2022-2023学年湖南省株洲市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年湖南省株洲市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合U={1,2,3,4,5}，M={1,3,5}，N={2,3,4}，则M∩(∁UN)等于( )
A. {3}B. {1,5}C. {1,3,5}D. {1,2,3,4,5}
2.已知复数z满足(4+3i)z=1+2i，则|z|=( )
A. 15B. 55C. 5D. 5
3.已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴非负半轴上，点P(−6,−8)为角α终边上一点，则csα=( )
A. −45B. 34C. 35D. −35
4.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，C1D的中点，则异面直线A1B，EF所成角余弦值是( )
A. 22B. 33C. 63D. 32
5.指数函数y=(ba)x的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
6.已知平面向量a=(4,2),b=(1,3)，则a在b方向上的投影向量是( )
A. (1,3)B. (2,−1)C. (5,5)D. (4,2)
7.已知实数a=lg23,b=lg34,c=tan4π3，则( )
A. a>b>cB. c>b>aC. c>a>bD. b>a>c
8.已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(π−x)，若函数y=esinx与y=f(x)图象有n个交点，其坐标为(x1,y1)，(x2,y2)，⋯(xn,yn)，则x1+x2+⋯+xn=( )
A. 0B. n2C. nπ2D. nπ
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列命题正确的是( )
A. “x<1”是“1x>1”的充分不必要条件
B. 命题“∀x<1，x2<1”的否定是“∃x<1，x2≥1”
C. x+y=0的充要条件是xy=−1
D. 若x+y>2，则x，y至少有一个大于1
10.若P(AB)=16,P(A−)=23,P(B)=12，则下列说法正确的是( )
A. P(A)=12B. 事件A与B不互斥
C. 事件A与B相互独立D. 事件A−与B不一定相互独立
11.已知函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)，则下列说法正确的是( )
A. 若f(x)的最小正周期为π，则ω=2
B. 若ω=1，则(π3,0)是f(x)的对称中心
C. 若f(x)在[0,π2]上单调递增，则0<ω≤23
D. 若f(x)在[0,2π]上恰有2个零点，则1≤ω<3
12.正八面体是由8个等边三角形组成的几何体.如图所示，正八面体ABCDEF中，下列结论正确的是( )
A. AC//EF
B. AF⊥平面BCDE
C. AB与平面BCDE所成角为60∘
D. 该几何体的棱长为3时其内切球的体积为 6π
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知tanα=2，则sin(π−α)+6csα4csα−sinα=______.
14.设正实数m，n满足m+n=2，则1m+3n的最小值为______.
15.已知圆锥的底面直径为2，侧面展开图为半圆，则圆锥的表面积为______.
16.在△ABC中，已知AB=2，AC=4，∠BAC=60∘，M为线段BC的中点，N为线段AC上一动点，则MN⋅BN的最小值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=sin(x+π3)+sin(x−π3)+ 3csx−1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈[0,π]时，求函数f(x)的取值范围.
18.(本小题12分)
2023年中国经济将会进一步发展，但也会面临一些挑战.某地为了帮助中小微企业渡过难关，给予企业一定的专项贷款资金支持.如图是该地120家中小微企业的专项贷款金额(万元)的频率分布直方图：
(1)确定a的值，并估计这120家中小微企业的专项贷款金额的第50百分位数(结果保留整数)；
(2)按专项贷款金额进行分层抽样，从这120家中小微企业中随机抽取20家，记专项贷款金额在[200,300]内应抽取的中小微企业数为m.
①求m的值；
②从这m家中小微企业中随机抽取3家，求这3家中小微企业的专项贷款金额都在[200,250)内的概率.
19.(本小题12分)
已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acsC+asinC−b−c=0.
(1)求角A的大小；
(2)若a=2 2，求△ABC的内切圆面积的最大值.
20.(本小题12分)
某医学研究所研发一种药物，据监测，如果成人在2h内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每毫升血液中的药物含量y(μg)与服药后的时间t(h)之间近似满足如图所示的曲线，其中OA是线段，曲线段AB是函数y=kat(t≥2,a>0,k,a是常数)的图象，且A(2,4)，B(3,2).
(1)写出注射该药后每毫升血液中药物含量y关于时间t的函数关系式；
(2)据测定：每毫升血液中药物含量不少于0.5kg时治疗有效，如果某人第一次注射药物为早上8点，为保持疗效，第二次注射药物最迟是当天几点钟？
(3)若按(2)中的最迟时间注射第二次药物，则第二次开始注射到达1.5h时，此刻该人每毫升血液中药物含量为多少μg？(参考数据： 2≈1.4)
21.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥面ABCD，AE⊥PB，F为棱PC上一动点.
(1)平面AEF与平面PBC是否相互垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由；
(2)若E为PB的中点，求二面角E−AC−B的余弦值.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg22+x2−x.
(1)判断函数f(x)的单调性并加以证明；
(2)若函数g(x)=|f(x)+4f(x)−b|+b在区间[23,3017]上的最大值为5，求实数b的取值范围.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵U={1,2,3,4,5}，N={2,3,4}，
∴∁UN={1,5}，
又M={1,3,5}，
∴M∩(∁UN)={1,5}.
故选：B.
根据集合的交、并、补运算法则，直接进行运算即可．
本题主要考查补集及其运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由(4+3i)z=1+2i，
得z=(1+2i)(4−3i)(4+3i)(4−3i)=4−3i+8i−6i225=10+5i25=25+15i，
所以|z|= (25)2+(15)2= 55.
故选：B.
先由(4+3i)z=1+2i化简计算求出复数z，从而可求出其模．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：因为点P(−6,−8)是角α终边上一点，
所以csθ=−6 36+64=−35.
故选：D.
根据三角函数的定义可知，csθ=x x2+y2，可求得答案．
本题主要考查了任意角三角函数的定义，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查异面直线所成角、属于基础题.
如图所示，连接CD1，确定∠CFE或其补角是异面直线EF与A1B所成角，在直角△CFE中，计算得到答案
【解答】
解：如图所示：
F是线段C1D的中点，连接CD1交C1D于F，
由正方体的性质知CD1//BA1，知异面直线A1B，EF所成角即为直线CD1，EF所成角，
故∠CFE或其补角是异面直线EF与A1B所成角，
设正方体边长为2，
在△CFE中，CF= 2，CE=1，EF= 3，
则CF2+CE2=EF2，
所以∠FCE=90∘，
故cs∠CFE=CFFE= 2 3= 63.
故选C.
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查指数函数的图象与性质、二次函数图象与性质，分析出二次函数的对称轴的范围是解答本题的关键，属于基础题．
先由指数函数的图象判断出0【解答】
解：由指数函数y=(ba)x的图象可知0而二次函数的图象的对称轴为x=−b2a，所以−12<−b2a<0，
对照四个选项：
对于A：对称轴−12对于B：对称轴0对于C：对称轴−1对于D：对称轴12故选：A.
6.【答案】A
【解析】解：a在b方向上的投影为|a|⋅cs⟨a,b⟩=a⋅b|b|=4×1+3×2 1+9= 10，
又b方向上的单位向量为b|b|=(1 10,3 10)，
故a在b方向上的投影向量是|a|⋅cs⟨a,b⟩⋅b|b|=(1,3).
故选：A.
由向量数量积找到a在b方向上的投影为|a|⋅cs⟨a,b⟩=a⋅b|b|，再结合投影向量的定义求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：设f(x)=ln(x+1)lnx，x>1，
则f′(x)=xlnx−(x+1)ln(x+1)x(x+1)ln2x，x>1，
设h(x)=xlnx，x>1，
则h′(x)=lnx+1>0，
∴h(x)在(1,+∞)上单调递增，
∴h(x)−h(x+1)<0，
∴f′(x)<0，
∴f(x)=ln(x+1)lnx=lnx(x+1)在(1,+∞)上单调递减，
∴f(2)>f(3)，
∴a>b，
∵28=256>35=243，∴(285)5>35，
∵函数y=x5在(0,+∞)上为增函数，
∴285>3，
∴lg2285>lg23，即85>lg23，
又tan4π3= 3>85>lg23，∴c>a，
∴c>a>b.
故选：C.
利用函数的单调性及中间量判断，即可比较a，b，c的大小．
本题考查利用函数单调性比较大小，属中档题．
8.【答案】C
【解析】解：因为函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(π−x)，
所以f(x)的图象关于直线x=π2对称，
令g(x)=esinx，因为g(π−x)=esin(π−x)=esinx=g(x)，
所以g(x)=esinx的图象关于直线x=π2对称，
又因为函数y=esinx与y=f(x)图象有n个交点，其坐标为(x1,y1)，(x2,y2)，⋯(xn,yn)，
若(x1,y1)与(xn,yn)关于直线x=π2对称，(x2,y2)与(xn−1,yn−1)关于直线x=π2对称，(x3,y3)与(xn−2,yn−2)关于直线x=π2对称，…，
则x1+xn=x2+xn−1=x3+xn−2=π，
令S=x1+x2+⋯+xn，则S=xn+xn−1+⋯+x1，
所以2S=(x1+xn)+(x2+xn−1)+…+(xn+x1)=nπ，
所以x1+x2+⋯+xn=nπ2，
故选：C.
由f(x)=f(π−x)可得f(x)的图象关于直线x=π2对称，再可判断出y=esinx的图象也关于直线x=π2对称，从而可得答案．
本题考查了函数的对称性、倒序相加求和，得出g(x)=esinx的图象关于直线x=π2对称是关键，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：对于A选项，若x<0则得不到1x>1，故不是充分条件；
对于B选项，由全称量词的否定可判断其正确；
对于C选项，若x=y=0则得不到xy=−1，故不是充要条件，C选项错误；
对于D选项，若x，y均不大于1，则x+y≤2，故x，y至少有一个大于1，故D选项正确．
故选：BD.
根据必要条件与充分条件的概念、全称量词的否定、不等式的性质依次判定即可．
本题考查向量不等式性质、充分条件、必要条件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：∵P(A−)=23，∴P(A)=1−23=13，故A错误；
又P(AB)=16≠0，所以事件A与B不互斥，故B正确；
∵P(A)⋅P(B)=13×12=16=P(AB)，则事件A与B相互独立，故C正确；
因为事件A与B相互独立，所以事件A−与B一定相互独立，故D错误．
故选：BC.
利用对立事件概率和为1可判断A错误；根据互斥事件不可能同时发生，可判断B正确；根据相互独立事件的定义和性质，可以判断C正确，D错误．
本题主要考查互斥事件的定义，以及相互独立事件的定义和性质，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：对于A，若f(x)的最小正周期为π，则2πω=π，解得ω=2，故A正确；
对于B，若ω=1，则f(x)=sin(x+π6)，
所以f(π3)=1，所以x=π3是f(x)的对称轴，故B错误；
对于C，x∈[0,π2]时，ωx+π6∈[π6,πω2+π6]，
因为f(x)在[0,π2]上单调递增，则π6<πω2+π6≤π2，解得0<ω≤23，故C正确；
对于D，x∈[0,2π]时，ωx+π6∈[π6,2πω+π6]，
若f(x)在[0,2π]上恰有2个零点，则2π≤2πω+π6<3π，解得1112≤ω<1712，故D错误．
故选：AC.
根据正弦函数的周期公式可判断A的真假；求出f(π3)可判断B的真假；由x∈[0,π2]可得ωx+π6∈[π6,πω2+π6]，求解π6<πω2+π6≤π2可判断C的真假；由x∈[0,2π]可得ωx+π6∈[π6,2πω+π6]，求解2π≤2πω+π6<3π可判断D的真假．
本题考查三角函数的性质的应用，属于基础题．
12.【答案】ABD
【解析】解：对A选项，如图，
根据对称性易知AF与CE相互垂直平分，
∴四边形ACFE为平行四边形，
∴AC//EF，∴A选项正确；
对B选项，如图，
根据对称性易知AF与CE相互垂直平分，
AF与BD相互垂直平分，
∴易得AF⊥平面BCDE，∴B选项正确；
对C选项，如图，
设CD∩CE=O，由B选项分析易知：
AB与平面BCDE所成角为∠ABO，
又易知BO= 22BE= 22AB，
∴cs∠ABO=BOAB= 22，∴∠ABO=45∘，∴C选项错误；
对D选项，该几何体的棱长为3时，
由C选项可知AO=BO= 22AB=3 22，
∴该几何体的体积为2VA−BCDE=2×13×3×3×3 22=9 2，
设该几何体的体积的内切球的半径为R，
则根据等体积算法可得：
2VA−BCDE=8×13×12×3×3× 32×R，
∴9 2=6 3R，∴R= 3 2，
∴该几何体的棱长为3时其内切球的体积为4πR33= 6π，∴D选项正确．
故选：ABD.
根据线面垂直的判定定理，线面角的概念，等体积算法，即可分别求解．
本题考查了空间中直线与平面的位置关系，线面角的概念，等体积法求解几何体的内切球问题，化归转化思想，属中档题．
13.【答案】4
【解析】解：因为tanα=2，
所以sin(π−α)+6csα4csα−sinα=sinα+6csα4csα−sinα=tanα+64−tanα=2+64−2=4.
故答案为：4.
利用诱导公式化简条件后，分子分母同时除以csα，进一步计算即可．
本题主要考查了诱导公式及同角基本关系的应用，属于基础题．
14.【答案】2+ 3
【解析】解：因为正数m，n满足m+n=2，
所以，m2+n2=1，
所以，1m+3n=(1m+3n)⋅(m2+n2)=2+n2m+3m2n≥2+2 34=2+ 3，
当且仅当n2m=3m2n，即n= 3m时等号成立，
所以，1m+3n的最小值为2+ 3.
故答案为：2+ 3.
由题知m+n=2，再根据基本不等式“1”的用法求解即可．
本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．
15.【答案】3π
【解析】解：设圆锥的母线长为l，
因为圆锥的底面直径为2，侧面展开图为半圆，
所以πl=2π×1，即l=2，
所以圆锥的表面积为π×12+2π=3π.
故答案为：3π.
设圆锥的母线长为l，由条件可得πl=2π×1，解出l，然后可算出答案．
本题考查了圆锥体的结构特与体积计算问题，是基础题．
16.【答案】1516
【解析】解：由AB=2，AC=4，∠BAC=60∘，
得|BC|=|AC−AB|= (AC−AB)2= AC2+AB2−2AC⋅AB= 16+4−8=2 3，
故AB2+BC2=AC2，所以AB⊥BC，
如图，以点B为原点，建立平面直角坐标系，
AB=2，AC=4，M为线段BC的中点，N为线段AC上一动点，
则A(2,0),B(0,0),C(0,2 3),M(0, 3)，设AN=λAC(0≤λ≤1)，
则AN=λAC=λ(−2,2 3)=(−2λ,2 3λ),BM=(0, 3),BA=(2,0)，
故BN=BA+AN=(−2λ+2,2 3λ),MN=BN−BM=(−2λ+2,2 3λ− 3)，
所以MN⋅BN=(−2λ+2)2+2 3λ(2 3λ− 3)=16λ2−14λ+4，
当λ=716时，MN⋅BN取得最小值1516.
故答案为：1516.
易得AB⊥BC，以点B为原点，建立平面直角坐标系，再利用平面向量数量积得坐标表示计算即可．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由已知得：f(x)=sin(x+π3)+sin(x−π3)+ 3csx−1
=sinxcsπ3+csxsinπ3+sinxcsπ3−csxsinπ3+ 3csx−1
=sinx+ 3csx−1=2sin(x+π3)−1，
2kπ−π2≤x+π3≤2kπ+π2⇒2kπ−5π6≤x≤2kπ+π6，k∈Z，
单调递增区间为：[2kπ−5π6,2kπ+π6](k∈Z)；
(2)当x∈[0,π]⇒x+π3∈[π3,4π3]，
所以当x+π3=4π3，即x=π时，取得最小值− 3−1，
当x+π3=π2，即x=π6时，取得最大值，
所以f(x)的取值范围为[− 3−1,1].
【解析】(1)利用三角恒等变换公式对函数化简可得f(x)=2sin(x+π3)−1，然后由2kπ−π2≤x+π3≤2kπ+π2,k∈Z可求出函数的增区间，
(2)由x∈[0,π]，得x+π3∈[π3,4π3]，然后根据正弦函数的性质可求出f(x)的取值范围
本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由频率分布直方图，得(0.002+0.003+2a+0.006+0.001)×50=1，
解得a=0.004.
设第50百分位数为t，专项贷款金额在[0,150)内的频率为0.45，
在[150,200)内的频率为0.3，.
所以第50百分位数t在[150,200)内，所以(t−150)×0.006=0.05，解得t≈158，
所以估计这120家中小微企业的专项贷款金额的第50百分位数为158万元．
(2)①由题意，得抽取比例为20120=16，.
专项贷款金额在[200,300]内的中小微企业有120×50×(0.004+0.001)=30家，
所以应抽取30×16=5家，所以m=5.
②在抽取的5家中小微企业中，专项贷款金额在[200,250)内的有5×45=4家，
记为A，B，C，D，专项贷款金额在[250,300]内的有5×15=1家，记为E.
从这5家中小微企业中随机抽取3家的可能情况为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10种，
其中这3家中小微企业的专项贷款金额都在[200,250)内的情况为ABC，ABD，ACD，BCD，共4种，
所以所求概率P=410=25.
【解析】(1)根据小矩形面积之和等于1，可求出a的值，再由频率分布直方图中位数的计算方式求解即可；
(2)①先确定抽取比例，再由分层抽样的定义求解即可；
②先求出这5家中小微企业中随机抽取3家的可能情况，再求出这3家中小微企业的专项贷款金额都在[200,250)内的情况，利用古典概型概率计算公式求解即可．
本题考查频率分布直方图的性质、分层抽样、百分位数、概率等基础知识，考查数据分布能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)acsC+asinC−b−c=0，由正弦定理得：sinAcsC+sinAsinC−sinB−sinC=0.
即sinAcsC+sinAsinC−sin(A+C)−sinC=0，
sinAcsC+sinAsinC−sinAcsC−csAsinC−sinC=0，
sinAsinC−csAsinC−sinC=0，
∴sinA−csA−1=0，可得 2sin(A−π4)=1，
所以A=π2.
(2)由(1)得△ABC为直角三角形，b2+c2=8，
如图所示，设直角三角形ABC内切圆圆心为O，切点分别为D，E，F，
则OD=OE=OF=r，且DB=BF，CE=CF，AD=AE=r，
所以BF=c−r，CF=b−r，
故c−r+b−r=a，解得r=b+c−a2，
故△ABC的内切圆半径r=b+c−2 22.
由 b2+c22≥b+c2知b+c≤4，
当且仅当b=c=2时，等号成立，
故r取最大值2− 2，此时的内切圆面积为π(2− 2)2=(6−4 2)π.
【解析】(1)由正弦定理和sinB=sin(A+C)得到sinA−csA−1=0，结合辅助角公式得到A=π2；
(2)在(1)的基础上求出b2+c2=8，结合基本不等式求出b+c≤4，从而得到内切圆半径的最大值，求出内切圆面积的最大值．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)当0≤t≤2时，y=2t；
当t≥2时，把A(2,4)，B(3,2)代入y=kat(t≥2,a>0,k,a是常数)，
得ka2=4ka3=2，解得a=12，k=16，
所以y=16⋅(12)t，t>2；
所以y关于时间t的函数关系式为y=2t,0≤t≤216⋅(12)t,t>2.
(2)设第一次注射药物后最迟过 t小时注射第二次药物，其中t>2，
则16⋅(12)t≥0.5，解得t≤5，
即第一次注射药物5h后开始第二次注射药物，即最迟13点注射药物．
(3)第二次注射药物1.5h后，
每毫升血液中第一次注射药物的含量为y1=16⋅(12)6.5= 24，
每毫升血液中第二次注射药物的含量为y2=2×1.5=3(ug)，
此时两次注射药物后的药物含量为 24+3≈3.4(ug).
所以该人每毫升血液中药物含量为3.4μg.
【解析】(1)根据函数图象分段求解函数解析式即可；
(2)根据题意列出不等式，求解出答案；
(3)求出每毫升血液中含第一次服药和第二次服药后的剩余量，再相加即可．
本题考查了根据实际问题选择合适的函数模型，也考查了运算求解能力，是中档题．
21.【答案】解：(1)垂直，理由如下：
证明：∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB⊥BC，
∵PA∩AB=A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE，
∵AE⊥PB，PB∩BC=B，PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，
∴AE⊥平面PBC，AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC.
(2)连接BD交AC于点O，过E作EM⊥AB于点M，
过M作MN⊥AC于点N，连接EN；
∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，
又EM//PA，∴EM⊥平面ABCD，
又AC⊂平面ABCD，∴EM⊥AC，
∵MN⊥AC，MN∩EM=M，MN⊂平面EMN，EM⊂平面EMN，
∴AC⊥面EMN，EN⊂平面EMN，则AC⊥EN，
综上，∠ENM为二面角E−AC−B的平面角，
∵E为PB的中点，结合AE⊥PB，∴PA=AB，
设AB=2，则EM=1，易知MN=14BD= 22，
在Rt△EMN中，NE= 1+12= 62，∴cs∠ENM= 22 62= 33，
二面角E−AC−B的余弦值为 33.
【解析】(1)由PA⊥平面ABCD，得到PA⊥BC，再由四边形ABCD是正方形，得到AB⊥BC，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；
(2)连接BD交AC于点O，过E作EM⊥AB于点M，过M作MN⊥AC于点N，连接EN，得到∠ENM为二面角E−AC−B的平面角求解．
本题主要考查面面垂直的证明，二面角的求法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)函数f(x)在定义域上单调递增；
证明：由题得2+x2−x>0，解得−2所以函数f(x)的定义域为(−2,2)，
设−2则f(x1)−f(x2)=lg22+x12−x1−lg22+x22−x2=lg2(2+x12−x1⋅2−x22+x2)=lg24−x1x2+2(x1−x2)4−x1x2+2(x2−x1)，
∵−2∴0<4−x1x2+2(x1−x2)<4−x1x2+2(x2−x1)，
∴4−x1x2+2(x1−x2)4−x1x2+2(x2−x1)<1，
∴lg24−x1x2+2(x1−x2)4−x1x2+2(x2−x1)<0，
即f(x1)−f(x2)<0，
∴f(x1)所以函数f(x)在定义域上单调递增；
(2)设t=f(x)，由(1)可知：f(x)在区间[23,3017]单调递增，
∴f(23)≤f(x)≤f(3017)，即1≤t≤4，
设m=t+4t，
由对勾函数的性质可知m=t+4t在[1,2]单调递减，[2,4]单调递增，
所以m=t+4t∈[4,5]，
则原问题等价于y=|m−b|+b在区间[4,5]的最大值为5，求实数b的取值范围，
当b≥5时，y=b−m+b=2b−m，在m∈[4,5]上单调递减，
∴ymax=2b−4=5，得b=92<5，不合题意，舍去；
当b≤4时，y=m−b+b=m，在m∈[4,5]上单调递增，
y=m−b+b≤5，此时命题成立；
当4则|4−b|+b≥|5−b|+b|4−b|+b=5或|4−b|+b≤|5−b|+b5−b|+b=5，
解得4综上可得，实数b的取值范围为(−∞,92].
【解析】(1)利用函数单调性的定义及对数函数的性质、对数的基本运用证明即可；
(2)设t=f(x)，因为f(x)在区间[23,3017]单调递增，所以1≤t≤4，设m=t+4t∈[4,5]，将问题转化为y=|m−b|+b在区间[4,5]的最大值为5，求实数b的取值范围，分b≥5、b≤4、4本题考查了对函数单调性的判断及证明、转化思想、对数函数、双勾函数的性质，属于中档题．