二轮复习【数列专题】专题3等差数列的判断（证明）方法微点4等差数列的判断（证明）方法综合训练

这是一份二轮复习【数列专题】专题3等差数列的判断（证明）方法微点4等差数列的判断（证明）方法综合训练，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
微点4 等差数列的判断（证明）方法综合训练
一、单选题：
（2023江苏南京盐城高三上学期期末联考）
1．“”是“数列为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
2．已知数列满足，且，，则（ ）
A．B．C．D．
（2023河北唐山开滦一中上学期期末）
3．若不全相等的非零实数成等差数列且公差为，那么（ ）
A．可能是等差数列B．一定不是等差数列
C．一定是等差数列，且公差为D．一定是等差数列，且公差为
（2023北京交通大学附中月考）
4．已知数列满足，则等于（ ）
A．6B．7C．8D．9
（2023江苏连云港高二上学期期末）
5．图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME­7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记的长度构成的数列为，由此数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
6．已知数列中，，，若，则（ ）
A．8B．9C．10D．11
（2023江西南昌二中月考）
7．1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆发现了“正方形筛子”如图所示，根据规律，则“正方形筛子”中位于第7行的第31个数是（ ）
A．470B．472C．474D．476
（2023山东高二10月联合调考）
8．设数列的前项和，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：
9．设数列的前项和为，则下列能判断数列是等差数列的是（ ）
A．B．C．D．．
（2023甘肃兰州六中高二上学期期末）
10．在数列中，若，，则下列结论正确的有（ ）
A．为等差数列B．的前n项和
C．的通项公式为D．的最小值为
（2023山东聊城一中高二上学期期末考试）
11．已知数列和满足则（ ）
A．B．数列是等比数列
C．数列是等差数列D．数列单调递增
（2023河北邢台上学期期末）
12．若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质．对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数．函数以其首名研究者欧拉命名，被称为欧拉函数，例如，，，则（ ）
A．，，成等差数列
B．数列是等比数列
C．数列的前n项和为，则存在，使成立
D．数列的前n项和为，则对任意，恒成立
三、填空题：
13．已知，则 ．
14．若各项均为正数的数列中，，前项和为，对于任意的正整数满足，则数列的通项公式 .
（2023河北石家庄外国语学校高二上学期期末）
15．数列与的所有公共项由小到大构成一个新的数列，则 .
16．规定为数列的一阶差分数列，其中（为正整数）．对正整数，规定为的阶差分数列，其中．若数列有，，且满足（为正整数），则 ．
四、解答题：
17．已知数列{}满足．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列{}的通项公式．
（2023山东威海高二上学期期末）
18．设为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
(1)求，；
(2)求证：数列为等差数列；
(3)求数列的通项公式．
（2023河南信阳高中高三上学期期末）
19．已知数列的各项均为正数，前项和为，且.
(1)若，证明：数列为等差数列；
(2)若，求数列的前项和.
20．设各项均为正数的数列的前n项和为，满足对任意，都．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若，求数列的前n项和．
21．设是等差数列的前项和，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)当，，求数列的前项和．
（2023湖北谷城县一中12月月考）
22．已知公差大于零的等差数列的前项和为，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)是否存在常数，使得数列为等差数列？若存在，求出常数；若不存在，请说明理由.
参考答案：
1．B
【分析】根据等差数列的性质结合充分条件与必要条件的证明即可得出答案.
【详解】如果数列是等差数列，根据等差中项的扩展可得一定有，
反之成立，不一定有数列是等差数列，
故选：B.
2．C
【分析】根据等差中项定义可确定为等差数列，结合等差数列通项公式可推导得到，代入即可求得结果.
【详解】由得：，数列为等差数列，
又，，数列的公差，
，，.
故选：C.
3．B
【分析】利用等差中项的概念结合条件可得，进而即得.
【详解】若是等差数列，则，
因为成等差数列，则，
则，整理得，与非零实数不全相等矛盾，
所以一定不是等差数列.
故选：B.
4．B
【分析】先判断数列为等差数列，结合等差数列的性质可求结果.
【详解】∵，∴是等差数列．
由等差数列的性质可得，，
∴，，∴．
故选：B．
5．B
【分析】由几何关系得，即可求出等差数列的通项，从而求得的通项.
【详解】由题意知，，且都是直角三角形，所以，且，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，由.
故选：B．
6．C
【分析】根据给定条件，构造新数列，求出通项公式即可计算作答.
【详解】依题意，，，而，
因此，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，，即，
由，得，所以.
故选：C
7．B
【分析】由图中所给信息，第1列是公差为3的等差数列，第i行的等差数列的公差为2i+1，由此计算即可．
【详解】利用图中“正方形筛子”给出的信息，第1列是首项为4公差为3的等差数列，第i行是公差为2i+1的等差数列，第7行的第1个数是，第7行是首项为22公差为15的等差数列，所以第7行的第31个数是．
故选：B
8．A
【分析】根据数列与的关系化简计算可得，等式两边同时除以得，结合等差数列的定义可知是以6为首项，5为公差的等差数列，进而求出的通项公式，即可求解.
【详解】由题意知，，
当时，，解得，
当时，，
则，
整理，得，等式两边同时除以，
得，又，
所以数列是以6为首项，5为公差的等差数列，
有，则，
所以.
故选：A.
9．AB
【分析】对各个选项，利用求出数列的通项，再借助通项判断等差数列作答.
【详解】对于A，当时，，而满足上式，
则，数列是常数数列，是等差数列，A是；
对于B，当时，，而满足上式，
则有，数列的通项是n的一次整式，是等差数列，B是；
对于C，当时，，而不满足上式，
则，显然，数列不是等差数列，C不是；
对于D，当时，，而不满足上式，
则，显然，数列的不是等差数列，D不是.
故选：AB
10．ABC
【分析】由可得，可得是公差为3的等差数列，然后利用等差数列的通项公式和求和公式逐项进行分析即可
【详解】由可得，
所以是首项为，公差为3的等差数列，故A正确；
，的前n项和，故B正确；
由可得，故C正确；
因为，故的最小值不为，故D错误；
故选：ABC
11．BCD
【分析】通过合理赋值即可判断A；对B两式作和即可判断；对C两式作差即可判断；对D，通过BC选项求出，则可判断D正确.
【详解】对A选项，令，则，，
则，则，则A错误；
对B选项，由题意中两式相加得，故B正确；
对C选项，由题意中两式作差得，
即，则C正确；
对D选项，由B得，，
两式相加得，
则，
则
若，显然，即成立,单调递增，故D正确.
故选：BCD.
12．ABD
【分析】根据定义求得后直接判断A，由等比数列定义判断B．由等比数列前项和公式求和后判断C，由错位相减法求和后判断D．
【详解】∵，，，则，∴，，成等差数列，∴A正确；
∵2为质数，在不超过的正整数中，所有偶数的个数为，∴，∵3为质数，在不超过的正整数中，所有能被3整除的正整数的个数为，
∴，则以公比为3的等比数列，故B正确，
∵，∴是以公比为的等比数列，
∴，故C错误．
∵，
∴，∴，
两式相减得：∴，故D正确．
故选：ABD．
13．100
【分析】根据通项判断其为等差数列，进而由等差数列的求和公式即可求解.
【详解】由可知是一个等差数列，且公差为，首项为19，
所以，
故答案为：100
14．
【分析】利用得到，即是以为首项，为公差的等差数列，利用等差数列求通项公式得到，利用求出通项公式.
【详解】因为，由可得，
即，
∵中各项均为正数，
∴，
，
因此是以为首项，为公差的等差数列；
，
当时，，经验证当时也满足，
所以.
故答案为：
15．
【分析】根据数列与的性质确定数列是以为首项，为公差的等差数列，从而可得通项，即可得的值.
【详解】解：数列与分别是以为公差，为首项的等差数列，
则新的数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，
故.
故答案为：.
16．
【分析】根据差分定义化已知式为数列的递推关系，得出的性质，然后由等差数列的通项公式求解．
【详解】由已知，，
即为，即，
所以数列从第2项开始向后成等差数列，公差为，
．
故答案为：26.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）两边取倒数可得：，即可证明；
（2）由（1）利用等差数列的通项公式即可得出．
【详解】（1）证明：数列{}满足．
两边取倒数可得：，即，
∴数列{}是等差数列，首项为，公差为2；
（2）由（1）可得：，
解得．
18．(1)；
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）直接令中的，可得答案；
（2）通过得到，两式相除整理后可证明数列为等差数列；
（3）当时，通过可得数列的通项公式，注意验证时是否符合.
【详解】（1）由，且，
当时，，得，
当时，，得；
（2）对于①，
当时，②，
①②得，
即，，
又，
数列是以1为首项，1为公差的等差数列；
（3）由（2）得，
，
当时，，
又时，，不符合，
.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）代入，利用得，分别求出和，进而可得，根据可证明等差数列；
（2）（1）代入，利用得，分别求出和，再利用分组求和法求出，再利用裂项相消法求数列的前项和.
【详解】（1）当时，①，
当时，②，
①-②得，
，
所以数列的奇数项成等差数列，偶数项也为等差数列，
又时，，代入得，
，，
综合得，
当时，
故数列是以1为首项，1为等差数列的等差数列；
（2）当时，①，
当时，②，
①-②得，
，
所以数列的奇数项成等差数列，偶数项也为等差数列，
又时，，代入得，
，，
则
，
.
20．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）时，根据和的关系可推出，，两式作差整理可得，验证可得，即可得出数列为等差数列；
（2）由（1）可得.当为偶数时，.并项求和可得当为偶数时，，进而当为奇数时，由即可得出答案.
【详解】（1）证明：当时，，，所以.
当时，有，，
两式相减得，
所以，则，
两式相减得，即，
因为数列各项均为正数，所以有，
又时，则，即，整理可得，
解得或（舍去），
所以，满足.
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.
（2）解：由（1）可得，，所以.
所以，当为偶数时，.
当为偶数时，；
当为奇数时，.
综上所述，.
21．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为d，写出其前n项和得到，然后根据等差数列的定义即得；
（2）由，，求得，进而得到，然后利用错位相减法即得.
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为d，
所以，
则 ，
所以 ， ，
所以数列是以为首项，以为公差的等差数列；
（2）由，，
得，
解得，
所以数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
所以，，
所以，
，
所以
所以.
22．(1)
(2)存在，理由见解析
【分析】（1）设等差数列的公差为，且，根据，解得可得答案；
（2）由（1）求出，假设存在常数使得数列为等差数列，则由数列的前3项成等差数列求出，再验证数列为等差数列即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，且，
由，得
，解得，
所以；
（2）由（1），
假设存在常数，使得数列为等差数列，
则，，成等差数列，
所以，解得，
可得，
当时，为常数，
所以数列为等差数列，
故存在常数，使得数列为等差数列.