1.4 充分条件与必要条件7种常见考法归类-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册）

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1、符号“⇔”的含义
“⇔”表示“等价”,如“与等价”指的是“如果，那么”，同时有“如果，那么”，或者说“从推出”，同时可“从推出”.
2、对充分条件与必要条件的理解
(1)对“推出”的正确理解
对于命题p：∠A＝30°，q：sin A＝eq \f(1,2).显然p可以推出q，记为p⇒q，而q是不能推出p的．
(2)若p⇒q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．
(3)若p⇒q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”．
3、充分条件、必要条件的判断方法
注：（1）充分条件的判断方法
①判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题．
②除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件．
（2）必要条件的判断方法
①判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件．
②也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件．
4、充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
(3)关键点：利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值．
5、对充要条件的理解
(1)p是q的充要条件还有以下相同意义的说法：①当且仅当p成立时，q成立；②要使q成立，必须且只需p成立．
(2)对充要条件的词义表达要熟悉．如“当且仅当”“必须且只需”“等价于”“反之亦成立”等．
(3)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，也就是说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
6、条件关系判定的常用结论
7、“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别
(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．
(2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
8、p是q的充要条件的证明
(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性．
(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件．
9、探求充要条件一般有两种方法
(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．
(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．
10、应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．
11、充分必要条件与集合的关系
若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
则由A⊆B可得，p是q的充分条件，
①若AB，则p是q的充分不必要条件；
②若A⊇B，则p是q的必要条件；
③若AB，则p是q的必要不充分条件；
④若A＝B，则p是q的充要条件；
⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．
注:充分必要条件判断精髓：
小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；
考点一 充分条件的判断
考点二 必要条件的判断
考点三 探求命题成立的一个充分、必要条件
考点四 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围
考点五 充分、必要、充要条件的判断
（一）充分不必要条件的判断
（二）必要不充分条件的判断
（三）充要必要条件的判断
（四）既不充分也不必要条件的判断
考点六 充要条件的证明
考点七 充要条件的应用
（一）依据充分不必要条件求参数
（二）依据必要不充分条件求参数
（三）依据充要条件求参数
（四）依据既不充分也不必要条件求参数
考点一 充分条件的判断
1．（2023秋·山东临沂·高一校考期末）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”.其名篇“但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”（人在阵地在，人不在阵地在不在不知道），由此推断，胡马度过阴山是龙城飞将不在的什么条件？（ ）
A．充分条件B．必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
2．（2023·高一课时练习）关于x的方程有实根的一个充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·高一课时练习）下列命题中，哪些命题是“四边形是正方形”的充分条件？
(1)对角线相等的菱形；
(2)对角线互相垂直的矩形；
(3)对角线相等的平行四边形；
(4)有一个角是直角的菱形．
考点二 必要条件的判断
4．（2023·江苏·高一假期作业）“”是“”的________条件，“”是“”的________条件（用“充分”“必要”填空）．
5．（2023·江苏·高一假期作业）若a，b都是实数，试从①；②；③中分别选出适合下列条件者，用序号填空．
（ⅰ）a，b都为0的必要条件是________；
（ⅱ）使a，b都不为0的充分条件是________．
6．【多选】（2023·江苏·高一假期作业）下列命题是真命题的是（ ）
A．“x＞2”是“x＞3”的必要条件
B．“x＝2”是“x2＝4”的必要条件
C．“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件
D．p：a＞b，q：ac＞bc，p是q的必要条件
考点三 探求命题成立的一个充分、必要条件
7．【多选】（2023·江苏·高一假期作业）（多选题）使成立的充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023秋·广东深圳·高一深圳外国语学校校考阶段练习）“”的一个充分条件是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·全国·高三专题练习）的一个必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023·江苏·高一假期作业）可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件的是
A．B．C．D．
11．【多选】（2023·全国·高一专题练习）若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
考点四 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围
12．（2023·全国·高一假期作业）已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．D．
13．（2023·全国·高一假期作业）若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
14．（2023秋·四川成都·高一校考阶段练习）设全集，集合，.
(1)若，求，
(2)若成立的充分条件，求实数a的取值范围.
15．（2023秋·高一校考课时练习）已知集合，，.
(1)若是“”的充分条件，求实数a的取值范围.
(2)若，求实数a的取值范围.
16．（2023秋·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）已知集合，集合.
(1)是否存在实数，使是的充分条件？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由；
(2)是否存在非负实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由.
17．（2023秋·江苏南京·高一金陵中学校考阶段练习）集合，若“”是“”的充分条件，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
18．【多选】（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知条件p：，条件q：，且p是q的必要条件，则m的值可以是（ ）
A．B．C．-D．0
19．（2023秋·广东汕尾·高一华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习）设全集，集合，非空集合，其中.若“”是“”的必要条件，求a的取值范围.
20．（2023春·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）集合，.
(1)求；
(2)设集合，若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围.
21．（2023秋·青海西宁·高一校考期中）已知命题P：方程没有实数根．
(1)若P是真命题，求实数t的取值集合A；
(2)集合，若是的必要条件，求a的取值范围．
考点五 充分、必要、充要条件的判断
（一）充分不必要条件的判断
22．（2023·全国·高一假期作业）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
23．（2023秋·上海浦东新·高一上海南汇中学校考阶段练习）“集合”是“集合”的______条件．
24．（2023秋·高一课时练习）“”是“”的____(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”).
25．（2023秋·广东惠州·高一统考期中）“”是“”的（ ）
A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
26．（2023秋·辽宁葫芦岛·高一校联考阶段练习）在中，“”是“是等腰三角形”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
27．（2023秋·河北保定·高一河北省唐县第一中学校考阶段练习）p：四边形为矩形，q：四边形对角线相等，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
28．（2023秋·江苏连云港·高一校考期中）使或}成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．或B．或
C．或D．
29．（2023·全国·高一假期作业）已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
（二）必要不充分条件的判断
30．（2023秋·山东泰安·高一校考期中）“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
31．（2023秋·陕西西安·高二校考期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
32．（2023春·上海黄浦·高一格致中学校考期中）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
33．（2023秋·陕西渭南·高二统考期末）已知，则“”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
34．（2023秋·山西太原·高一太原十二中校考阶段练习）设平面四边形ABCD的两条对角线为AC、BD,则“”是“四边形ABCD为菱形”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
35．（2023·全国·高一阶段练习）已知下列四组陈述句：
①：集合；：集合．
②：集合；：集合．
③：；：．
④：某中学高一全体学生中的一员；：某中学全体学生中的一员．
其中p是q的必要而不充分条件的有( )
A．①②B．③④C．②④D．①③
36．【多选】（2023秋·山东·高一山东师范大学附中校考阶段练习）“”的必要不充分条件可以是（ ）
A．B．C．D．
37．（2023秋·上海青浦·高一校考阶段练习）“”的一个必要非充分条件是___________.
38．（2023秋·河南驻马店·高一校考阶段练习）不等式在R上恒成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
（三）充要必要条件的判断
39．（2023·上海宝山·统考一模）已知a，b都是自然数，则“是偶数”是“a，b都是偶数”的（ ）条件
A．充分而不必要B．必要而不充分
C．充要D．既不充分也不必要
40．【多选】（2023·江苏·高一假期作业）对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是（ ）
A．是的充要条件
B．“是无理数”是“a是无理数”的充要条件
C．是的充要条件
D．是的必要条件
41．（2023秋·江苏连云港·高一连云港高中校考阶段练习）已知下列所给的各组，中，是的充要条件的为（ ）
A．，
B．：两个三角形全等，：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等
C．，
D．：两直角三角形的斜边相等，：两直角三角形全等
42．【多选】（2023秋·云南曲靖·高一会泽县实验高级中学校校考阶段练习）下列命题中叙述不正确的是（ ）
A．“关于的方程有实数根”的充要条件是“”
B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件
C．“”的一个充分不必要条件可以是“”
D．若集合，则“”是“”的充分而不必要条件
43．【多选】（2023秋·河北邯郸·高一校考阶段练习）在下列所示电路图中，下列说法正确的是（ ）
A．如图所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件
B．如图所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件
C．如图所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件
D．如图所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件
44．（2023·上海松江·统考一模）下面四个条件中，使成立的充要条件为（ ）
A．B．C．D．
45．（1983·全国·高考真题）三个数，，不全为零的充要条件是（ ）
A．，，都不是零B．，，中最多有一个是零
C．，，中只有一个是零D．，，中至少有一个不是零
46．（2023秋·河北张家口·高一张家口市宣化第一中学校考期中）设，则“”的一个充要条件是（ ）
A．a，b都为2B．a，b都不为2C．a，b中至少有一个为2D．a，b都不为0
（四）既不充分也不必要条件的判断
47．（2023秋·天津南开·高一崇化中学校考期末）命题是命题的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充要条件
48．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）“”是“”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分又不必要条件
49．（2023·天津·校联考一模）若，则“”是“”的（ ）.
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
50．（2023秋·陕西宝鸡·高一统考期末）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
考点六 充要条件的证明
51．（2023秋·高一课时练习）设，求证：的充要条件是.
52．（2023秋·高一课时练习）已知x，y∈R，求证:xy=0是x2+y2=0的必要不充分条件.
53．（2023·全国·高一假期作业）已知都是非零实数，且，求证：的充要条件是.
54．（2023秋·陕西西安·高二校考阶段练习）求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是.
55．（2023秋·陕西宝鸡·高一校考阶段练习）已知 ，求证：是的充要条件.
考点七 充要条件的应用
（一）依据充分不必要条件求参数
56．【多选】（2023秋·安徽合肥·高一校考期末）若是的充分不必要条件，则实数a可以是（ ）
A．0B．1C．2D．3
57．（2023春·四川内江·高二威远中学校校考期中）“”是“”的充分不必要条件，若，则取值可以是___________（满足条件即可）.
58．【多选】（2023秋·广东江门·高一校考阶段练习）若是的充分不必要条件，则实数的值可以是（ ）
A．B．C．D．
59．（2023·全国·高一专题练习）设集合，命题，命题
(1)若是的充要条件，求正实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围.
60．（2023·高一单元测试）已知全集，集合，.
(1)当时，求和；
(2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
61．（2023秋·江苏扬州·高一期末）已知集合，在①；②““是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.
(1)当时，求；
(2)若______，求实数a的取值范围.
（二）依据必要不充分条件求参数
62．（2023·高一单元测试）若p：是q：（）的必要而不充分条件，则实数a的值为（ ）
A．B．或C．D．或
63．（2023·全国·高三专题练习）若“”是“”的必要不充分条件，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
64．（2023·高一课时练习）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值为________．
65．（2023·江苏·高一假期作业）已知，，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
66．（2023·高一课时练习）已知关于的方程的解集至多有两个子集，，．若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
（三）依据充要条件求参数
67．（2023秋·云南大理·高一统考期末）若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为______.
68．（2023秋·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校考阶段练习）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是_________．
69．（2023秋·陕西西安·高三校考期中）集合，其中b是实数，若A是B的充要条件，则b=_________；若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是_______（答案不唯一，写出一个即可）
70．（2023秋·湖南郴州·高一校考阶段练习）设集合，；
(1)用列举法表示集合；
(2)若是的充要条件，求实数的值.
71．（2023秋·高一单元测试）请在“①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件”这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.已知集合，，若是成立的________条件，判断实数是否存在？