第五章 三角函数章末测试卷（一）-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册）

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1．（2023上·新疆乌鲁木齐·高一新疆农业大学附属中学校考期末）已知，则（ ）
A．B．C．或1D．或1
【答案】B
【分析】利用弦化切可得出关于的等式，即可求得的值.
【详解】因为
，解得.
故选：B.
2．（2023上·陕西西安·高一交大附中校考阶段练习）若，则的化简结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据同角平方和的关系，结合角的范围即可化简求解.
【详解】
，
由于，所以，故，
故选：D
3．（2023上·新疆乌鲁木齐·高一新疆农业大学附属中学校考期末）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由诱导公式、同一三角函数的平方关系和商数关系对选项一一判断即可得出答案.
【详解】令，则，，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，由上述计算可知，，故D正确.
故选：D.
4．（2023·四川雅安·统考一模）“”是“函数的图象关于直线对称”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据正弦型函数的对称性结合充分、必要条件分析判断.
【详解】若，则当，可得，为最大值，
所以函数的图象关于直线对称，即充分性成立；
若函数的图象关于直线对称，
则，解得，
不一定成立，即必要性不成立；
综上所述：“”是“函数的图象关于直线对称”的充分不必要条件.
故选：A.
5．（2023上·四川绵阳·高一绵阳中学校考期末）南朝乐府民歌《子夜四时歌》之夏歌曰：“叠扇放床上，企想远风来；轻袖佛华妆，窈窕登高台.”，中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴.如图所示，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形环（扇形环是一个圆环被扇形截得的一部分）制作而成.若一把折扇完全打开时，其扇形环扇面尺寸（单位：）如图所示，则该扇面的面积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设圆心角，圆的半径，由弧长公式得，根据扇形面积公式计算即可.
【详解】
如图：与交于圆心O，设圆心角，圆的半径，
由弧长公式得 ，解得，
该扇面的面积为
故选：A
6．（2023·山东·泰安一中校联考模拟预测）若“，”是假命题，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】确定对于恒成立，变换，根据三角函数的值域得到答案.
【详解】“，”是假命题，
即对于恒成立，即，
，，故.
故选：B
7．（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数的部分图象如图，则在上的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据函数图像求得三角函数里的，写出函数解析式，从而找到在时的零点个数.
【详解】设周期为，则，
由图知，
或，
由图知在递减区间上成立，所以，
，且，
则，
所以，
即，
因为，
所以时，，
则，
由，
或，
所以在上有2个零点.
故选：B
8．（2023上·湖北武汉·高三湖北省武昌实验中学校考阶段练习）已知函数的一个对称中心为，现将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在上单调递减，则可取值为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【分析】由二倍角公式化简函数解析式，利用对称中心求得，根据三角函数图象变换得出，然后结合余弦函数性质求得的范围即可得出答案．
【详解】，
∵函数图象的一个对称中心为.
∴，即，
∵，∴，
∴，
将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，
则，
当时，，
若函数在上单调递减，则，得，故D符合.
故选：D.
二、多选题
9．（2023上·吉林·高一吉林一中校考期末）下列各式中，值为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】利用三角函数的恒等变换即可得解.
【详解】对于A，因为，
所以，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，
，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选：AB.
10．（2023上·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考阶段练习）已知，且 ，则( )
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】结合同角三角函数基本关系运算即可得到.
【详解】由，
则，
即，故B正确；
又，
所以，，
故为第二象限角，
则，
，
则，故D正确,C错误；
又，
即有，，
又，故，故A正确.
故选：ABD.
11．（2023上·四川绵阳·高一绵阳中学校考期末）已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．函数的最小正周期为B．函数的一个单调增区间为
C．函数的一个对称中心是D．函数的一条对称轴是
【答案】AD
【分析】利用的图象与性质，对选项一一验证即可.
【详解】对于A：的最小正周期为，故A正确；
对于B：当时，，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C：函数的对称中心纵坐标为，故C错误；
对于D：当时，，
所以的一条对称轴是，故D正确.
故选：AD.
12．（2023上·辽宁丹东·高三校联考阶段练习）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务，2023年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于点对称
C．函数图象的一条对称轴是
D．若，，则的最小值为
【答案】ACD
【分析】先求出周期性，通过正弦函数的性质可判断A；根据点关于点对称的点不在函数图象上，判断B不正确；根据判断C正确；根据函数的最大值，结合推出，再根据的最小正周期为可得的最小值为，可得D正确.
【详解】对于A，因为的最小正周期为，
而向右平移单位可得，
故函数的最小正周期为，故A正确；
对于B，在的图象上取一点，
其关于点对称的点不在的图象上，
所以函数的图象不关于点对称，故B不正确；
对于C，因为，
所以函数图象的一条对称轴是，故C正确；
对于D，因为，所以，
因为由A知，函数的最小正周期为，所以，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．（2023上·内蒙古鄂尔多斯·高二统考期末）已知，则 .
【答案】
【分析】利用三角函数的平方关系，结合余弦函数的和差公式即可得解.
【详解】因为，
所以，
两相加得，得.
故答案为：.
14．（2023上·浙江杭州·高一学军中学校考阶段练习）已知函数，且，则 ．
【答案】
【分析】根据条件，利用诱导公式即可求出结果.
【详解】因为，
所以，得到，
又得到，
故答案为：.
15．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）函数，的值域为 .
【答案】
【分析】求出的取值范围，再结合二次函数的基本性质可求得结果.
【详解】令，，
因为函数在上单调递增，当时，，即，
又因为函数在上单调递增，
当时，，
所以，函数，的值域为.
故答案为：.
16．（2023上·吉林·高一吉林一中校考期末）已知为钝角，为钝角满足，则 ．
【答案】
【分析】根据同角的三角函数关系求出，利用两角和的余弦公式求出的值，结合角的范围，即可求得答案.
【详解】由于为钝角，为钝角，，
所以，
所以．
又因为为钝角，为钝角，所以，
所以．
故答案为：．
四、解答题
17．（2024上·湖北·高一期末）已知函数
(1)填写下表，并用“五点法”画出在上的图象；

(2)将的图象向下平移1个单位，横坐标扩大为原来的4倍，再向左平移个单位后，得到的图象，求的对称中心．
【答案】(1)表格见解析，图象见解析
(2)
【分析】（1）首先根据五点法将表格补充完整，然后描点，最终用一条“光滑”的曲线连接起来即可.
（2）根据三角函数图形的平移变换、伸缩变换法则求得的表达式，通过整体代换即可求解.
【详解】（1）
（2）的图象向下平移1个单位得，
横坐标扩大为原来的4倍得，，
再向左平移个单位后，得，
令，得，
所以函数的对称中心为
18．（2023上·新疆乌鲁木齐·高一新疆农业大学附属中学校考期末）已知
(1)化简；
(2)若是第三象限角，且，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式化简；
（2）由，可求得和，可得.
【详解】（1）.
（2）若是第三象限角，且，有
则，，
所以.
19．（2023上·四川成都·高一校联考期末）已知.
(1)求；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）上下同除，将正余弦化成正切即可计算；
（2）借助，将原式化为齐次分式后上下同除，将正余弦化成正切后借助的值即可计算.
【详解】（1），，
解得；
（2）
.
20．（2024上·甘肃白银·高一校考期末）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式及其图象的对称轴所在直线的方程；
(2)先把函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若当时，关于的方程有实数根，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先由函数的部分图象求出解析式，再根据解析式求出对称轴所在直线的方程；
（2）先由平移得到的解析式，再求出时的取值范围即可.
【详解】（1）由题意可得，可得，所以.
因为，所以，可得，所以.
由，可得.
因为，所以，
所以.
令，可得，
所以其图象的对称轴所在直线的方程为.
（2）由题意可得，
当时，.
若关于的方程有实数根，则有实根，
所以，可得.所以实数的取值范围为.
21．（2023上·四川内江·高三四川省内江市第二中学校考阶段练习）已知函数．
(1)判断函数在上的单调性；
(2)将函数的图象向右平移个周期后得到函数的图象，求函数在区间上的值域．
【答案】(1)在单调递增，在单调递减
(2)
【分析】（1）利用三角函数的诱导公式变形，再求其单调性即可；
（2）先做平移变换，再利用正弦函数的单调性求值域即可.
【详解】（1）原式，
令，解得，
又因为，可得函数的递增区间为，递减区间为，
所以函数在单调递增，在单调递减.
（2）因为，周期，
向右平移个周期后得到函数的图象，则，
因为，
所以
22．（2023上·新疆乌鲁木齐·高一校考期末）设函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数图象的对称轴、对称中心；
(3)当x取何值时，函数有最值；
(4)求函数的单调区间；
(5)判断函数在上的单调性；
(6)求函数在上的值域；
(7)求函数的解集．
【答案】(1)
(2)对称轴，对称中心
(3)时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值
(4)增区间为，减区间为
(5)减区间为，增区间为
(6)
(7)
【分析】（1）根据正弦型函数最小正周期公式，即可求得答案；
（2）根据正弦函数的对称轴以及对称中心，利用整体代换的方法，即可求得答案；
（3）根据正弦函数的最值，利用整体代换的方法，即可求得答案；
（4）根据正弦函数的单调性，利用整体代换的方法，求解不等式，即可求得答案；
（5）根据x的范围，确定，结合正弦函数单调性，即可求得答案；
（6）根据x的范围，确定，结合正弦函数的性质，即可求得答案；
（7）由可得，结合正弦函数性质，解三角不等式，即可得答案.
【详解】（1）对于函数，它的最小正周期为．
（2）令，求得，
可得函数图象的对称轴为；
令，求得，
可得函数图象的对称中心为；
（3）令，求得，
可得当时，函数取得最大值为2；
令，求得，
可得当时，函数取得最小值为-2．
（4）令，求得，
可得函数的增区间为．
令，求得，
可得函数的减区间为．
（5）在上，，
故当时，即时，函数单调递减；
当时，即时，函数单调递增，
故函数在上的减区间为，增区间为；
（6）在上，，
故当时，函数取得最小值为-2；
当时，函数取得最大值为，
故函数的值域为；
（7）函数，即，故有，
求得，
故函数的解集为.
x
0
x
0
0
0