解：∵P点在y＝x上，
∴∠POA＝45°，
∴△POA为等腰直角三角形，
过P作PC⊥OA于C，
则S△POC＝S△PCA＝k，
∴S△POA＝k＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查反比例函数k的几何意义，由条件得出S△POC＝S△PCA＝k是解题的关键．
11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，与抛物线交于点D，若OA＝2，AB＝4，则线段CD的长为 8 ．
【分析】由题意得出点D与点C是抛物线上的对称点，得出CD＝2OA+AB，即可得出结果．
解：∵对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于点A、B，CD∥x轴，
∴点D与点C是抛物线上的对称点，
∴CD＝2OA+AB，
∵OA＝2，AB＝4，
∴4＝CD﹣2×2，
∴CD＝8；
故答案为：8．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的对称性质；根据题意得出CD＝2OA+AB是解决问题的关键．
12．如图，在△ABC中，以点B为圆心，适当的长度为半径画弧分别交AB，BC边于点P，Q，再分别以点P，Q为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点M，连接BM交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D，若AB＝6，AE＝3，则△ADE的周长为 9 ．
【分析】根据题意得BE平分∠ABC，再根据平行线的性质求解．
解：由题意得：∠ABE＝∠CSE，
∵ED∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠BED，
∴DE＝BD，
∴AD+DE+AE＝AD+BD+AE＝AB+AE＝6+3＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了基本作图，掌握角平分线的性质是解题的关键．
13．如图，△ABC中，∠BAC＝65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，若DC∥AB，则旋转角∠DAC度数为 50 °．
【分析】由旋转的性质可得AC＝AD，可得∠ACD＝∠ADC＝65°，由三角形的内角和定理可求解．
解：∵DC∥AB，
∴∠BAC＝∠DCA＝65°，
∵将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，
∴AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝65°，
∴∠DAC＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
故答案为：50．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
14．中国书画扇面是中国传统文化艺术的重要表现形式，同时也具有极高审美的艺术价值．如图，一件扇形艺术品完全打开后，测得∠BAC＝120°，AB＝45cm，BD＝30cm，则由线段BD，弧DE，线段EC，弧CB围成扇面的面积是 600π cm2（结果保留π）．
【分析】由扇形面积公式计算即可．
解：∵AB＝45cm，BD＝30cm，
∴AD＝AB﹣BD＝15cm，
∵∠BAC＝120°，
∴由线段BD，弧DE，线段EC，弧CB围成扇面的面积是＝600π（cm2），
故答案为：600π．
【点评】本题考查扇形的面积，关键是掌握扇形面积的公式．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．解方程：x2﹣4x+3＝2．
【分析】方程整理并利用完全平方公式配方，开方即可求出解．
解：x2﹣4x+3＝2，
方程整理得：x2﹣4x＝﹣1，
配方得：x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3，
开方得：x﹣2＝±，
解得：x1＝2﹣，x2＝2+．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
16．第19届亚洲运动会于2023年9月23日在杭州召开，现将写有汉字“喜”“迎”“亚”“运”的四个卡片，这四张卡片除汉字不同外，其它完全相同．先洗匀卡片，再正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，并记录结果．
（1）若从中随机抽取一个张卡片，则抽取一张卡片上的汉字刚好是“亚”的概率为 ；
（2）从中随机抽取两张卡片，请用画树状图或列表法，求随机抽取两张卡片上的汉字恰好组成“喜迎”或“亚运”的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
解：（1）从写有汉字“喜”“迎”“亚”“运”的四个卡片中随机抽取一个张卡片，则抽取一张卡片上的汉字刚好是“亚”的概率为 ．
故答案为：；
（2）把写有汉字“喜”“迎”“亚”“运”的四个卡片分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中随机抽取两张卡片上的汉字恰好组成“喜迎”或“亚运”的，
则两张卡片上的图案正好一张是会徽另一张是吉祥物的概率是．
【点评】此题考查了列表法与树状图法；正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．目前，以5G为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底5G用户数达到9.68万户，求这两年全市5G用户数的年平均增长率．
【分析】根据该市2019年底及2021年底有5G用户的数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设这两年全市5G用户数的年平均增长率为x，
依题意得：2（1+x）2＝9.68，
解得：x1＝1.2＝120%，x2＝﹣3.2（不合题意，舍去）．
答：这两年全市5G用户数的年平均增长率为120%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当﹣2≤x≤5时，求函数y的取值范围．
晨晨同学的解答如下：
解：当x＝﹣2时，则y＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）﹣3＝5；
当x＝5时，则y＝52﹣2×5﹣3＝12；
所以函数y的取值范围为5≤y≤12．
你认为晨晨的解答过程是否正确，请说明你的理由．
【分析】把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后根据二次函数的增减性求出最大值与最小值，即可得解．
解：晨晨的解答过程不正确，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，函数顶点坐标是（1，﹣4），
∴当x＝1时，函数有最小值为﹣4，
∴当﹣2≤x≤5时，函数y的取值范围为﹣4≤y≤12．
【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．某校生物兴趣小组在相同的试验条件下，对某植物种子发芽率进行试验研究时，收集的以下试验结果：
（1）求表中x，y的值；
（2）任取一粒这种植物的种子，请你估计它能发芽的概率（精确到0.01）；
（3）若该学校劳动基地需要这种植物幼苗7600株，试估算该小组需要准备多少粒种子进行发芽培育．
【分析】（1）用发芽种子数除以试验的种子数即可得出x、y的值；
（2）根据频率估计概率求解即可；
（3）用需要这种植物幼苗数量除以种子能发芽的概率可得答案．
解：（1）x＝1425÷1500＝0.95，y＝2853÷3000＝0.951，
故答案为：0.95，0.951；
（2）任取一粒这种植物的种子，估计它能发芽的概率是0.95，
故答案为：0.95；
（3）7600÷0.95＝8000，
答：估算至少需要准备8000粒种子进行发芽培育．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
20．如图，等边三角形ABC内一点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE，DE．
（1）请判断△ADE的形状 等边三角形 ，并写出判断的依据 有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形 ；
（2）若∠ADC＝105°，求∠BED的度数．
【分析】（1）根据将线段AD绕点A逆时针旋转60°，得∠DAE＝60°，AD＝AE，故△ADE是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）；
（2）证明△ACD≌△ABE（SAS），可得∠ADC＝∠AEB＝105°，从而∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝45°．
解：（1）∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°，
∴∠DAE＝60°，AD＝AE，
∴△ADE是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）；
故答案为：等边三角形；有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB，∠CAB＝60°，
∴∠CAB＝∠DAE＝60°，
∴∠CAD＝∠BAE，
在△ACD和△ABE中，
，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴∠ADC＝∠AEB＝105°，
∵∠AED＝60°，
∴∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝45°．
【点评】本题考查旋转的性质，涉及全等三角形的判定与性质，等边三角形性质及应用，解题的关键是掌握旋转前后对应角相等，对应边相等．
21．图①，图②，图③均是5×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，点B均在格点上．在图①，图②，图③中，只用无刻度直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
（1）在图①中画一个△ABC，使得∠CAB＝∠CBA＝45°；
（2）在图②中画一个△ABD，使得∠DAB+∠DBA＝90°（∠DAB≠∠DBA）；
（3）在图③中画一个△ABE，使得∠EAB+∠EBA＝45°．
【分析】（1）画一个等腰直角三角形ACB即可；
（2）画一个直角三角形ADB即可；
（3）画一个三角形AEB，∠AEB的外角为45°即可．
解：（1）如图①中，△ACB即为所求；
（2）如图②中，△ABD即为所求；
（3）如图③中，△ABE即为所求．
【点评】本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是学会利用网格特征，正确画出图形．
22．蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）若一个用电器通过的电流超过12A，这个用电器将被烧毁，为使这个用电器安全使用，它的可变电阻应控制在什么范围？
【分析】（1）先由点P的坐标求得电压的值，再根据等量关系“电流＝电压÷电阻”可列出关系式；
（2）将电流的值代入求得的函数关系式后即可确定电阻的取值范围．
解：（1）电流I是电阻R的反比例函数．
设I＝，
∵图象经过A（4，9），
∴u＝IR＝9×4＝36，
∴I＝，（R＞0）
（2）当I＝12时，R＝＝3，
∵I随R的增大而减小，
用电器的可变电阻应控制在3欧以下范围内．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．如图①是某企业投入了一种高效环保型新能源电动车示意图，企业经历了从投入到盈利过程，如图②的二次函数的图象描述了该企业年初以来累积利润S（亿元）与销售时间t（年）之间的关系（即前t（年）的利润总和S与t之间的关系）．请根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）求累积利润S（亿元）与时间t（年）之间的函数关系式；
（2）求截止到几年末企业累积利润可达到30亿元；
（3）求第8年企业所获利润．
【分析】（1）依据题意，由顶点为（2，﹣2），从而S＝a（t﹣2）2﹣2，又抛物线过（0，0），求出a后可以得解；
（2）依据题意，令S＝30，从而（t﹣2）2﹣2＝30，进而计算可以得解；
（3）依据题意，分别求出当t＝7时和当t＝8时，S的值，然后相减即可求出第8年企业所获利润．
解：（1）由题意，∵顶点为（2，﹣2），
∴S＝a（t﹣2）2﹣2．
又抛物线过（0，0），
∴4a﹣2＝0．
∴a＝．
∴S＝（t﹣2）2﹣2．
（2）由题意，令S＝30，
∴（t﹣2）2﹣2＝30．
∴t1＝10，t2＝﹣6（不合题意，舍去）．
∴截止到10年末企业累积利润可达到30亿元．
（3）由题意，当t＝7时，S＝（7﹣2）2﹣2＝10.5；
当t＝8时，S＝（8﹣2）2﹣2＝16．
∴第8年企业所获利润为：16﹣10.5＝5.5（亿元）．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，解题时首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，尤其是对本题图象中所给的信息是解决问题的关键．
24．如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的切线交OP于点C．
（1）求证：△PBC是等腰三角形；
（2）若⊙O的半径为，OP＝2，求BC的长．
【分析】（1）由BC是⊙O的切线，根据切线的性质得到∠OBA+∠ABC＝90°，由垂直的定义得到∠OPA+∠A＝90°，等量代换得到∠A＝∠OBA，∠ABC＝∠OPA＝∠CPB，进一步得到结果．
（2）设BC＝x，则PC＝x，在Rt△OBC中，根据勾股定理得到（2）2+x2＝（x+2）2，然后解方程即可．
【解答】（1）证明：
∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBA+∠ABC＝90°．
∵OP⊥OA，
∴∠OPA+∠A＝90°．
又∵OB＝OA，
∴∠A＝∠OBA．
∴∠ABC＝∠OPA＝∠CPB，
∴CP＝CB；
∴△PBC是等腰三角形；
（2）解：设BC＝x，则PC＝x，
在Rt△OBC中，OB＝2，OC＝CP+OP＝x+2，
∵OB2+BC2＝OC2，
∴（2）2+x2＝（x+2）2，
解得x＝4，
即BC的长为4．
【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识的综合应用，考点较多，难度适中．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．如图1，矩形ABCD纸片，AB＝4cm，BC＝3cm，动点P，Q分别从点A同时出发，均以1cm/s的速度，点P沿AB﹣BC方向，到终点C停止运动：点Q沿AD﹣DC方向，到终点C停止运动，连接PQ，将矩形ABCD在PQ左下方的部分纸片沿PQ折叠得到如图2，设点P运动的时间为x（s），重叠部分图形的面积为m（cm2）．
（1）当点A落到CD边上时，求x的值；
（2）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）当x＞3时，若△ACD以CD为腰的等腰三角形，直接写出x的值．
【分析】（1）可推出当点Q与D重合时，A在CD上，此时x＝3；
（2）当0＜t≤3时，由（1）知：△APQ是等腰直角三角形，从而得出y＝；当3＜t≤4时，△PEQ是边长为3的等腰直角三角形，从而得出y＝S△PEQ＝×32＝；当4＜t＜7时，△PCQ是边长为7﹣t的等腰直角三角形，从而得出结果；
（3）当3＜t≤4时，可得出DF＝A′P＝t，AF＝AP﹣PF＝A′P﹣A′D＝t﹣3，由AD＝CD得t2+（t﹣3）2＝42，从而得出结果；当4＜t＜7时，作QP的延长线交A′B的延长线于点W，连接AW，延长DC交AW于R，可得出CR＝BW＝PB＝BC﹣PB＝3﹣（7﹣t）＝t﹣4，AR＝AW﹣RW＝A′W﹣BC＝t﹣3，从而（t﹣3）2+（t﹣4）2＝42，进一步得出结果．
解：（1）如图1，
∵A′Q＝A′P，∠A′＝90°，
∴∠A′QP＝∠A′PQ＝45°，
∴∠A′QA＝90°，
∴当点Q与D重合时，A在CD上，
∴x＝3；
（2）如图2，
当0＜t≤3时，
由（1）知：△APQ是等腰直角三角形，
∴y＝，
如图3，
′
当3＜t≤4时，
作QE⊥A′B于E，
∵DQ＝A′E，A′E+EP＝AD+DQ＝t，
∴EP＝AD＝3，
∵QE＝AD＝3，
∴QE＝EP，
∴∠QPE＝45°，
∴y＝S△PEQ＝×32＝，
如图4，
当4＜t＜7时，
∵CQ＝CP＝7﹣t，
∴y＝，
综上所述：y＝；
（3）如图5，
当3＜t≤4时，
由（2）知：∠A′PQ＝∠APQ＝45°，
∴AP⊥CD，
∵∠A′＝∠A＝90°，∠APE＝90°，
∴AD′′∥A′B∥CD，
∴DF＝A′P＝t，AF＝AP﹣PF＝A′P﹣A′D＝t﹣3，
由AD＝CD得，
t2+（t﹣3）2＝42，
∴t1＝，t2＝（舍去），
如图6，
当4＜t＜7时，
作QP的延长线交A′B的延长线于点W，连接AW，延长DC交AW于R，
由（2）知：△CPQ是等腰直角三角形，
∴△PBW和△AAWA′是等腰直角三角形，
∵CR＝BW＝PB＝BC﹣PB＝3﹣（7﹣t）＝t﹣4，AR＝AW﹣RW＝A′W﹣BC＝t﹣3，
∴（t﹣3）2+（t﹣4）2＝42，
∴t＝，t＝（舍去），
综上所述：t＝或．
【点评】本题考查了矩形判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的分类等知识，解决问题的关键是正确分类．
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝2x2+bx+c经过点A（﹣1，2），B（0，﹣4），点C，D，E，F在抛物线上，其横坐标分别为m，m+1，m+2，m+3（m≥﹣1），连接AC，AD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点E与抛物线顶点重合时，求点F的坐标；
（3）当∠CAD的边与y轴垂直时，求点E与点F的纵坐标；
（4）设y1＝yD﹣yC，y2＝yE﹣yD，y3＝yF﹣yE，探索y1，y2，y3之间的关系，请直接写出结论．
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为y＝2x2﹣4x﹣4；
（2）求出抛物线y＝2x2﹣4x﹣4的顶点为（1，﹣6），对称轴为直线x＝1，根据点E与抛物线顶点重合，E，F在抛物线上，横坐标分别为m+2，m+3（m≥﹣1），知m+2＝1，故m+3＝2，在y＝2x2﹣4x﹣4中，令x＝2得F（2，﹣4）；
（3）分两种情况：当AD⊥y轴时，由A，D关于抛物线的对称轴对称，A（﹣1，2），抛物线y＝2x2﹣4x﹣4的对称轴为直线x＝1，可得D（3，2）；即知m+1＝3，故m+2＝4，m+3＝5，在y＝2x2﹣4x﹣4中，令x＝4，x＝5求出y值即得E，F的纵坐标；当AC⊥y轴时，同理可得答案；
（4）根据点C，D，E，F在抛物线上，其横坐标分别为m，m+1，m+2，m+3，可得yC＝2m2﹣4m﹣4，yD＝2（m+1）2﹣4（m+1）﹣4＝2m2﹣6，yE＝2（m+2）2﹣4（m+2）﹣4＝2m2+4m﹣4，yF＝2（m+3）2﹣4（m+3）﹣4＝2m2+8m+2，而y1＝yD﹣yC，y2＝yE﹣yD，y3＝yF﹣yE，可求出y1＝yD﹣yC＝2m2﹣6﹣2m2+4m+4＝4m﹣2，y2＝yE﹣yD＝2m2+4m﹣4﹣2m2+6＝4m+2，y3＝yF﹣yE＝2m2+8m+2﹣2m2﹣4m+4＝4m+6，观察即可得答案．
解：（1）把A（﹣1，2），B（0，﹣4）代入y＝2x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣4x﹣4；
（2）∵y＝2x2﹣4x﹣4＝2（x﹣1）2﹣6，
∴抛物线y＝2x2﹣4x﹣4的顶点为（1，﹣6），对称轴为直线x＝1，
∵点E与抛物线顶点重合，E，F在抛物线上，横坐标分别为m+2，m+3（m≥﹣1），
∴m+2＝1，
∴m+3＝2，
在y＝2x2﹣4x﹣4中，令x＝2得：y＝2×22﹣4×2﹣4＝﹣4，
∴F（2，﹣4）；
（3）当AD⊥y轴时，如图：
∴A，D关于抛物线的对称轴对称，
∵A（﹣1，2），抛物线y＝2x2﹣4x﹣4的对称轴为直线x＝1，
∴D（3，2）；
∵D在抛物线上，横坐标分别为m+1，
∴m+1＝3，
∴m+2＝4，m+3＝5，
在y＝2x2﹣4x﹣4中，令x＝4得y＝2×42﹣4×4﹣4＝12，
∴E（4，12），
在y＝2x2﹣4x﹣4中，令x＝5得y＝2×52﹣4×5﹣4＝26，
∴F（5，26）；
当AC⊥y轴时，如图：
同理可得C（3，2），
∴m＝3，
∴m+2＝5，m+3＝6，
在y＝2x2﹣4x﹣4中，令x＝5得y＝2×52﹣4×5﹣4＝26，
∴E（5，26）；
在y＝2x2﹣4x﹣4中，令x＝6得y＝2×62﹣4×6﹣4＝44，
∴F（6，44）；
综上所述，当∠CAD的边与y轴垂直时，E的纵坐标为12，F的纵坐标为26或E的纵坐标为26，F的纵坐标为44；
（4）y1+y3＝2y2，理由如下：
∵点C，D，E，F在抛物线上，其横坐标分别为m，m+1，m+2，m+3，
∴yC＝2m2﹣4m﹣4，yD＝2（m+1）2﹣4（m+1）﹣4＝2m2﹣6，yE＝2（m+2）2﹣4（m+2）﹣4＝2m2+4m﹣4，yF＝2（m+3）2﹣4（m+3）﹣4＝2m2+8m+2，
∵y1＝yD﹣yC，y2＝yE﹣yD，y3＝yF﹣yE，
∴y1＝yD﹣yC＝2m2﹣6﹣2m2+4m+4＝4m﹣2，
y2＝yE﹣yD＝2m2+4m﹣4﹣2m2+6＝4m+2，
y3＝yF﹣yE＝2m2+8m+2﹣2m2﹣4m+4＝4m+6，
∴y1+y2＝4m﹣2+4m+6＝8m+4＝2y2．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象三点坐标的特征，整式是加减等知识，解题的关键是用含m的代数式表示相关点坐标和分类讨论思想的应用．
试验的种子数（n）
500
1000
1500
2000
3000
4000
发芽的种子粒数（m）
471
946
1425
1898
2853
3812
发芽频率
0.942
0.946
x
0.949
y
0.953
试验的种子数（n）
500
1000
1500
2000
3000
4000
发芽的种子粒数（m）
471
946
1425
1898
2853
3812
发芽频率
0.942
0.946
x
0.949
y
0.953