2023-2024学年河南省南阳市油田九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省南阳市油田九年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在下列二次根式中，与 2是同类二次根式的是( )
A. 4B. 6C. 12D. 18
2.一技术人员用刻度尺(单位：cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示，已知∠ACB=90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD=( )
A. 3.5cmB. 3cmC. 4.5cmD. 6cm
3.下列运算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. (−5)2=−5
C. (3− 2)2=11−6 2D. 6÷2 3× 3=3
4.用配方法解一元二次方程x2−6x+8=0配方后得到的方程是( )
A. (x+6)2=28B. (x−6)2=28C. (x+3)2=1D. (x−3)2=1
5.如图，在△ABC中，∠CAD=90°，AD=3，AC=4，BD=DE=EC，点F是AB边的中点，则DF=( )
A. 54B. 52C. 2D. 1
6.某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感.设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程( )
A. x+(1+x)=36B. 2(1+x)=36
C. 1+x+x(1+x)=36D. 1+x+x2=36
7.若关于x的一元二次方程x2−3x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为( )
A. −9B. −94C. 94D. 9
8.中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分.若从这四部著作中随机抽取两本(先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本)，则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是( )
A. 18B. 16C. 13D. 12
9.下列关于二次函数y=(x−2)2−3的说法正确的是( )
A. 图象是一条开口向下的抛物线B. 图象与x轴没有交点
C. 当x<2时，y随x增大而增大D. 图象的顶点坐标是(2,−3)
10.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P是斜边AB上一动点(不与点A、B重合)，PQ⊥AB交△ABC的直角边于点Q，设AP为x，△APQ的面积为y，则下列图象中，能表示y关于x的函数关系的大致图象的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知x为正整数，写出一个使 x−3在实数范围内没有意义的x值是______．
12.两个相似图形的周长比为3：2，则面积比为______．
13.某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表：
①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；
②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；
③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．
其中正确的是______.(填序号)
14.如图，三角形纸片ABC中，AC=6，BC=9，分别沿与BC，AC平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是 ．
15.矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN=AB=1.当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算：(π−1)0− 8+|−2 2|；
(2)解方程：2x2+x−2=0．
17.(本小题9分)
如图，A，B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是−6，−1，5，转盘B上的数字分别是6，−7，4(两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同).小聪和小明同时转动A，B两个转盘，使之旋转(规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次)．
(1)转动转盘，转盘A指针指向正数的概率是______；
(2)若同时转动两个转盘，转盘A指针所指的数字记为a，转盘B指针所指的数字记为b，若a+b>0，则小聪获胜；若a+b<0，则小明获胜；请用列表法或树状图法说明这个游戏是否公平．
18.(本小题9分)
如图，在▱ABCD中，∠DAB=30°．
(1)实践与操作：用尺规作图法过点D作AB边上的高DE；(保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)应用与计算：在(1)的条件下，AD=4，AB=6，求BE的长．
19.(本小题9分)
已知二次函数y=x2−2x−3．
(1)求该二次函数的顶点坐标；
(2)求该二次函数图象与x轴、y轴的交点；
(3)在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数y=x2−2x−3的图象；
(4)结合函数图象，直接写出当−1≤x≤2时，y的取值范围．
20.(本小题9分)
拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品.某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度.东塔的高度为AB，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为1.5m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为46m，并且东塔AB、标杆EF和GH在同一竖直平面内.从标杆EF后退2m到D处(即ED=2m)，从D处观察A点，A、F、D在一直线上；从标杆GH后退4m到C处(即CG=4m)，从C处观察A点，A、H、C三点也在一直线上，且B、E、D、G、C在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔AB的高度．
21.(本小题9分)
某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售.当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量y(kg)与每千克售价x(元)满足一次函数关系．
(1)请直接写出y与x的函数关系式；
(2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？
(3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
22.(本小题10分)
某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m3，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案.现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度ON=12m，拱高PE=4m.其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE=EN．
方案二，抛物线型拱门的跨度ON′=8m，拱高P′E′=6m.其中，点N′在x轴上，P′E′⊥O′N′，O′E′=E′N′．
要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好(框架的粗细忽略不计).方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S1，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A′B′C′D′的面积记为S2，点A′，D′在抛物线上，边B′C′在ON′上.现知，小华已正确求出方案二中，当A′B′=3m时，S2=12 2m2，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
(1)求方案一中抛物线的函数表达式；
(2)在方案一中，当AB=3m时，求矩形框架ABCD的面积S1并比较S1，S2的大小．
23.(本小题10分)
阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
任务：
(1)填空：材料中的依据1是指：______．
依据2是指：______．
(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH，使得四边形EFGH为矩形；(要求同时画出四边形ABCD的对角线)
(3)在图1中，分别连接AC，BD得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC，BD长度的关系，并证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查同类二次根式，解题的关键是明确什么是同类二次根式，解决此题先要将各选项中的二次根式化为最简二次根式，再找被开方数是2的二次根式即可得出结论．
【解答】
解：∵ 4=2， 6= 6， 12=2 3， 18=3 2，
∴与 2是同类二次根式的是 18，
故选D．
2.【答案】B
【解析】解：由图可得，
∠ACB=90°，AB=7−1=6，点D为线段AB的中点，
∴CD=12AB=3，
故选：B．
根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出CD的长．
本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3.【答案】C
【解析】解：A． 2+ 3无法合并，故此选项不合题意；
B. (−5)2=5，故此选项不合题意；
C.(3− 2)2=11−6 2，故此选项符合题意；
D.6÷2 3× 3=9，故此选项不合题意．
故选：C．
直接利用二次根式的混合运算法则分别计算，进而判断得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：x2−6x+8=0，
x2−6x=−8，
x2−6x+9=−8+9，
(x−3)2=1，
故选：D．
利用解一元二次方程−配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握解一元二次方程−配方法是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵∠CAD=90°，AD=3，AC=4，
∴DC= AD2+AC2= 32+42=5，
∵DE=EC，DE+EC=DC=5，
∴DE=EC=AE=52，
∵BD=DE，点F是AB边的中点，
∴DF=12AE=54．
故选：A．
先在直角△CAD中利用勾股定理求出DC=5，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AE=52，最后利用三角形的中位线定理求出DF=12AE=54．
本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的中位线定理，准确识图并且熟记相关定理与性质是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：由题意得：1+x+x(1+x)=36，
故选：C．
患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是(x+1)人，则传染x(x+1)人，依题意列方程：1+x+x(1+x)=36．
本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−3x+m=0有两个相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=(−3)2−4m=0，
解得m=94．
故选：C．
若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式Δ=b2−4ac，建立关于m的等式，即可求解．
此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0⇔方程没有实数根．
8.【答案】B
【解析】解：记《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别为A，B，C，D，画树状图如下：
一共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《论语》(即A)和《大学》(即C)的可能结果有2种可能，
∴P(抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果)=212=16，
故选：B．
用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果，再利用概率公式求出即可．
本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和画树状图法求等可能事件概率的方法是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：A、∵a=1>0，图象的开口向上，故此选项不符合题意；
B、∵y=(x−2)2−3=x2−4x+1，
∴Δ=(−4)2−4×1×1=12>0，
即图象与x轴有两个交点，
故此选项不符合题意；
C、∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=2，
∴当x<2时，y随x增大而减小，
故此选项不符合题意；
D、∵y=(x−2)2−3，
∴图象的顶点坐标是(2,−3)，
故此选项符合题意；
故选：D．
由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，与x轴的交点个数，由此解答即可．
本题考查了二次函数的图象性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
10.【答案】C
【解析】解：当点Q在AC上时，
∵∠C=∠APQ=90°，∠A=∠A，
∴△ABC∽△AQP，
∴AC:BC=AP:QP，
即3：4=x：QP，
∴QP=43x，
∴y=12·AP·PQ=12x·43x=23x2；
当点Q在BC上时，如下图所示，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= BC2+AC2=5，
∵AP=x，
∴BP=5−x，
∵∠C=∠BPQ=90°，∠B=∠B，
∴△ABC∽QBP，
AC:BC=QP:BP
∴PQ=34BP=3(5−x)4
∴ y=12AP⋅PQ=12x⋅3(5−x)4=−38x2+158x，
∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下，
即表示y关于x的函数关系的大致图象是选项C中的图象．
故选：C．
分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论即可．
本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点Q在BC上这种情况．
11.【答案】1(答案也可以是2)
【解析】解：要使 x−3在实数范围内没有意义，
则x−3<0，
∴x<3，
∵x为正整数，
∴x的值是1(答案也可以是2)．
故答案为：1(答案也可以是2)．
根据二次根式没有意义即被开方数小于0求解即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式 a有意义，则a≥0，若没有意义，则a<0.本题较简单，属于基础题．
12.【答案】9：4
【解析】解：∵两个相似图形，其周长之比为3：2，
∴其相似比为3：2，
∴其面积比为9：4．
故答案为：9：4．
由两个相似图形，其周长之比为3：2，根据相似图形的周长的比等于相似比，即可求得其相似比，又由相似图形的面积的比等于相似比的平方，即可求得答案．
此题考查了相似图形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是关键．
13.【答案】①③
【解析】解：①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的，故正确；
②第2000次实验的结果不一定是“盖面朝上”，故错误；
③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，故正确，
故答案为：①③．
根据图表和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够仔细观察表格并了解：现随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率．
14.【答案】14
【解析】解：如图，
∵DE/​/BC，DF/​/AC，
∴四边形DECF为平行四边形，△ADE∽△ABC，△BDF∽△BAC，
∴DEBC=ADAB=13，DFAC=BDBA=23，
∵AC=6，BC=9，
∴DE=3，DF=4，
∴平行四边形纸片的周长是2×(3+4)=14．
故答案为：14．
本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，掌握相似三角形的判定和性质．
15.【答案】2或1+ 2
【解析】解：以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：
①如图1，当∠MND=90°时，
则MN⊥AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∴MN//AB，
∵M为对角线BD的中点，
∴AN=DN，
∵AN=AB=1，
∴AD=2AN=2；
如图2，当∠NMD=90°时，
则MN⊥BD，
∵M为对角线BD的中点，
∴BM=DM，
∴MN垂直平分BD，
∴BN=DN，
∵∠A=90°，AB=AN=1，
∴BN= 2AB= 2，
∴AD=AN+DN=1+ 2，
综上所述，AD的长为2或1+ 2．
故答案为：2或1+ 2．
以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：如图1，当∠MND=90°时，如图2，当∠NMD=90°时，根据矩形的性质和三角形中位线定理以及等腰直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，分类讨论是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=1−2 2+2 2=1；
(2)∵a=2，b=1，c=−2，
∴Δ=b2−4ac=1+4×2×2=17>0，
∴x=−b± b2−4ac2a=−1± 174
解得：x1=−1+ 174,x2=−1− 174．
【解析】(1)实数的混合运算，按照实数的混合运算法则计算即可．
(2)用公式法解一元二次方程即可．
本题主要考查了实数的混合运算以及解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键．
17.【答案】13
【解析】解：(1)∵A带指针的转盘被分成三个面积相等的扇形，转盘上的数字分别是−6，−1，5，其中正数有1个，
∴P(转动转盘，转盘A指针指向正数)=13，
故答案为：13；
(2)列表如下：
一共有9种等可能的结果，其中a+b>0有4种可能的结果，a+b<0有4种等可能的结果，
∴P(小聪获胜)=49，
P(小明获胜)=49，
∵P(小聪获胜)=P(小明获胜)，
∴这个游戏公平．
(1)关键概率公式直接求出即可；
(2)利用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，分别求出小聪获胜的概率，以及小明获胜的概率，再比较概率的大小，如果概率相等则公平，否则不公平．
本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，游戏的公平性，掌握列表法和画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
18.【答案】解：(1)如图E即为所求作的点；
(2)∵cs∠DAB=AEAD，
∴AE=AD⋅cs30°=4× 32=2 3，
∴BE=AB−AE=6−2 3．
【解析】(1)由基本作图即可解决问题；
(2)由锐角的余弦求出AE的长，即可得到BE的长．
本题考查基本作图，平行四边形的性质，解直角三角形，关键是掌握基本作图，由锐角的余弦求出AE的长．
19.【答案】解：(1)y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴该二次函数图象的顶点坐标为(1,−4)；
(2)令x=0，则y=−3，
∴该二次函数图象与y轴的交点为(0,−3)；
令y=0，则x2−2x−3=0，
解得：x1=3，x2=1，
∴该二次函数图象与x轴的交点为(3,0)和(−1,0)；
(3)∵抛物线的对称轴为直线x=1，
由五点法画函数简图，如图所示

(4)由函数图象可得：−1≤x≤2时，y的取值范围−4≤y≤0．
【解析】(1)用配方法即可求解；
(2)当y=0时，即−x2−2x−3=0，解得x1=3，x2=−1，x=0时求得y=−3即可求解；
(3)由(1)(2)利用五点法画二次函数简图；
(4)观察函数图象即可求解．
本题考查的是抛物线与x轴的交点，正确记忆函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征是解题关键．
20.【答案】解：设BD=x m，则BC=BD+DG+CG=x+46−2+4=(x+48)m，
∵AB⊥BC，EF⊥BC，
∴AB/​/EF，
∴△ABD∽△FED，
∴EFAB=DEBD，即1.5AB=2x，
同理可证△ABC∽△HGC，
∴GHAB=CGBC，即1.5AB=4x+48，
∴2x=4x+48，
解得x=48，
经检验，x=48是原方程的解，
∴1.5AB=248，
∴AB=36m，
∴该东塔AB的高度为36m．
【解析】设BD=xm，则BC=(x+48)m，通过证明△ABD∽△FED，得到EFAB=DEBD，即1.5AB=2x，同理得到1.5AB=4x+48，则可建立方程2x=4x+48，解方程即可得到答案．
本题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的性质建立方程是解题的关键．
21.【答案】解：(1)根据题意设y=kx+b，
当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；
当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，
则5k+b=9506k+b=900，
解得：k=−50b=1200，
则y与x的函数关系式；y=−50x+1200(4≤x≤7)，
(2)∵定价为x元，每千克利润(x−4)元，
由(1)知销售量为y=−50x+1200(4≤x≤7)，
则(x−4)(−50x+1200)=1800，
解得：x1=22(舍)，x2=6，
∴超市将该大米每千克售价定为6元时，每天销售该大米的利润可达到1800元；
(3)设利润为W元，
根据题意可得：W=(x−4)(−50x+1200)，
即W=−50x2+1400x−4800=−50(x−14)2+5000，
∵a=−50<0，对称轴为x=14，
∴当x<14时，W随x的增大而增大，
又∵4≤x≤7，
∴x=7时，W最大值=−50(7−14)2+5000=2550元
∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元．
【解析】(1)根据题意设y=kx+b，当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，则5k+b=9506k+b=900，求得k、b即可；
(2)定价为x元，每千克利润(x−4)元，销售量为y kg，则(x−4)y=1800即(x−4)(−50x+1200)=1800，解方程即可；
(3)设利润为W，根据题意可得W=(x−4)(−50x+1200)=−50x2+1400x−4800化为顶点式即可求出合适的值．
本题考查二次函数的应用以及一元二次方程的解法，属于综合题，关键是理解题意，搞清楚数量关系．
22.【答案】解：(1)由题意知，方案一中抛物线的顶点P(6,4)，
设抛物线的函数表达式为y=a(x−6)2+4，
把O(0,0)代入得：0=a(0−6)2+4，
解得：a=−19，
∴y=−19(x−6)2+4=−19x2+43x；
∴方案一中抛物线的函数表达式为y=−19x2+43x；
(2)在y=−19x2+43x中，令y=3得：3=−19x2+43x；
解得x=3或x=9，
∴BC=9−3=6(m)，
∴S1=AB⋅BC=3×6=18(m2)；
∵18>12 2，
∴S1>S2．
【解析】(1)由题意知抛物线的顶点P(6,4)，设顶点式用待定系数法可得方案一中抛物线的函数表达式为y=−19x2+43x；
(2)令y=3可得x=3或x=9，故BC=6(m)，S1=AB⋅BC=18(m2)；再比较S1，S2的大小即可．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式．
23.【答案】三角形中位线定理(或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半) 平行四边形的定义(或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形)
【解析】解：(1)三角形中位线定理(或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半)
平行四边形的定义(或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形)
(2)答案不唯一，只要是对角线互相垂直的四边形，它的瓦里尼翁平行四边形即为矩形均可．例如：如图即为所求
(3)瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的两条对角线AC与BD长度的和，
证明如下：∵点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF=12AC,GH=12AC．
∴EF+GH=AC．
同理EH+FG=BD．
∴四边形EFGH的周长=EF+GH+EH+FG=AC+BD．
即瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长等于对角线AC与BD长度的和．
(1)根据三角形中位线定理和平行四边形的定义解答即可；
(2)作对角线互相垂直的四边形，再顺次连接这个四边形各边中点即可；
(3)根据三角形中位线定理得瓦里尼翁平行四边形一组对边和等于四边形的一条对角线，即可得妯结论．
本题考查平行四边形的判定，矩形的判定，三角形中位线．熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．累计抛掷次数
50
100
200
300
500
1000
2000
3000
5000
盖面朝上次数
28
54
106
158
264
527
1056
1587
2650
盖面朝上频率
0.5600
0.5400
0.5300
0.5267
0.5280
0.5270
0.5280
0.5290
0.5300
瓦里尼翁平行四边形
我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形EFGH是平行四边形．
我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形.瓦里尼翁(Varingnn,Pierre1654−1722)是法国数学家、力学家.瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．
①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半.此结论可借助图1证明如下：
证明：如图2，连接AC，分别交EH，FG于点P，Q，过点D作DM⊥AC于点M，交HG于点N．
∵H，G分别为AD，CD的中点，∴HG//AC,HG=12AC.(依据1)
∴DNNM=DGGC.∵DG=GC，∴DN=NM=12DM．
∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，∴HE//GF，即HP//GQ．
∵HG//AC，即HG//PQ，
∴四边形HPQG是平行四边形.(依据2)∴S▱HPQG=HG⋅MN=12HG⋅DM．
∵S△ADC=12AC⋅DM=HG⋅DM，∴S▱HPQG=12S△ADC.同理，…
−6
−1
5
6
0
5
11
−7
−13
−8
−2
4
−2
3
9