2023-2024学年河南省南阳市方城县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省南阳市方城县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.二次根式 a−1中，字母a的取值范围是( )
A. a1
2.已知2是关于x的方程x2+ax−3a=0的根，则a的值为( )
A. −4B. 4C. 2D. 45
3.电线杆AB直立在水平的地面BC上，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC=5，∠ACB=52°，则拉线AC的长为( )
A. 5tan52∘
B. 5cs52∘
C. 5⋅cs52°
D. 5sin52∘
4.某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是( )
A. 袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球
B. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6
C. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
D. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
5.关于x的一元二次方程kx2+4x−2=0有实数根，则k的取值范围是( )
A. k≥−2B. k>−2且k≠0C. k≥−2且k≠0D. k≤−2
6.如图，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为点O，OC′：CC′=3：1，△A′B′C′的面积为18，则△ABC面积为( )
A. 54
B. 32
C. 24
D. 916
7.某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程( )
A. 50(1+x)2=175B. 50+50(1+x)2=175
C. 50(1+x)+50(1+x)2=175D. 50+50(1+x)+50(1+x)2=175
8.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AF，DE相交于点M，G为BC上一点，N为EG的中点.若BG=3，CG=1，则线段MN的长度为( )
A. 5
B. 172
C. 2
D. 132
9.如图，已知点A(1,0)，B(4,m)，若将线段AB平移至CD，其中点C(−2,1)，D(a,n)，则m−n的值为( )
A. −3
B. −1
C. 1
D. 3
10.如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AC边的中点，动点P从点D出发，沿着D→A→B的路径以每秒1个单位长度的速度运动到B点，在此过程中线段CP的长度y随着运动时间x变化的函数关系如图②所示，则边BC的长是( )
A. 5B. 2 2C. 2 5511D. 4 5511
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11. (−5)2= ______．
12.请写出一个两根分别是1，−2的一元二次方程______．
13.新高考“3+1+2”选科模式是指，除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选择2科.某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为______．
14.如图，△ABC中，在CA，CB上分别截取CD，CE，使CD=CE，分别以D，E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点F，作射线CF，交AB于点M，过点M作MN⊥BC，垂足为点N.若BN=CN，AM=4，BM=5，则AC的长为______．
15.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，AB=2，A(1,0)，∠DAB=60°，将菱形ABCD绕点A旋转90°后，得到菱形AB1C1D1，则点C1的坐标是______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算：
(1) 30× 52+ 40÷ 5− 12；
(2)2sin30°+3cs60°−4tan45°．
17.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，过点M(4,0)的直线l/​/y轴，△ABC的顶点均在格点上．
(1)作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，再分别作△A1B1C1关于x轴和直线l对称的图形△A2B2C2和△A3B3C3；
(2)分别写出A1、A2、A3点的坐标为：
A1：______；
A2：______；
A3：______；
(3)△A2B2C2可以看作是△ABC绕点O顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；△A3B3C3可以看作是△ABC向右平移得到的，平移距离为______个单位长度．
18.(本小题9分)
人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动.人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片(卡片背面完全相同)，将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．

(1)随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为______；
(2)从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率．
19.(本小题9分)
如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上，AE=3，连接BE交AC于点F，过点F作FG/​/BC，交CD于点G.求FG的长．
20.(本小题9分)
已知关于x的一元二次方程2x2−5x−m=0(m为常数)．
(1)当m=3时，求该方程的实数根；
(2)若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
21.(本小题9分)
小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点A，B处测出点D的仰角度数，可以求出信号塔DE的高.如图，AB的长为5m，高BC为3m.他在点A处测得点D的仰角为45°，在点B处测得点D的仰角为38.7°.A，B，C，D，E在同一平面内．
你认为小王同学能求出信号塔DE的高吗？若能，请求出信号塔DE的高；若不能，请说明理由.(参考数据：sin38.7°≈0.625，cs38.7°≈0.780，tan38.7°≈0.80，结果保留整数)
22.(本小题10分)
为积极响应新旧功能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为35万元时，年销售量为550台；每台售价为40万元时，年销售量为500台．假定该设备的年销售量y(单位：台)和销售单价x(单位：万元)成一次函数关系．
(1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于60万元，如果该公司想获得8000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
23.(本小题10分)
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=n°，点D是平面内不与点A，B重合的任意一点，连结CD，将线段CD绕点D顺时针旋转n°得到线段ED，连结CE，BE，AD．
(1)观察猜想
如图①，当n=60°时，请直接写出线段BE与AD的数量关系：______；
(2)类比探究
如图②，当n=90°时，探究线段BE与AD的数量关系，并说明理由；
(3)解决问题
当n=90°时，若BE/​/AC，AB=4 2，AD=1，请直接写出线段DC的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据题意得：a−1≥0，解得a≥1．
故选C．
根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，即可求a的取值范围．
主要考查了二次根式的意义和性质．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2.【答案】B
【解析】解：∵2是关于x的方程x2+ax−3a=0的一个根，
∴把x=2代入得：22+2a−3a=0，
解得：a=4．
故选：B．
根据题意把x=2代入方程，即可求出a的值，从而选出选项．
本题主要考查了对一元二次方程的解，一元一次方程解法的理解和掌握，把x=2代入方程，求出关于a的方程的解是解此题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵∠ABC=90°，∠ACB=52°，BC=5，
∴cs52°=BCAC=5AC，
∴AC=5cs52∘
故选：B．
直接利用锐角三角函数关系得出cs52°=BCAC，进而得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．
4.【答案】B
【解析】解：A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为23，不符合题意；
B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为16，符合题意；
C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为13，不符合题意；
D、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为12，不符合题意；
故选：B．
分别计算出每个事件的概率，其值约为0.16的即符合题意；
本题主要考查概率的计算和频率估计概率思想，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ0，
解得：m>−258，
∴m的取值范围为m>−258．
【解析】(1)将m=3代入方程，利用因式分解法可求出方程的实数根；
(2)根据方程的系数结合根的判别式Δ=b2−4ac>0，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．
本题考查了一元二次方程根的判别式、公式法解一元二次方程，牢记“当Δ>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
21.【答案】解：能，过B作BF⊥DE于F，
则EF=BC=3m，BF=CE，
在Rt△ABC中，∵AB=5m，BC=3m，
∴AC= AB2−BC2=4(m)，
在Rt△ADE中，∵∠DAE=45°，
∴AE=DE，
设AE=DE=xm，
∴BF=(4+x)m，DF=(x−3)m，
在Rt△BDF中，tan38.7°=DFBF=x−34+x≈0.80，
解得x=31，
∴DE=31m，
答：信号塔DE的高为31m．
【解析】过B作BF⊥DE于F，于是得到EF=BC=3m，BF=CE，根据勾股定理得到AC= AB2−BC2=4(m)，根据等腰直角三角形的性质得到AE=DE，设AE=DE=x m，于是得到BF=(4+x)m，DF=(x−3)m，根据三角函数的定义即可得到结论．
此题主要考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角的三角函数概念是解题关键．
22.【答案】解：(1)设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
将(35,550)、(40,500)代入y=kx+b，得
35k+b=55040k+b=500．
解得：k=−10b=900，
∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=−10x+900；
(2)设此设备的销售单价为x万元/台，
则每台设备的利润为(x−30)万元，销售数量为(−10x+900)台，
根据题意得：(x−30)(−10x+900)=8000．
整理，得：x2−120x+3500=0，
解得：x1=50，x2=70．
∵此设备的销售单价不得高于60万元，
∴x=50．
答：该设备的销售单价应是50万元/台．
【解析】(1)根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式；
(2)设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为(x−30)万元，销售数量为(−10x+900)台，根据总利润=单台利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于60的值即可得出结论．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23.【答案】BE=AD
【解析】解：(1)如图：
∵将线段CD绕点D顺时针旋转n°得到线段ED，
∴∠CDE=n°，DC=DE，
∵n=60°，
∴∠CDE=∠BAC=60°，
∵AB=AC，
∴△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠DCE=∠ACB=60°，
∴∠BCE=∠ACD，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴BE=AD；
故答案为：BE=AD；
(2)BE= 2AD，理由如下：
如图：
∵将线段CD绕点D顺时针旋转n°得到线段ED，
∴∠CDE=n°，DC=DE，
∵n=90°，
∴∠CDE=∠BAC=90°，
∵AB=AC，
∴△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，
∴CE= 2CD，BC= 2AC，∠ACB=∠DCE=45°，
∴CECD= 2=BCAC，∠BCE=∠ACD，
∴△BCE∽△ACD，
∴BEAD=CECD= 2，
∴BE= 2AD；
(3)过E作EH⊥AC交CA延长线于H，
当D在A上方时，如图：
由(2)知，BE= 2AD，CE= 2CD，
∵AD=1，
∴BE= 2，
∵n=90°，
∴∠BAC=∠HAB=90°，
∵BE/​/AC，
∴∠ABE=∠BAC=90°，
∵EH⊥AC，
∴∠H=90°，
∴四边形ABEH是矩形，
∴AH=BE= 2，EH=AB，
∵AB=AC=4 2，
∴CH=AC+AH=5 2，EH=AB=4 2，
∴CE= CH2+EH2= (5 2)2+(4 2)2= 82，
∴ 82= 2CD，
解得CD= 41；
当D在A下方时，如图：
同理可得EH=AB=AC=4 2，AH=BE= 2AD= 2，
∴CH=AC−AH=4 2− 2=3 2，
∴CE= EH2+CH2= (4 2)2+(3 2)2=5 2，
∵CE= 2CD，
∴5 2= 2CD，
∴CD=5；
综上所述，CD的长为 41或5．
(1)根据将线段CD绕点D顺时针旋转n°得到线段ED，n=60°，可知△ABC和△DCE都是等边三角形，故BC=AC，CD=CE，∠DCE=∠ACB=60°，有∠BCE=∠ACD，从而△BCE≌△ACD(SAS)，即得BE=AD；
(2)根据将线段CD绕点D顺时针旋转n°得到线段ED，n=90°，可得△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，有CECD= 2=BCAC，∠BCE=∠ACD，可得△BCE∽△ACD，即知BEAD=CECD= 2，BE= 2AD；
(3)过E作EH⊥AC交CA延长线于H，分两种情况：当D在A上方时，由(2)知，BE= 2AD知BE= 2，证明四边形ABEH是矩形，可得CH=AC+AH=5 2，EH=AB=4 2，可求出CE= CH2+EH2= 82，故 82= 2CD，CD= 41；当D在A下方时，同理可得CD=5．
本题考查几何变换综合应用，设计三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，矩形的判定与性质等，解题的关键是掌握等腰直角三角形三边的关系．