2023-2024学年吉林省吉林市舒兰市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省吉林市舒兰市九年级（上）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在−2，−1，0，1这四个数中，最小的数是( )
A. −2B. −1C. 0D. 1
2.图①是由五个完全相同的小正方体组成的立体图形．将图①中的一个小正方体改变位置后如图②，则三视图发生改变的是( )
A. 主视图
B. 俯视图
C. 左视图
D. 主视图、俯视图和左视图都改变
3.下列运算中，正确的是( )
A. x3+x4=x7B. x4⋅x3=x12C. (x3)2=x9D. x4÷x3=x
4.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°.将Rt△ABC绕点C逆时针旋转48°得到RtΔA′B′C，点A在边B′C上，则∠B′的大小是( )
A. 42°B. 48°C. 52°D. 58°
5.如图，AB与⊙O相切于点A，BO与⊙O相交于点C，点D是优弧AC上一点，∠CDA=27°，则∠B的大小是( )
A. 27°B. 34°C. 36°D. 54°
6.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈=10尺，1尺=10寸)，则竹竿的长为( )
A. 五丈B. 四丈五尺C. 一丈D. 五尺
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.计算： 8− 2=− ______．
8.分解因式：2a2−6a=______．
9.不等式x−32≥−2的解集是______．
10.一元二次方程2x2−4x+1=0的根的判别式Δ ______0.(填“>”“=”或“0)的图象经过点B.把正方形ABCO沿BC翻折得到正方形BCFD，DF交函数y=kx(x>0)的图象于点E．
(1)求k的值．
(2)求点E的坐标．
20.(本小题7分)
如图，菱形ABCD对角线AC与BD的交于点O，CD=10，OD=6，过点C作CE/​/DB，过点B作BE/​/AC，CE与BE相交于点E．
(1)求OC的长．
(2)求四边形OBEC的面积．
21.(本小题7分)
某大学食堂为了让本校学生在中秋节尽量吃到喜爱口味的月饼，随机抽取了n名学生，对学生选择四种口味月饼的情况进行了问卷调查，每个被调查的学生都选择了其中一种月饼.食堂将收集到的数据整理并绘制成如下统计图．

请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
(1)求n的值．
(2)求扇形统计图中“蛋黄馅”所在的扇形的圆心角度数．
(3)根据上述统计结果，估计该校18500名学生中喜欢五仁馅月饼的人数．
22.(本小题7分)
图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．
(1)在图①、图②中，以格点为顶点，线段AB为一边，分别画一个平行四边形和菱形，并直接写出它们的面积．(要求两个四边形不全等)
(2)在图③中，以点A为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形，并直接写出它的面积．
23.(本小题7分)
如图，某数学兴趣小组为了测量学校旗杆AB的高度，他们在旗杆对面的实验楼的顶部C处测得旗杆顶端A的仰角为46°，测得旗杆底端B的俯角为32°，同时测量了旗杆底端与实验楼的水平距离BD长为9.5米.求旗杆AB的高.(结果精确到0.1米，参考数据：sin32°≈0.53，cs32°≈0.85，tan32°≈0.62，sin46°≈0.72，cs46°≈0.69，tan46°≈1.04)
24.(本小题8分)
定义：在三角形中，把一边的中点到这条边的高线的距离叫做这条边的中垂距．
例：如图①，在△ABC中，D为边BC的中点，AE⊥BC于E，则线段DE的长叫做边BC的中垂距．
(1)设三角形一边的中垂距为d(d≥0).若d=0，则这样的三角形一定是______，推断的数学依据是______．
(2)如图②，在△ABC中，∠B=45°，AB=3 2，BC=8，AD为边BC的中线，求边BC的中垂距．
(3)如图③，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4.点E为边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，连结AC.求△ACF中边AF的中垂距．
25.(本小题10分)
如图①，在△ABC中，AD=CD=3，BD=4，AD⊥BC，直线l⊥AD于点G，分别交AB，AC于点M、N，点P从点B出发.沿BC以每秒73个单位长度的速度向终点C运动，同时直线l从点A出发，沿AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.以MN为边向下作正方形MNEF，连接PN，点P的运动时间为t(秒)．
(1)AB的长为______个单位长度；
(2)当点P落在线段MF上时，求t的值；
(3)设正方形MNEF与四边形MNPB重叠部分图形的面积为S(S>0)，求S与t之间的函数关系式；
(4)如图②，连接PE、PF，设△PEF的面积与正方形MNEF的面积比为k，当13≤k≤12时，直接写出t的取值范围．
26.(本小题10分)
如图①，在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，等腰直角三角形OAB的顶点A的坐标为(2,2)，点B在第四象限，边AB与x轴交于点C，点M、R分别是线段OA、AC的中点，过点M的抛物线y=x2+2mx+n(m、n为常数)的顶点为P．
(1)点M的坐标为______，用含m的代数式表示n= ______．
(2)如图②，点N为BC中点，当抛物线y=x2+2mx+n经过点N时，
①求该抛物线所对应的函数表达式．
②若点E在该抛物线上，点F在线段OA上，当以MR和EF为对边的四边形是平行四边形时，求点E的坐标．
(3)当点P在等腰直角三角形OAB的边上或内部，且抛物线y=x2+2mx+n与MR有且只有一个公共点时，直接写出m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了有理数大小比较的方法，属于基础题．
有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】
解：根据有理数比较大小的方法，可得
−2．
根的判别式Δ=b2−4ac，把相应值代入求值即可．
本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．
11.【答案】108
【解析】解：∵AB/​/CD，∠B=72°，
∴∠C=∠B=72°，
∵BC/​/DE，
∴∠D=180°−∠C=180°−72°=108°．
故答案为：108．
先根据AB/​/CD求出∠C的度数，再由BC/​/DE即可求出∠D的度数．
本题考查的是平行线的性质，即两直线平行，内错角相等，同旁内角互补．
12.【答案】52
【解析】解：正五边形的内角均为：540°÷5=108°，
∴∠BFG=180°−∠AFJ−∠GFJ=180°−20°−108°=52°，
∴∠BGF=180°−∠B−∠BFG=180°−108°−52°=20°，
∴∠CGH=180°−∠BGF−∠FGH=180°−20°−108°=52°，
故答案为：52．
先计算出正五边形的各个内角为：540°÷5=108°，再利用平角为180°，三角形的内角和，即可解答．
本题考查多边形的内角与外角，解决本题的关键是计算出正五边形的内角的度数．
13.【答案】5.5
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DE/​/BC，AD=BC，
∴△EFD∽△CFB，
∴EF：CF=DE：BC，
∵AE=12DE，
∴DE=23AD=23BC，
∵△DEF的面积为2，
∴△BFC的面积4.5，
∵△DEF和△DFC中EF，CF边上的高相等，△DEF的面积为2，EF：CF=2：3，
∴△DFC的面积为3，
∴△BCD的面积=3+4.5=7.5，
∴△ABD的面积=7.5，
∴四边形ABFE的面积=7.5−2=5.5，
故答案为：5.5．
由平行四边形的性质易证△EFD∽△CFB，利用相似三角形的性质可求出△BFC的面积以及EF：FC的比值，由等高的三角面积比等于边长之比可求出△CFD的面积，进而可得到△BCD的面积，由此可求出四边形ABFE的面积．
本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
14.【答案】4
【解析】解：连接OD，
∵AB为⊙O的直径，AC为切线，AB=AC=4，
∴∠BAC=90°，OA=OB=2，∠ABC=45°，
∴∠AOD=90°，△BOD是等腰直角三角形，
∴S阴影=(S△ABC−S扇形AOD−S△BOD)+(S扇形BOD−S△BOD)=(12×4×4−90π×4360−12×2×2)+(90π22360−12×2×2)
=8−π−2+(π−2)
=6−π+π−2
=4．
故答案为：4．
连接OD，根据圆周角定理求出∠AOD的度数，再由S阴影=(S△ABC−S扇形AOD−S△BOD)+(S扇形BOD−S△BOD)即可得出结论．
本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
15.【答案】解：原式=x2−4x−2=(x+2)(x−2)x−2=x+2，
当x= 3−2时，原式= 3−2+2= 3．
【解析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16.【答案】解：(1)因为440−2804−2=80(件)，
所以乙车间每小时加工玩具80件；
(2)因为280−80×22=60(件)，
所以甲车间每小时加工玩具60件．
60×(9−2)+80×9=1140，
设甲维修完设备后，y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
将点(4,440)，(9,1140)代入，
得4k+b=4409k+b=1140，解得k=140b=−120．
所以函数关系式为y=140x−120．
(3)因为140x−120=12×1140，
所以x=6014．
【解析】(1)根据图象解答即可．
(2)设甲维修完设备后，y与x的函数关系式为y=kx+b，利用待定系数法确定函数关系式即可；
(3)根据函数关系式解答即可．
此题考查了一次函数的实际应用．解题的关键是理解题意，能根据题意求得函数解析式，注意数形结合与方程思想的应用．
17.【答案】解：画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中抽取的两张牌的牌面数字相同的结果有5种，
∴抽取的两张牌的牌面数字相同的概率=59．
【解析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中抽取的两张牌的牌面数字相同的结果有5种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18.【答案】解：设原计划参加植树的团员有x人，
根据题意，得150x−1501.5x=1，
解得x=50，
经检验，x=50是原方程的根．
答：原计划参加植树的团员有50人．
【解析】设原计划参加植树的团员有x人，则实际参加植树的团员有1.5x人，人均植树棵树=150人数，用原人均植树棵树−实际人均植树棵树=1，列分式方程求解，结果要检验．
本题考查分式方程的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．
19.【答案】解：(1)由题意，知B(2,2)，
∵函数y=kx(x>0)的图象经过点B，
∴2=k2，
∴k=4；
(2)由题意知CF=2，OF=4，
当x=4时，y=44=1，
∴E(4,1)．
【解析】(1)根据正方形的面积公式可求得点B的坐标，代入函数y=kx中从而求得k值；
(2)先根据正方形的性质求得点E的横坐标为4，代入反比例函数解析式即可得到点E的坐标．
此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，注意反比例函数图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
20.【答案】解：(1)∵四边形ABCD为菱形，
∴∠DOC=90°，
∴OC= CD2−OD2= 102−62=8，
即OC的长为8，
(2)∵四边形ABCD为菱形，
∴∠BOC=90°，OB=OD=6，
又∵CE/​/DB，BE/​/AC，
∴四边形OBEC为矩形，
S四边形OBEC=OC⋅OB=8×6=48，
即四边形OBEC的面积为48．
【解析】(1)根据四边形ABCD为菱形，利用菱形的性质，得∠DOC=90°，根据勾股定义即可求得OC的长，
(2)根据四边形ABCD为菱形，利用菱形的性质，得到∠BOC=90°，OB=OD=6，再根据CE/​/DB，BE/​/AC，利用矩形的判定，得到四边形OBEC为矩形，根据矩形的面积=长×宽，即可得到答案．
本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，正确掌握矩形和菱形的性质与判定定理是解题的关键．
21.【答案】解：(1)由条形统计图可得，n=700+600+400+300=2000(名)；
(2)“蛋黄馅”所在的扇形的圆心角度数=6002000×360°=108°；
(3)该校18500名学生中喜欢五仁馅月饼的人数=7002000×18500=6475(名)．
【解析】(1)依据条形统计图中的数据，即可得到n的值．
(2)依据选择“蛋黄馅”月饼的学生数，即可得到“蛋黄馅”所在的扇形的圆心角度数．
(3)依据喜欢五仁馅月饼的人数所占的百分比，即可得到该校18 500名学生中喜欢五仁馅月饼的人数．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22.【答案】解：(1)如图①②所示：
平行四边形的面积=2×2=4；菱形的面积=12×2×4=4；
(2)如图③所示，正方形即为所求，
由勾股定理可求得，正方形的边长为： 12+32= 10，
∴正方形的面积=10．
【解析】本题考查了作图−应用与设计作图．熟记勾股定理，菱形、平行四边形的性质以及正方形的性质是解题的关键所在．
(1)根据菱形和平行四边形的画法解答即可；
(2)根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出最长的线段作为正方形的边长即可．
23.【答案】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，

由题意得：CE=BD=9.5m，
在Rt△ACE中，∠ACE=46°，
∴AE=CE⋅tan∠ACE=9.5×tan46°≈9.5×1.04=9.88(m)，
在Rt△BCE中，∠BCE=32°，
∴BE=CE⋅tan∠BCE=9.5×tan32°≈9.5×0.62=5.89(m)，
∴AB=AE+BE=9.88+5.89=15.77≈15.8(米)，
答：旗杆AB的高约为15.8米．
【解析】过点C作CE⊥AB，垂足为E，根据题意可得：CE=BD=9.5m，然后分别在Rt△ACE和Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出BE和AE的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24.【答案】(1)等腰三角形 线段的垂直平分线上的点到两端的距离相等．
(2)边BC的中垂距为1．
(3) AF的中垂距为95．
【解析】解：(1)三角形一边的中垂距为d(d≥0).若d=0，则这样的三角形一定是等腰三角形，推断的数学依据是线段的垂直平分线上的点到两端的距离相等．
故答案为等腰三角形，线段的垂直平分线上的点到两端的距离相等．
(2)如图②中，作AE⊥BC于E．
在Rt△ABE中，∵∠AEB=90°，∠B=45°，AB=3 2，
∴AE=BE=3，
∵AD为BC边中线，BC=8，
∴BD=DC=4，
∴DE=BD−BE=4−3=1，
∴边BC的中垂距为1．
(3)如图③中，作CH⊥AF于H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠EHC=∠ECF=90°，AD/​/BF，
∵DE=EC，∠AED=∠CEF，
∴△ADE≌△FCE，
∴AE=EF，
在Rt△ADE中，∵AD=4，DE=3，
∴AE= 32+42=5，
∵∠D=∠EHC，∠AED=∠CEH，
∴△ADE∽△CHE，
∴DEEH=AEEC，
∴3EH=53，
∴EH=95，
∴△ACF中边AF的中垂距为95．
【分析】
(1)根据线段的垂直平分线的性质即可判断；
(2)如图②中，作AE⊥BC于E.根据中垂距的定义求出DE即可；
(3)如图③中，作CH⊥AF于H.根据中垂距的定义求出EH即可；
本题考查四边形综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
25.【答案】5
【解析】解：(1)∵AD⊥BC，AD=3，BD=4，
∴AB2=AD2+BD2=32+42=25，
∴AB=5(负值已舍)，
∴AB的长为5个单位长度，
故答案为：5；
(2)由题意可知：MG=73t−1t=43t，BP=73t，BD=4，
∴43t+73t=4，
∴t=1211；
(3)当0