二轮复习【数列专题】专题2数列的最大项与最小项微点4数列的最大（小）项综合训练

这是一份二轮复习【数列专题】专题2数列的最大项与最小项微点4数列的最大（小）项综合训练，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
微点4 数列的最大（小）项综合训练
一、单选题：
1．已知数列满足，前项的和为，关于，叙述正确的是（ ）．
A．，都有最小值B．，都没有最小值
C．，都有最大值D．，都没有最大值
（2023北师大附中月考）
2．设为等差数列的前项和，若，则的最小项为（ ）
A．B．C．D．
（2023天津耀华中学期末考试）
3．已知数列满足，且，则的最小值是（ ）
A．-15B．-14C．-11D．-6
4．已知，则在数列的前40项中最大项和最小项分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
5．已知数列的通项公式为，则中的最大项为（ ）
A．第6项B．第12项C．第24项D．第36项
（2023四川联考）
6．设数列的前n项和为，，，且，则的最大值是（ ）
A．2B．C．D．
7．设等差数列满足，，其前项和为，若数列也为等差数列，则的最大值是（ ）
A．310B．212C．180D．121
（202 3天津耀华中学期末考试）
8．数列的前项和，则数列中的最大项为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
（2023重庆南开中学期末考试）
9．设等差数列的前项和为，公差为，若，则下列结论正确的有（ ）
A．数列是单调递增数列
B．当取得最小值时，或6
C．
D．数列中的最小项为
10．设数列的前n项和为，且，若，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．当时，取得最小值
C．当时，n的最小值为7
D．当时，取得最小值
（2023江苏苏州期末考试）
11．已知数列满足且，数列满足（），下列说法正确的有（ ）
A．数列为等比数列B．当时，数列的前项和为
C．当且为整数时，数列的最大项有两项D．当时，数列为递减数列
（2023重庆一中期中考试）
12．单增数列满足，点，对于任意都有，则（ ）
A．数列的通项公式为
B．数列的最大值为
C．的面积为
D．四边形的面积为
三、填空题
13．已知数列{an}满足a1＝27，an+1﹣an＝2n，则的最小值为 ．
（2023）
14．已知数列{}满足，且.则数列的最大项为第 项.
（2023湖南长沙一中月考）
15．已知，若存在常数，使得对任意的正整数n都有，则的最小值为 .
（2023天津一中上学期期末考试）
16．已知等差数列中，，，记数列的前n项和为，若对任意的都成立，则实数m的取值范围为 .
四、解答题
17．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知a2+a5=1，S15=75，Tn为数列的前n项和.
(1)求Sn；
(2)求Tn及Tn的最小值.
（2023湖南郴州资兴市立中学期末考试）
18．已知数列的前n项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，试问：数列是否有最大项？若有，指出第几项最大；若没有，请说明理由.
19．数列满足，点在直线上，设数列的前n项和为，且满足，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)是否存在，使得对任意的，都有．
（2023北秦皇岛一中期末考试）
20．已知公差为正数的等差数列的前项和为，，若，，构成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列的最大项是第几项？（写出推演过程，只有结果不得分）
（2023湖北恩施州期末）
21．已知函数的图象按向量平移后得到的图象，数列满足（且）.
(1)若，且，证明：是等差数列；
(2)若，试判断中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项；若不存在，请说明理由.
22．已知数列的前n项和公式为．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)令，求数列的前n项和；
(3)设，求的最大值．
参考答案：
1．A
【分析】利用数列通项的单调性和正负即可判断出答案．
【详解】因为，所以当时，且单调递减；
当时，，且单调递减，故当时，为最小值；
又因为当时，；当时，，故可得最小，
综上可知，都有最小值．
故选：A
2．B
【分析】由题意求得的通项公式，进而得的通项公式写成分段函数形式，分别研究各段的单调性可得结果.
【详解】由题意知： ,
∵ ， ∴
又∵ ，∴ ，∴
∴ ，
∴当且，单调递减，当时，单调递增，
又∵ ， ，∴ ，
∴的最小项为.
故选：B.
3．A
【分析】根据已知条件得出最小项为，利用迭代的思想即可求得.
【详解】∵，∴当时，，当时，，∴，显然的最小值是.
又，∴
，即的最小值是.
故选：A
4．D
【解析】把给出的数列的通项公式变形，把看作的函数，分析其单调性，即可得出结论．
【详解】解：，
故当时，，且单调递减，
当时，，且单调递减，
．
这个数列的前40项中的最大项和最小项分别是，．
故选：D．
【点睛】本题主要考查数列的函数特性，属于基础题．
5．C
【分析】作商当时，；反之.解出的值即可.
【详解】因为令，得，解得．
所以当时，，即，
当时，，即，因此当时，最大．
故选：C.
6．C
【分析】将化为，可得，，解不等式组求出，可得结果.
【详解】当时，由，
得，
因为，所以，
所以，所以，
又满足上式，
所以，
所以，
所以，
设为数列中的最大项，
则，所以，所以，
所以，所以，
因为，所以，
所以的最大值是.
故选：C
7．D
【分析】设数列的公差为，得到，，然后利用数列为等差数列，得到，解得，即可得到，根据数列的增减性即可得到.
【详解】解：∵等差数列满足，，设公差为，则，
其前项和为，
∴，，，，
∵数列也为等差数列，
∴，
∴，
解得．
∴，，
∴，
由于为单调递减数列，
∴，
故选：D．
8．C
【分析】根据与的关系，可得到.进而求出，通过求解，解出正整数，即可求得数列中的最大为.
【详解】当时，.
当时，由已知得，，，
则.
当时，，满足.
所以，.
设，则.
设数列中的第项最大，则应满足，即，整理可得
解得，又，所以，，
又.
所以，数列中的最大项为.
故选：C.
9．AD
【分析】由得，再由可判断A；由得，得可判断B；由解得的范围可判断C；根据已知时 ，时，时，所以数列中的最小项在之间，再由、的正负和单调性可判断D.
【详解】对于A，因为，所以，
因为，所以，得，
故数列是单调递增数列，所以选项A正确；
对于B，因为，所以，可得，
，可得，
由数列是单调递增数列前6项都是负的且和最小，所以选项B错误；
对于C，由得，解得，故C错误；
对于D， ，
当时，，，所以，
当时，，，所以，
当时，，，所以，
所以数列中的最小项在之间，
因为在时，且逐渐增大但逐渐减小，且逐渐增大，所以逐渐增大，故最小，所以D正确.
故选：AD.
10．ABD
【分析】对于A，由变形求得，利用累加法求得，进而求得，求出，即可判断；对于B，判断的单调性，即可判断；对于C，判断单调递增，并计算的值，即可判断；对于D，根据，的值的正负以及单调性，判断的值正负以及单调性，即可判断.
【详解】由得，
∴，
累加得，，
故，当时，满足上式，
∴，
当时，，∴，故选项A正确；
由于函数 ，其图象对称轴为，当时函数递增，
故当时，单调递增，又，
∴单调递增，且，
∴当时，单调递减，当时，单调递增，且，
∴当时，取得最小值，故选项B正确；
当时，单调递增，又，
∴当时，n的最小值为8，故选项C错误；
当时，；当时，；当时，，
∴当时，考虑的最小值，
又当时，恒为正且单调递减，恒为负且单调递增，
∴单调递增，∴当时，取得最小值，故选项D正确，
故选：．
11．BCD
【分析】A选项，变形为，得到为常数列，故，，根据定义求出不是等比数列，A错误；
B选项，错位相减法求和，B正确；
C选项，作差法得到随着的变大，先增后减，根据为整数，得到且最大，即数列的最大项有两项，C正确；
D选项，作差法结合得到，故D正确.
【详解】变形为，又，故数列为常数为1的数列，故，
所以，因为，
若，则为常数为0的常数列，不是等比数列，
若，则不是定值，不是等比数列，综上A错误；
当时，，
设数列的前项和为，
，①
则，②
②-①得：，B正确；
当时，，
因为，所以当，即时，，即
当，即时，，即，
故随着的变大，先增后减，
因为为整数，故且最大，即数列的最大项有两项，C正确；
当时，，
因为，所以单调递增，故，
因为，所以，
数列为递减数列，D正确；
故选：BCD
12．ABD
【分析】A选项根据求得数列的递推关系确定为等差数列求出通项判断为正确；B选项利用作差法判断数列为递减数列，得最大值为首项，计算判断为正确；C选项利用向量法的坐标表示计算三角形的面积判断为不正确；D选项利用同样的方法计算和两三角形面积相减得到四边形的面积判断为正确.
【详解】A选项，因为，
又数列为单增数列，所以，
即数列为首项为1，公差为1的等差数列，
所以，A正确；
B选项，，
所以数列为递减数列，故当时，数列的值最大，为，
B正确；
C选项，，则
C不正确；
D选项，四边形的面积为
D正确.
故答案为：ABD.
13．．
【分析】根据已知条件用累加法求出的通项,再构造函数,利用函数单调性，求出数列的单调性，即可求的最小值.
【详解】
.
由的单调性可知, 的最小值为中较小的一个,因为,而,故
故答案为: .
【点睛】本题考查由递推公式求通项公式,考查数列的单调性,解题的关键熟练掌握常考的递推公式求通项的方法,难度较易.
14．5
【分析】先由递推公式求出通项公式，得到数列的通项公式，列不等式求出最大项时的项数.
【详解】因为，所以令，所以，所以数列{}是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，
设数列的第k项最大，则有：
，即，
解得：.
因为，所以k=5
所以第5项最大.
故答案为：5.
15．##4.5
【分析】讨论的单调性和最值，即可确定，，进而可求的最小值.
【详解】因为，
由已知，所以，，
设，则，，，
所以，，
所以，所以，
故，所以，，，
所以，所以B－A的最小值为，
故答案为：.
16．
【分析】先利用等差数列的通项公式列方程求出数列的通项公式，令，通过计算的正负确定的单调性，进而求出的最大项，则可求出实数m的取值范围.
【详解】设等差数列的公差为，
则，解得，
则等差数列的通项公式为，
则数列的通项公式为，
令，
则
即，即为递减数列，
的最大项为，
，
故答案为：
17．(1)
(2)，-5
【分析】（1）由等差数列的求和公式与通项公式求解即可；
（2）先判断为等差数列，再由等差数列的求和公式结合二次函数的性质求解即可
【详解】（1）设数列{an}的公差为d.
依题意有解得，
∴.
（2）由（1）知，∴.
设，则，
∴数列{bn}是公差为的等差数列，
首项.
又Tn为数列的前n项和，
∴.
∴当n=4或n=5时，Tn的最小值为T4=T5=-5.
18．(1)
(2)有，最大项为第8，9项
【分析】（1）利用数列的前n项和为与通项的关系即可求解；
（2）比较与1的大小关系，利用数列的单调性即可求解.
【详解】（1）解： 当时，，
所以，
又当时，也满足上式，
所以；
（2）解：由（1）知，
当时， ，所以，
令，得，
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即；
所以数列先增后减，有最大项且最大项为第8，9项.
19．(1)；
(2)存在，2，使得对任意的，都有
【分析】（1）根据等差数列的定义可得为等差数列，由的关系可得为等比数列，进而可求其通项，
（2）根据数列的单调性求解最值即可求解.
【详解】（1）点在直线上，所以
又，
∴，则数列是首项为1，公差为2的等差数列．
∴
又当时，得，
当，由 ①，
得 ②
由①－②整理得：，
∵，∴
∴，
∴数列是首项为3，公比为3的等比数列，故
（2）设，
由
当时，，当时，，
所以当或2时，取得最大值，即取得最大
所以存在，2，使得对任意的，都有
20．(1)
(2)最大项是第3项．
【分析】（1）根据已知条件求得等差数列的首项和公差，从而求得.
（2）根据已知条件列不等式，进而求得数列的最大项.
【详解】（1）由为正项等差数列，设其公差为，，
，得，则，
又，，构成等比数列，所以，
即，解得或（舍去），
所以；
（2）由（1）知，所以，
设数列的最大项是第项，
则，
解得：，所以，
所以数列的最大项是第3项．
21．(1)证明见解析；
(2)存在，最大项与最小项.
【分析】（1）求出函数的解析式，进而求出数列相邻两项的关系等式，再根据已知推理计算作答.
（2）由（1）求出数列的通项公式，再分段讨论并结合单调性求解作答.
【详解】（1）函数的图象按向量平移后得到的图象对应的函数为，
则当且时，，，
由，得当且时，，则，
所以是以为首项，1为公差的等差数列.
（2）由（1）知，数列的通项公式为，
由，得，即，
显然当时，，，即，
因此当时，数列是递减的，，
当时，，而，，，即当时，数列是递减的，，
所以数列中存在最大项与最小项.
22．(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用给定的递推公式，结合与的关系推理计算，即可判断作答.
（2）由（1）求出，再分奇偶并借助分组求和法求解作答.
（3）由（1）求出，判断的单调性即可计算作答.
【详解】（1）数列的前n项和，，则当时，，即，
当时，，解得，
所以数列是以首项为2，公比为2的等比数列.
（2）由（1）知，，，，
当n为偶数时，，
于是得，
当n为奇数时，，
所以.
（3）由（1）知，，则，
，当时，，则，
当时，，
即，有，因此，当时，数列单调递减，
当时，，当时，，则，
所以的最大值是．
【点睛】关键点睛：涉及求数列最大项问题，探讨数列的单调性是解题的关键，可以借助作差或作商的方法判断单调性作答.