第一章 集合与常用逻辑用语章末测试卷（二）-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册）

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1．（2023秋·广东揭阳·高一普宁市华侨中学校考期中）设集合，，那么“”是“” （ ）
A．必要非充分条件B．充分非必要条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【分析】根据集合的包含关系可得.
【详解】由题知，所以，若，则有，反之不成立，故“”是“” 必要非充分条件.
故选：A
2．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知集合，则满足的集合B可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意结合集合并集的含义，可确定，，依次判断各选项，可得答案.
【详解】根据集合，，可得一定有，，
结合选项知A，B，D不合题意，C合乎题意,
故选：C
3．（2023秋·山东淄博·高二统考期中）命题“”的否定是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可.
【详解】解：由题意,根据全称命题与存在性命题的关系,
可得命题“”的否定是“”.
故选D
【点睛】本题考查命题的否定,全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.
4．（2023春·四川宜宾·高一校考阶段练习）已知集合，，若，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出集合，根据得出为的子集，结合集合间的关系可得答案.
【详解】，，
因为，所以为的子集，
所以.
故选：A.
5．（2023·高一单元测试）如果集合中只有一个元素，则a的值是（ ）
A．0B．4C．0或4D．不能确定
【答案】C
【分析】利用与，结合集合元素个数，求解即可．
【详解】解：当时，集合，只有一个元素，满足题意；
当时，集合中只有一个元素，可得，解得．
则的值是0或4．
故选：．
【点睛】本题考查了集合中元素的个数问题及方程的解集有且仅有一个元素的判断，属于基础题．
6．（2023·全国·高一专题练习）已知，，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】先求出对应的不等式的解，再利用集合包含关系，进而可选出答案.
【详解】由题意，，设
，解得：或，设或
显然A是B的真子集，所以是的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，记集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据集合的运算求出集合，再根据元素与集合的关系即可得出答案.
【详解】解：，，
所以，，，.
故选：A．
8．（2023·高一课前预习）已知集合，，，且，，，若，则．
A．B．
C．D．且
【答案】B
【分析】设，得到，结合集合的表示，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，设，，，，，，
则，
令，则，且，，
则，故选B．
【点睛】本题主要考查了集合的表示方法及其应用，其中解答中根据集合的元素形式，合理运算，结合集合表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
二、多选题
9．（2023秋·贵州黔东南·高一校联考阶段练习）下列关系式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】根据集合的定义、元素与集合、集合与集合之间的关系即可求解.
【详解】对于A，中有2个元素，而中有一个元素，表示的是一个点，两者是不同的集合，故A错；对于B，集合与集合之间的关系不可以用“”这个符合，表达错误；对于C，元素与集合的关系可以用“”，0属于，正确；对于D，空集是任何集合的子集，所以正确.
故选：CD
10．（2023·全国·高一专题练习）下列命题为真命题的是（ ）
A．“”是存在量词命题B．
C．D．“全等三角形面积相等”是全称量词命题
【答案】ABD
【分析】根据量词的知识逐一判断即可.
【详解】“”是存在量词命题，选项A为真命题．
，选项B为真命题．
因为由得，所以选项C为假命题．
“全等三角形面积相等”是全称量词命题，选项D为真命题．
故选：ABD
11．（2023秋·安徽六安·高一校考阶段练习）设，，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．是的真子集D．
【答案】CD
【分析】把，配方，求其值域，即可判断得出结果.
【详解】因为，
，
即集合比集合多一个元素1，因此，.
故选：CD.
12．（2023秋·湖南株洲·高一校考阶段练习）设U为全集，是U的两个非空子集，且，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】利用维恩图，结合集合的交并补的含义即可一一判断.
【详解】由题不为空集，所以A错误,
当时,满足,但B错误,
,,C正确，D错误，
故选：ABD.
三、填空题
13．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳市翔宇中学校考阶段练习）满足的集合有 个.
【答案】
【分析】依题意可得，再用列举法列出所有的集合，即可判断.
【详解】解：因为，所以，
所以或或或，故集合共有个；
故答案为：
14．（2023·高一单元测试）命题“”为真，则实数a的范围是
【答案】
【分析】将问题转化为“不等式对恒成立”，由此对进行分类讨论求解出的取值范围.
【详解】由题意知：不等式对恒成立，
当时，可得，恒成立满足；
当时，若不等式恒成立则需，解得，
所以的取值范围是，
故答案为：.
【点睛】思路点睛：形如的不等式恒成立问题的分析思路：
（1）先分析的情况；
（2）再分析，并结合与的关系求解出参数范围；
（3）综合（1）（2）求解出最终结果.
15．（2023·全国·高三专题练习）某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲座，其中有85人听了数学讲座，70人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，16人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有5人听了全部讲座，则听讲座的人数为 ．
【答案】184.
【解析】将已知条件用Venn图表示出来，由此确定听讲座的人数.
【详解】将已知条件用Venn图表示出来如下图所示，
所以听讲座的人数为.
故答案为：184.
16．（2023·全国·高一专题练习）对于两个正整数m，n，定义某种运算“⊙”如下，当m，n都为正偶数或正奇数时，m⊙n＝m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊙n＝mn，则在此定义下，集合M＝{（p，q）|p⊙q＝10，，}中元素的个数是 .
【答案】13
【分析】根据定义可求M，从而可求其含有的元素的个数.
【详解】∵当m，n都为正偶数或正奇数时，m⊙n＝m+n；
当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊙n＝mn，
∴集合M＝{（p，q）|p⊙q＝10，，}
＝{（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3），（8，2），（9，1），
（1，10），（2，5），（5，2），（10，1）}，
共13个元素，
故答案为：13
四、解答题
17．（2023秋·江西抚州·高一南城县第二中学校考阶段练习）设集合满足若，则.
（1）若，则中至少还有几个元素？求出这几个元素.
（2）能否为单元素集合？请说明理由.
（3）若，证明：.
【答案】（1）中至少还有两个元素：和；（2） 不可能是单元素集；（3）证明见解析.
【详解】试题分析：（1）根据条件，便可由，得到，又会得到，从而的元素只有三个，写出集合即可；（2）可假设可为单元素集合，根据条件可得到需满足：，容易说明该方程无解，从而得出结论：不存在单元素集合；（3）由集合的定义即可证明.
试题解析：
（1）∵，
∴；
∴；
∴.
因此，中至少还有两个元素：和.
（2）如果为单元素集合，则，整理得，该方程无实数解，故在实数范围内，不可能是单元素集.
（3）证明：，即.
考点：元素与集合关系的判断.
【思路点睛】（1）根据条件，可由，得到，又会得到，从而可得集合的元素（2）可假设可为单元素集合，根据条件可得到关于的方程，该方程无解，从而得出不存在单元素集合；（3）由集合的定义即可证明.本题考查元素与集合的概念，元素与集合的关系，理解单元素集合的概念.属于中档题.
18．（2023秋·贵州黔西·高一阶段练习）已知全集，集合，, 求
(1)，，
(2),
【答案】（1），，
（2）或，或
【分析】（1）利用交集，并集的概念直接求解；
（2）利用交集，并集，补集的概念直接求解.
【详解】解：（1），，
，；
（2）因为全集，由（1）可得
或，或.
【点睛】本题考查集合交并补的混合运算，是基础题.
19．（2023秋·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考阶段练习）已知集合，.．
(1)当时，求，；
(2)当时，求，；
(3)当时，求a的取值范围．
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【分析】按定义进行集合交集、并集运算即可，也可由数轴法进行运算；
【详解】（1）当时，，，；
（2）当时，，，；
（3）当时，则有，则a的取值范围为.
20．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，.
(1)若，求；
(2)已知，求实数的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据并集定义直接求解即可；
（2）根据补集定义可得，由交集结果可构造不等式组求得结果.
【详解】（1）当时，，又，
或.
（2）由题意知：或，
，，解得：，
即实数的取值范围为.
21．（2023秋·安徽六安·高一校考阶段练习）命题：任意，成立；命题：存在，成立．
(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）因为为真命题，对应的二次函数，开口向上，所以只需，求解即可；
（2）命题至少有一个为真命题，只需要两个命题为真命题，然后分别求出的范围，取并集即可.
【详解】（1）由题可知恒成立，所以，即，解得；
（2）由（1）可知当为真命题时，；
当为真命题时，存在，，所以，解得或，
所以命题至少有一个为真命题，则或或，即：或.
22．（2023秋·甘肃天水·高三校考阶段练习）已知集合，集合.
（1）若，求集合；
（2）已知，且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）时，集合、为两确定的集合，利用一元二次不等式的解法结合集合运算求解；
（2）时，根据元素是的必要不充分条件，说明，确定端点的大小，利用包含关系列不等式求解即可
【详解】（1）由集合中的不等式，解得：或，即，，，
集合中的不等式为，即，解得：，即，
，
（2）当时，，，，，
，，
”是“”的必要不充分条件，，
∴或
．
【点睛】本题借助充要条件等知识点考查集合运算，含有参数的数集进行交、并、补运算，要比较端点的大小．属于中档题.