2023-2024学年河南省南阳市邓州市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省南阳市邓州市九年级（上）期末数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. 12B. 14C. 16D. 18
2.下列计算正确的是( )
A. (−3)2=−3B. 2 3+4 2=6 5
C. 27÷ 3=3D. 8=4 2
3.关于方程x(3x+2)=6(3x+2)的描述，下列说法错误的是( )
A. 它是一元二次方程
B. 解方程时，方程两边先同时除以(3x+2)
C. 它有两个不相等的实数根
D. 用因式分解法解此方程最适宜
4.在一个不透明的盒子里装有m个球，其中红球6个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定到0.2附近，那么可以估算出m的值为( )
A. 16B. 20C. 24D. 30
5.如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短.它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的.如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA=3OD，OB=3OC)，然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上，若量得CD的长度，便可知AB的长度.本题依据的主要数学原理是( )
A. 三边成比例的两个三角形相似
B. 两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等
C. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
D. 平行线分线段成比例
6.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB= 6，BC= 3，则∠B的度数( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 无法确定
7.下列关于二次函数y=(x+2)2−3的说法正确的是( )
A. 图象是一条开口向下的抛物线B. 图象与x轴没有交点
C. 当x0，
∴它有两个不相等的实数根，故C选项不符合题意；
x(3x+2)=6(3x+2)，用因式分解法解此方程最适宜，故D选项不符合题意．
故选：B．
根据一元二次方程的定义，根的判别式，解一元二次方程−因式分解法即可求解．
本题主要考查解一元二次方程−因式分解法，一元二次方程的定义，根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：①当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ0，
∴抛物线开口向上，所以A选项不符合题意；
∵y=(x+2)2−3=x2+4x+1，
∴Δ=42−4×1×1=12>0，
∴抛物线与x轴有两个交点，所以B选项不符合题意；
当x>−2时，y随x增大而增大，所以C选项不符合题意；
抛物线的顶点坐标为(−2,−3)，所以D选项符合题意．
故选：D．
直接利用二次函数的性质对A、C、D选项进行判断；通过计算根的判别式的值和根的判别式的意义对B选项进行判断．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ=b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质．
8.【答案】B
【解析】解：设道路的宽x米，
则32x+20x=100+x2．
故选：B．
设道路的宽x米，小路的面积+x2=一个长32宽x的矩形面积+一个长20宽x的矩形的面积，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：过点B作BF⊥x轴，垂足为F，由题意得，BF=0.75米，BC=1米，
∵BC/​/DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴BCDE=ABAD=OA−BFOA，
即：1DE=2−0.82，
解得DE=53
∴OE=2+53=113，
∴点E的坐标是(113,0)．
故选：A．
根据相似三角形的相似比等于等于高的比，列方程求出DE，进而求出OE，确定点E的坐标．
本题考查的是中心投影，熟知将中心投影的问题转化为相似三角形的问题进行解答是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵动点D速度为1cm/s，运动时间为x s，
∴运动路程为x cm．
∵拐点的纵坐标是12 3，
∴此时点D运动到点C处，AD=xcm.△ADE的面积为：12 3cm2．
∵DE⊥AB，
∴∠CEA=90°．
∵∠A=30°，
∴CE=x2．
∴AE= 32x.
∴12× 32x⋅x2=12 3．
∴x=4 6(取正值)．
∴AC=4 6．
∵∠ACB=90°，
∴BC=AC÷ 3=4 2．
故选：B．
动点D速度为1cm/s，运动时间为x(s)，所以运动路程为xcm.拐点的纵坐标是12 3，可判断此时点D运动到点C处，根据△ADE的面积可得AC长，进而除以 3可得BC的长．
本题考查动点问题的函数图象．关键是理解拐点纵坐标的意义及此时动点所在的位置．用到的知识点为：30°的直角三角形三边比是：1： 3：2．
11.【答案】85．
【解析】解：∵a−bb=35，
∴5(a−b)=3b，
∴ab=85．
故答案为85．
由题干可得5(a−b)=3b，根据等式的性质即可解得a、b的比值．
本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单．
12.【答案】3(答案不唯一)
【解析】解：设常数项为c，
根据题意得：(−5)2−4×2×c>0，
解得：c0，即关于c的一元一次不等式，解之可求出c的取值范围，再取其中的任意一个整数，即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
13.【答案】16
【解析】解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中“思想政治和生物”的结果有2种，
∴恰好选中“思想政治和生物”的概率为212=16．
故答案为：16．
列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中“思想政治和生物”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
14.【答案】8
【解析】解：∵y=x2−2x+6=(x−1)2+5，
∴将抛物线y=x2−2x+6向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得平移后的抛物线y=(x−3)2+8，
∴抛物线的顶点坐标为(3,8)，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD=AC，
而AC⊥x轴，
∴AC的长等于点A的纵坐标，
当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为8，
∴对角线BD的最小值为8．
故答案为：8．
根据平移的规律得到平移后的函数解析式，即可得到抛物线的顶点坐标为(3,8)，再根据矩形的性质得BD=AC，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为8，从而得到BD的最小值．
本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了矩形的性质．
15.【答案】2或2 3
【解析】解：如图，当P在AD上时，
∵∠PDM=∠ADB，
∴当∠MPD=∠A时，△DPM∽△DAB，
此时PM/​/AB，
∴DP：PA=DM：MB，
∵M是BD中点，
∴AP=PD=12AD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=4，
∴AP=12×4=2．
如图，当P在DC上时，
连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB/​/CD，AD=CD=AB=4，∠BCD=∠BAD，∠ADB=∠PDM，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵∠BAD=120°，
∴∠ADB=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∵∠ADB=∠PDM，
∴当∠DPM=∠BAD时，△DPM∽△DAB，
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠DPM=∠BCD，
∴PM//BC，
∴DP：PC=DM：MB，
∵M是BD中点，
∴MB=DM，
∴DP=PC，
∵△ACD是等边三角形，
∴AP⊥CD，
∴AP= 32AD= 32×4=2 3，
∴线段AP的长为2或2 3．
故答案为：2或2 3．
分两种情况，当P在AD上时，当∠MPD=∠A时，△DPM∽△DAB，由平行线分线段成比例推出AP=PD=12AD=2，当P在DC上时，连接AC，由菱形的性质推出AB/​/CD，AD=CD=AB=4，∠BCD=∠BAD，得到∠BAD+∠ADC=180°，求出∠ADB=60°，判定△ACD是等边三角形，当∠DPM=∠BAD时，△DPM∽△DAB，由平行线分线段成比例推出DP=PC，由等边三角形的性质得到，AP= 32AD= 32×4=2 3，
本题考查菱形的性质，相似三角形的判定，等边三角形的判定和性质，关键是要分两种情况讨论．
16.【答案】解：(1) 5× 15+ 18−3tan30°−2sin45°
=5 3+ 24−3× 33−2× 22
=5 3+ 24− 3− 2
=4 3−3 24；
(2)x2−8x−2=0，
x2−8x=2，
x2−8x+16=2+16，
(x−4)2=18，
x−4=±3 2，
x1=4+3 2，x2=4−3 2．
【解析】(1)先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；
(2)根据解一元二次方程−配方法进行计算，即可解答．
本题考查了解一元二次方程−配方法，二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ACD=∠BCA，
又∠ACD=∠ABE，
∴∠BCA=∠ABE，
∵∠BAC=∠EAB，
∴△ABC∽△AEB；
(2)解：∵点C是AE的中点，AC=4，
∴AE=2AC=8，
∵△ABC∽△AEB，
∴ABAE=ACAB，
∴AB8=4AB，
即AB2=32，
∴AB=4 2或−4 2(舍去)，
∴菱形ABCD边长为4 2．
【解析】(1)根据四边形ABCD是菱形，得出∠ACD=∠BCA，结合∠ACD=∠ABE，得出∠BCA=∠ABE，即可证明结论；
(2)根据△ABC∽△AEB，得出ABAE=ACAB，代入数据进行计算，即可得出AB的值．
本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键．
18.【答案】19 (−3a,3b
【解析】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求，
由题意可知，△ABC与△A2B2C2的面积之比为(13)2=19，
故答案为：19；
(3)∵△ABC内一点P的坐标为(a,b)，
∴在△A1B1C1内的点的坐标为(−a,b)，
∴△A2B2C2内与点P对应的对应点P2的坐标为(−3a,3b)，
故答案为：(−3a,3b)．
(1)根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解；
(2)根据位似变换的性质找出对应点即可求解；
(3)根据(1)(2)条件下得出变换规律即可求解．
本题考查了作图−轴对称变换，位似变换，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
19.【答案】解：(1)根据题意得：β=90°−α；
(2)设AD=x m，
∵∠ACD=45°，∠ADB=90°，
∴CD=AD=x m，
∵BC=26m，
∴BD=(26+x)m，
在Rt△ABD中，tan∠ABD=ADBD，
∴tan37°=x26+x，即0.75=x26+x，
解得：x=78，
经检验，x=78是分式方程的解，
∴AD=78(m)，
答：气球A离地面的高度AD是78m．
【解析】(1)由已知直接可得答案；
(2)设AD=x m，可得CD=AD=xm，BD=(26+x)m，而tan∠ABD=ADBD，有0.75=x26+x，即可解得答案．
本题考查解直角三角形−仰角俯角问题，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义．
20.【答案】解：(1)由题意，抛物线的顶点为(1,4)，
∴可设抛物线的解析式为y=a(x−1)2+4．
又抛物线过点A(0,3)，
∴3=a+4．
∴a=−1．
∴在第一象限部分的抛物线的解析式为y=−(x−1)2+4．
(2)由题意，当x=2.5时，y=−(2.5−1)2+4=−2.25+4=1.75