2023-2024学年宁夏银川二中高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年宁夏银川二中高一（上）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x>−1}，B={−2,−1,0,2,4}，则A∩B=( )
A. {−1,0,2}B. {−2,0,4}C. {0,2,4}D. {0,4}
2.函数f(x)=lg(x+1)x−1的定义域为( )
A. (−1,+∞)B. [−1,+∞)
C. (−1,1)∪(1,+∞)D. [−1,1)∪(1,+∞)
3.已知点P(tanθ,sinθ)是第三象限的点，则θ的终边位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4.一个扇形的圆心角为150°，面积为5π3，则该扇形半径为( )
A. 4B. 1C. 2D. 2
5.函数f(x)=2x⋅tanx(−1A. B. C. D.
6.设a=lg213，b=(12)0.4，c=(13)0.5，则( )
A. c7.已知sin(π3−α)+sinα=35，则sin(2α+π6)=( )
A. −725B. 725C. −2425D. 2425
8.已知函数f(x)=sinπx,0≤x≤1lg2020x,x>1，若a，b，c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则a+b+c的取值范围是( )
A. (1,2020)B. (1,2021)C. (2,2021)D. [2,2021]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于函数y=tan(x+π3)的说法错误的是( )
A. 函数的图象关于点(π3,0)中心对称B. 函数的定义域为{x|x≠π6+kπ,k∈Z}
C. 函数在区间(−π6,5π6)上单调递增D. 函数在区间[−5π6,π6]上单调递增
10.下列命题为真命题的是( )
A. “∀x∈R，x2+x+1>0”的否定为“∃x∈R，x2+x+1<0”
B. 若函数f(x)的定义域为R，则“f(0)=0”是“函数f(x)为奇函数”的必要不充分条件
C. 函数y= (x−3)2与函数y=x−3是同一个函数
D. 若方程x2−ax−(a+1)=0在区间[2,3]上有实数解，则实数a的取值范围为[1,2]
11.已知关于x的不等式ax+bx−c≥0的解集为(−∞,−2]∪(1，+∞)，则( )
A. c=1
B. 点(a,b)在第二象限
C. 2a+1b的最小值为2
D. 关于x的不等式ax2+ax−b≥0的解集为(−∞,−2]⋃[1,+∞)
12.声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数y=Asinωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f(x)=|csx|+ 3|sinx|，则下列结论正确的是( )
A. f(x)是偶函数B. f(x)的最小正周期为2π
C. f(x)在区间[0,π2]上单调递增D. f(x)的最小值为1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知幂函数f(x)=xm经过点(2,14)，则f( 2)= ．
14.请写出一个同时满足下列三个条件的函数f(x)：
(1)f(x)是偶函数；
(2)f(x)在(0,+∞)上单调递减；
(3)f(x)的值域是(0,+∞)．
则f(x)= ______ ．
15.已知函数f(x)=ax+2−3(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mx−n的图象上，其中实数m，n满足mn>0，则1m+2n的最小值为 ．
16.已知函数f(x)满足f(x)+f(−x)=0，对任意的x1，x2∈(0,+∞)都有x2f(x2)−x1f(x1)x1−x2<0恒成立，且f(1)=0，则关于x的不等式f(x)<0的解集为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知角α的终边上有一点P的坐标是(3a,4a)，其中a≠0．
(1)求tanα的值；
(2)求sinα(1+2sinαcsα)sinα+csα的值．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)= 2cs(2x−π4)，x∈R．
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数f(x)在区间[−π8,π2]上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=lga(2−2x)+lga(x+5)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最大值为2，求a的值．
20.(本小题12分)
建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于0℃时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的气温(单位：℃)随时间t(0≤t≤24，单位：小时)的大致变化曲线，若该曲线近似满足f(t)=Asin(ωt−2π3)+b(A>0,ω>0)关系．
(1)求y=f(t)的表达式；
(2)请根据(1)的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin2ωx+ 3sinωxsin(ωx+π2)(其中ω>0)．
(1)若函数f(x)的最小正周期是π2，求f(x)的对称中心；
(2)若f(x)在[0,2π]上有且仅有2个零点，求ω的取值范围．
22.(本小题12分)
设f(x)=−2x+m2x+1+n(m>0,n>0)是奇函数．
(1)求m与n的值；
(2)如果对任意x∈R，不等式f(2a+cs2x)+f(4sinx− 2a−1−7)>0恒成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：集合A={x|x>−1}，B={−2,−1,0,2,4}，
则A∩B={0,2,4}．
故选：C．
利用交集定义、不等式性质直接求解．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：要使函数有意义需x+1>0x−1≠0，
解得x>−1且x≠1．
∴函数f(x)=lg(x+1)x−1的定义域是(−1,1)∪(1,+∞)．
故选：C．
依题意可知要使函数有意义需要x+1>0且x−1≠0，进而可求得x的范围．
本题主要考查对数函数的定义域及其求法，熟练解不等式组是基础，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了三角函数值的符号与角的关系，属于基础题．
由于点P(tanθ,sinθ)在第三象限，可得tanθ<0sinθ<0，即可得出．
【解答】
解：∵点P(tanθ,sinθ)在第三象限，
∴tanθ<0sinθ<0，∴θ在第四象限．
故选D．
4.【答案】D
【解析】解：设扇形的半径为R，
则150π×R2360=5π3，解得R=2．
故选：D．
根据扇形的面积公式即可求解．
本题主要考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：根据题意，f(x)=2x⋅tanx(−1有f(−x)=2x⋅tanx=f(x)，为偶函数，排除AC，
在区间(0,1)上，x>0，tanx>0，则有f(x)>0，排除D，
故选：B．
根据题意，先分析函数的奇偶性，排除AC，再判断函数在(0,1)上的符号，排除D，即可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性和函数值符号的分析，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：∵y=lg2x是增函数，∴a=lg213∵y=(12)x是减函数，y=x0.5在(0,+∞)上是增函数，
∴b=(12)0.4>(12)0.5>(13)0.5=c>0，
∴a故选：B．
利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性直接求解．
本题考查指数函数、对数函数、幂函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】A
【解析】解：由题可得，sin(π3−α)+sinα= 32csα−12sinα+sinα= 32csα+12sinα=sin(α+π3)=35，
所以sin(2α+π6)=sin[2(α+π3)−π2]=−cs2(α+π3)=2sin2(α+π3)−1=2×(35)2−1=−725．
故选：A．
由两角差的正弦公式和辅助角公式得到sin(α+π3)=35，再整体法利用诱导公式和二倍角公式求出答案．
本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，考查了辅助角公式的应用，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查分段函数的性质以及应用，涉及正弦函数的对称性，考查数形结合的解题思想，是中档题．
由函数的解析式作出函数f(x)的图象，设f(a)=f(b)=f(c)=m，且a【解答】
解：作出函数f(x)=sinπx,0≤x≤1lg2020x,x>1的图象如图，
设f(a)=f(b)=f(c)=m，且a则函数y=f(x)与直线y=m的三个交点从左到右依次为：
(a,m)、(b,m)、(c,m)，
点(a,m)与(b,m)在y=sinπx，x∈(0,1)上，
则(a,m)与(b,m)关于直线x=12对称，则有a+b=1，
若lg2020x=1，解得x=2020，
若满足f(a)=f(b)=f(c)，且由a因此2故选：C．
9.【答案】ACD
【解析】解：tan(π3+π3)=− 3，A错；
由x+π3≠kπ+π2，得x≠kπ+π6，k∈Z，B正确；
x∈(−π6,5π6)时，x+π3∈(π6,7π6)，
函数在此区间上不单调，C错；
x=−5π6或x=π6时，函数值不存在，D错．
故选：ACD．
根据正切函数性质把各选项代入检验．
本题考查正切型函数的性质，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：对于A，“∀x∈R，x2+x+1>0”的否定为“∃x∈R，x2+x+1≤0”，故A错误；
对于B，不妨f(x)=x2，满足f(0)=0，但函数f(x)不为奇函数，故充分性不成立，
函数f(x)为奇函数，函数f(x)的定义域为R，
则f(0)=0，
故“f(0)=0”是“函数f(x)为奇函数”的必要不充分条件，故B正确；
对于C，y= (x−3)2的值域为[0,+∞)，y=x−3的值域为R，故C错误；
对于D，x2−ax−(a+1)=0，
则x2−1=ax+a=a(x+1)，
∵x∈[2,3]，
∴a=x−1，
∵方程x2−ax−(a+1)=0在区间[2,3]上有实数解，
∴a∈[1,2]，故D正确．
故选：BD．
对于A，结合命题否定的定义，即可求解；
对于B，结合奇函数的定义，即可求解；
对于C，通过判断两个函数的值域是否相同，即可求解；
对于D，结合分离参数法，即可求解．
本题主要考查命题的真假判断与应用，考查转化能力，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：原不等式等价于(ax+b)(x−c)≥0x−c≠0，因为其解集为(−∞,−2]∪(1，+∞)，
所以a>0且c=1，−ba=−2，故A正确．
因为a>0，b=2a>0，则点(a,b)在第一象限，故B错误．
由b=2a>0可得，2a+1b=2a+12a≥2 2a⋅12a=2，当且仅当2a=12aa>0时，即a=12时，等号成立，所以2a+1b的最小值为2，故C正确．
由b=2a>0可得，不等式ax2+ax−b≥0即为ax2+ax−2a≥0．
化简可得x2+x−2≥0，即(x+2)(x−1)≥0，则其解集为(−∞,−2]⋃[1,+∞)，故D正确．
故选：ACD．
根据题意，由原不等式的解集可得c=1，−2a+b=0，即可判断ABD，然后再由基本不等式即可判断C．
本题主要考查其它不等式的解法，基本不等式的应用，属于中档题．
12.【答案】AD
【解析】解：∵f(−x)=|cs(−x)|+ 3|sin(−x)|=|csx|+ 3|sinx|=f(x)，
∴f(x)是偶函数，故A对，
∵f(x+π)=|cs(x+π)|+ 3|sin(x+π)|=|csx|+ 3|sinx|=f(x)，
∴π是f(x)的周期，故B错，
∵当x∈[0,π2]时，f(x)=|csx|+ 3|sinx|=csx+ 3sinx=2sin(x+π6)，
∴f(x)在区间[0,π3]上单调递增，在(π3,π2]上单调递减，故C错，
∵π是f(x)的周期，且当x∈[0,π2]时，f(x)min=f(0)=1，
当x∈(π2,π]时，f(x)=−csx+ 3sinx=2sin(x−π6)，f(x)min=f(π)=1，
∴f(x)的最小值为1，故D对．
故选：AD．
由奇偶性的定义可得f(x)是偶函数，可验证π是f(x)的周期，当x∈[0,π2]时，去绝对值号化简判断函数的单调性，结合函数的周期性求f(x)在[0,π]上的最小值即可．
本题考查了三角函数的性质及绝对值函数的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．
13.【答案】12
【解析】【分析】
本题考查了幂函数的性质．
把点的坐标代入幂函数解析式求出m的值，求出解析式，再计算f( 2)的值．
【解答】
解：幂函数f(x)=xm经过点(2,14)，
即2m=14，解得m=−2，
所以f(x)=x−2；
所以f( 2)=( 2)−2=12．
故答案为：12．
14.【答案】x−2(答案不唯一)
【解析】解：因为f(x)是偶函数，在(0,+∞)上单调递减，值域是(0
则符合条件的一个函数为f(x)=x−2．
故答案为：x−2(答案不唯一)．
结合基本初等函数的性质即可求解．
本题主要考查了函数性质在函数解析式求解中的应用，属于基础题．
15.【答案】4
【解析】【分析】
本题主要考查了指数型函数过定点问题，考查了基本不等式的应用，是中档题．
先令x+2=0，求出点A的坐标，代入一次函数y=mx−n得2m+n=2，由题意可知m>0，n>0，所以1m+2n=12(1m+2n)⋅(2m+n)，再利用基本不等式即可求出结果．
【解答】
解：函数f(x)=ax+2−3，
令x+2=0，得：x=−2，此时f−2=1−3=−2，
所以函数f(x)的图象恒过定点A(−2,−2)，
又∵点A在一次函数y=mx−n的图象上，
∴−2=−2m−n，即2m+n=2，
又∵实数m，n满足mn>0，
∴m>0，n>0，
∴1m+2n=12(1m+2n)⋅(2m+n)
=12(4+nm+4mn)
≥12(4+2 nm×4mn)=4，
当且仅当nm=4mn即n=2m时，等号成立，
即m=12，n=1时，1m+2n取得最小值4，
故答案为：4．
16.【答案】{x|−11}
【解析】解：f(x)满足f(x)+f(−x)=0，
∴f(x)为奇函数，
对任意的x1，x2∈(0,+∞)都有x2f(x2)−x1f(x1)x1−x2<0恒成立，
故xf(x)在(0,+∞)上单调递增，根据奇函数的对称性可知，f(x)在(−∞,0)上单调递减，
∴f(−1)=f(1)=0，
由f(x)<0可得，−11，
即解集为{x|−11}．
故答案为：{x|−11}．
根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．
17.【答案】解：(1)因为a≠0，
所以tanα=4a3a=43．
(2)原式=sinα(sinα+csα)2sinα+csα=sinα(sinα+csα)=sin2α+sinαcsαsin2α+cs2α=tan2α+tanαtan2α+1=(43)2+43(43)2+1=2825．
【解析】(1)运用三角函数定义计算即可．
(2)由完全平方公式化简，结合齐次式求值即可．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
18.【答案】解：(1)f(x)的最小正周期T=2π|ω|=2π2=π，
当2kπ≤2x−π4≤2kπ+π，
即kπ+π8≤x≤kπ+5π8，k∈Z时，f(x)单调递减，
∴f(x)的单调递减区间是[kπ+π8,kπ+5π8]，k∈Z．
(2)∵x∈[−π8,π2]，则2x−π4∈[−π2,3π4]，
故cs(2x−π4)∈[− 22,1]，
∴f(x)max= 2，此时2x−π4=0，即x=π8；
f(x)min=−1，此时2x−π4=3π4，即x=π2．
【解析】本题考查复合三角函数的单调性，着重考查余弦函数的周期公式及单调性与最值的应用，属于中档题．
(1)由余弦函数的周期公式T=2π|ω|即可求得答案；
(2)x∈[−π8,π2]⇒2x−π2∈[−3π4,π2]，利用余弦函数的单调性即可求得其最小值和最大值及取得最值时x的值．
19.【答案】解：(1)令2−2x>0x+5>0，解得−5所以函数f(x)的定义域{x|−5(2)函数f(x)=lga(2−2x)+lga(x+5)=lga(−2x2−8x+10)，
设t(x)=−2x2−8x+10=−2(x+2)2+18，则t(x)在(−5,−2)单调递增，在(−2,1)单调递减，
因为函数f(x)有最大值，根据复合函数的单调性性质，所以a>1，
所以函数f(x)也在(−5,−2)单调递增，在(−2,1)单调递减，
故函数f(x)的最大值为f(−2)=lga18=2，即a=3 2．
【解析】(1)根据解析式，列出不等式组，得函数的定义域；
(2)根据复合函数单调性“同增异减”的性质，判断a>1，得函数f(x)的单调性，得最大值为f(−2)，解得a的值．
本题主要考查函数定义域的求解，还考查了函数单调性域最值关系的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由图可知A=12−(−4)2=8，且b=12+(−4)2=4，
又T2=14−2，∴周期T=24，∴ω=π12，
又根据五点法可得π12×14+φ=π2，
∴φ=−2π3，
∴f(t)=8sin(π12t−2π3)+4，(0≤t≤24)；
(2)令f(t)=8sin(π12t−2π3)+4<0，
∴sin(π12t−2π3)<−12，
∴7π6+2kπ<π12t−2π3<11π6+2kπ，(k∈Z)，
∴22+24k∴0≤t<6或22∴该商场的中央空调在一天内开启的时长为8小时．
【解析】(1)根据三角函数的图象性质即可求解；
(2)解三角不等式即可得解．
本题考查三角函数的图象性质，三角不等式的求解，属中档题．
21.【答案】解：(1)函数f(x)=sin2ωx+ 3sinωxsin(ωx+π2)=1−cs2ωx2+ 32sin2ωx=sin(2ωx−π6)+12，
∵函数f(x)的最小正周期是π2，
∴2π2ω=π2，
∴ω=2，
∴f(x)=sin(4x−π6)+12，
令4x−π6=kπ(k∈Z)，得x=π24+kπ4(k∈Z)，
∴f(x)的对称中心为(π24+kπ4,0)(k∈Z)；
(2)令f(x)=0，得sin(2ωx−π6)=−12，
∵0≤x≤2π，∴−π6≤2ωx−π6≤4ωx−π6，
∵f(x)=sin(2ωx−π6)+12在[0,2π]上有且仅有2个零点，
∴7π6≤4ωx−π6<11π6，
解得13≤ω<12，
即ω的取值范围为[13,12).
【解析】(1)先化简f(x)的解析式，再利用三角函数的周期公式求出ω的值，再利用正弦函数的对称轴公式求解；
(2)令f(x)=0，得sin(2ωx−π6)=−12，由0≤x≤2π可得−π6≤2ωx−π6≤4ωx−π6，再结合正弦函数的图象可得7π6≤4ωx−π6<11π6，从而求出ω的取值范围．
本题主要考查了三角函数恒等变换，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．
22.【答案】解：(1)f(x)=−2x+m2x+1+n(m>0,n>0)是奇函数，
则f(0)=0，即m−1=0，可得m=1；
又定义域为R，可得f(−x)=−f(x)，
即为1−2−x21−x+n=−1−2x2x+1+n，
可得(n−2)(1−2x)=0，即有n=2；
(2)f(x)=1−2x2+2x+1=−12+11+2x，
可得奇函数f(x)在R上递减，
f(2a+cs2x)+f(4sinx− 2a−1−7)>0
等价为f(2a+cs2x)>−f(4sinx− 2a−1−7)=f(−4sinx+ 2a−1+7)，
即为2a+cs2x<−4sinx+ 2a−1+7，
即有2a− 2a−1−7<−cs2x−4sinx恒成立，
由g(x)=−cs2x−4sinx=sin2x−4sinx−1=(sinx−2)2−5，
由−1≤sinx≤1，可得sinx=1即x=2kπ+π2，k∈Z，可得g(x)取得最小值−4，
所以2a− 2a−1−7<−4，
所以( 2a−1−2)( 2a−1+1)<0，
即为0≤2a−1<4，
解得12≤a<52，
即a的取值范围是[12,52).
【解析】(1)由奇函数的性质可得f(0)=0，求得m；再由奇函数的定义，结合恒等式的性质，可得n；
(2)由奇函数的定义和单调性的定义，可得2a+cs2x<−4sinx+ 2a−1+7，再由参数分离和正弦函数的值域、二次函数的单调性，以及不等式恒成立思想，解不等式可得所求取值范围．
本题考查函数的奇偶性和单调性的定义和运用，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．