2022-2023学年河南省安阳市安阳县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省安阳市安阳县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图所示图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.一元二次方程x2−2x=0的解是( )
A. x1=x2=2B. x1=x2=−2
C. x1=0，x2=2D. x1=0，x2=−2
3.下列事件是必然事件的是( )
A. 标准大气压下，通常加热到100℃，水会沸腾
B. 抛一枚硬币，正面朝上
C. 明天会下雨
D. 经过城市中某一有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯
4.把一元二次方程x(2x−1)=x−3化为一般形式，正确的是( )
A. 2x2+3=0B. 2x2−2x−3=0C. 2x2−x+2=0D. 2x2−2x+3=0
5.如图，在△ABC中，∠CAB=∠ACB=25°，将△ABC绕点A顺时针进行旋转，得到△AED.点C恰好在DE的延长线上，则∠EAC的度数为( )
A. 75°B. 90°C. 105°D. 120°
6.如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm，则直尺的宽度为( )
A. 1cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm
7.关于二次函数y=(x−1)2+5，下列说法正确的是( )
A. 函数图象的开口向下B. 函数图象的顶点坐标是(−1,5)
C. 该函数有最大值，最大值是5D. 当x>1时，y随x的增大而增大
8.如图，△DBC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，连接AB，若∠ACB=40°，DB=DC，则∠ABD的度数为( )
A. 40°
B. 50°
C. 25°
D. 65°
9.定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q有[m,p]※[q,n]=mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2,3]※[4,5]=2×5+3×4=22，若关于x的方程[x2+1,x]※[5−2k,k]=0有两个实数根，则k的取值范围是( )
A. k≤54且k≠0B. k≤54C. k<54且k≠0D. k≥54
10.在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c(对称轴为x=1)的图象如图所示，有下列结论：①abc>0；②2a−b=0；③9a+3b+c<0；④b2>4ac.其中正确的是( )
A. ③④
B. ①③
C. ①②④
D. ①②③④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.在平面直角整标系中，若点A(3,2)与点B(m,−2)关于原点对称，则m的值是______．
12.在一个不透明的盒子中装有10个大小相同的乒乓球，做了1000次摸球试验，摸到红球的频数是401，估计盒子中的红球的个数是______．
13.从前有一个人拿着竹竿进城，横拿竖拿都进不去，横着比城门宽43m，竖着比城门高23m，另一个人告诉他沿着城门的两对角斜着拿竿，这个人一试，不多不少刚好进去了，则竹竿的长度为______．
14.如图，扇形OAB的圆心角∠AOB=60°，将扇形OAB沿射线AO平移得到扇形O′A′B′，A′B′与OB交于点C，若OA=2 3，O′O=2，则阴影部分的面积为______．
15.如图，P是等边三角形ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，则∠APB的度数是______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
用适当的方法解下列方程．
(1)3(x−1)2−12=0；
(2)2x2−2 2x+1=0．
17.(本小题8分)
防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了A，B，C三个测温通道，某天早晨，该校小红和小星两位同学将随机通过测温通道进入校园．
(1)小红从A测温通道通过的概率是______；
(2)利用画树状图或列表的方法，求小红和小星从不同的测温通道通过的概率．
18.(本小题9分)
如图，在⊙O中，B，C是AD的三等分点，弦AC，BD相交于点E．
(1)求证：AC=BD；
(2)连接CD，若∠BDC=25°，求∠BEC的度数．
19.(本小题9分)
某网店销售一批优质风干牦牛肉，平均每天可售出36袋，每袋盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减小库存，店家决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每袋每降价1元，商场平均每天可多售出2袋．问：
(1)若店家平均每天要盈利1520元，每袋风干牦牛肉应降价多少元？
(2)每袋风干牦牛肉降价多少元时，店家平均每天盈利最多？最多是多少元？
20.(本小题9分)
如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点D．
(1)判断△CBD的形状，并说明理由；
(2)若CD=3OD，AD=8，求⊙O的半径．
21.(本小题10分)
同学们在操场玩跳大绳游戏，跳大绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线，正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6m，到地面的距离AO与BD均为0.9m.绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为1.8m，距甲同学拿绳的手的水平距离为3m.以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如果身高为1.4m的嘉嘉站在OD之间，当绳子甩到最高处时，求嘉嘉距点O的水平距离为多少时，绳子刚好通过他的头顶上方．
22.(本小题10分)
已知抛物线y=mx2+2mx−3m(m≠0)与x轴交于A，B两点(其中A在B的左侧)，与y轴交于点C．
(1)求A，B的坐标；
(2)若直线y=x+n过A，C两点．
①求抛物线解析式；
②点C关于x轴的对称点为D，若过点D的直线y=kx+b与抛物线在x轴上方(不含x轴上的点)的部分无公共点，结合函数图象，求k的取值范围．
23.(本小题10分)
综合与实践--探究特殊三角形中的相关问题
问题情境：
某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置，且Rt△ABC的较短直角边AB为2，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转α(0°<α<90°)，如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．
(1)初步探究：
勤思小组的同学提出：当旋转角α= ______时，△AMC是等腰三角形；
(2)深入探究：
敏学小组的同学提出在旋转过程中.如果连接AP，CE，那么AP所在的直线是线段CE的垂直平分线，请帮他们证明；
(3)再探究：
在旋转过程中，当旋转角α=30°时，求△ABC与△AFE重叠的面积；
(4)拓展延伸：
在旋转过程中，△CPN是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意；
故选：C．
根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，解答即可．
本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别；解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；
2.【答案】C
【解析】解：x2−2x=0，
x(x−2)=0，
∴x=0或x−2=0，
∴x1=0，x2=2．
故选：C．
用因式分解法解方程即可．
本题考查一元二次方程−因式分解法，熟练掌握直因式分解法解一元二次方程是解本题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：A、标准大气压下，通常加热到100℃，水会沸腾，是必然事件，符合题意；
B、抛一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意；
C、明天会下雨，是随机事件，不符合题意；
D、经过城市中某一有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯，是随机事件，不符合题意．
故选：A．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4.【答案】D
【解析】解：x(2x−1)=x−3，
去括号，得2x2−x=x−3，
移项、合并同类项，得2x2−2x+3=0．
故选：D．
直接去括号，进而移项、合并同类项，得出答案．
此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)．
5.【答案】C
【解析】解：∵将△ABC绕点A顺时针进行旋转，得到△AED，
∴△ABC≌△AED，
∴AD=AC，∠BAC=∠EAD=25°，∠ADE=∠ACB=25°，
∴∠ADE=∠ACD=25°，
∴∠DAC=180°−25°−25°=130°，
∴∠EAC=∠DAC−∠DAE=130°−25°=105°，
故选：C．
由旋转的性质可得AD=AC，∠BAC=∠EAD=25°，∠ADE=∠ACB=25°，由等腰三角形的性质可得∠ADE=∠ACD=25°，由三角形内角和定理可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是垂径定理，勾股定理的应用，解答此类题目先构造出直角三角形，再根据垂径定理及勾股定理进行解答．
过点O作OF⊥DE，垂足为F，由垂径定理可得出EF的长，再由勾股定理即可得出OF的长．
【解答】
解：过点O作OF⊥DE，垂足为F，
∵OF过圆心，
∵DE=8cm，
∴EF=12DE=4cm，
∵OC=5cm，
∴OE=5cm，
∴OF= OE2−EF2= 52−42=3cm．
7.【答案】D
【解析】解：y=(x−1)2+5中，
x2的系数为1，1>0，函数图象开口向上，A错误；
函数图象的顶点坐标是(1,5)，B错误；
函数图象开口向上，有最小值为5，C错误；
函数图象的对称轴为x=1，x<1时y随x的增大而减小；x>1时，y随x的增大而增大，D正确．
故选：D．
通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及单调性即可求解．
本题考查了二次函数图象的基本知识和性质，熟练掌握二次函数图象是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°．
∵∠ACB=40°，
∴∠A=90°−40°=50°，
∴∠D=∠A=50°，
∵DB=DC，
∴∠DCB=∠DBC=12(180°−50°)=65°，
∴∠DCA=∠DCB−∠ACB=65°−40°=25°，
∴∠ABD=∠DCA=25°．
故选：C．
先根据圆周角定理求出∠ABC的度数，再由直角三角形的性质得出∠A的度数，根据圆周角定理可得∠D=∠A=50°，然后根据等腰三角形的性质即可得出结论．
本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知圆周角定理及直角三角形的性质是解答此题的关键．
9.【答案】A
【解析】【解答】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．把有新定义运算的方程化为一元二次方程的一般式是解决问题的关键．
先根据新定义得到k(x2+1)+(5−2k)x=0，再整理为一般式，接着根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ=(5−2k)2−4k2≥0，然后解不等式即可．
【解答】
解：根据题意得k(x2+1)+(5−2k)x=0，
整理得kx2+(5−2k)x+k=0，
因为方程有两个实数解，
所以k≠0且Δ=(5−2k)2−4k2≥0，
解得k≤54且k≠0．
故选：A．
10.【答案】A
【解析】解：∵图象开口向下，
∴a<0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴b>0，
∵图象与y轴的交点在x轴的上方，
∴c>0，
∴abc<0，①说法错误；
∵−b2a=1，
∴2a=−b，
∴2a+b=0，②说法错误；
由图象可知点(−1,0)的对称点为(3,0)，
∵当x=−1时，y<0，
当x=3时，y<0，
∴9a+3b+c<0，③说法正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，
∴b2>4ac，④说法正确；
故选：A．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．
11.【答案】−3
【解析】解：∵点(3,2)与点(m,−2)关于原点对称，
∴m=−3．
故答案为：−3．
直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(−x,−y)，进而得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
12.【答案】4
【解析】解：∵做了1000次摸球试验，摸到红球的频数为401，
∴摸到红球的频率是：4011000≈0.4，
∴估计其中的红球个数为：10×0.4=4(个)；
故答案为：4．
根据概率公式先求出摸到红球的概率，然后乘以总球的个数即可得出答案．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
13.【答案】103m
【解析】解：设竹竿的长为x米，
由题意得：(x−43)2+(x−23)2=x2，
解得：x1=103，x2=23(舍去)，
故答案为：103m．
设竹竿的长为x米，根据门框的边长的平方和等于竹竿的长的平方列方程，解一元二次方程即可．
本题考查一元二次方程的应用；得到门框的边长和竹竿长的等量关系是解决本题的关键．
14.【答案】π+ 3
【解析】解：如图，连接O′C，过点C作CD⊥OA′，
设OC=x，
在Rt△OCD中，∠DOC=60°，则OD=12x，CD= 32x，
根据平移的性质得：O′C=OA=2 3，
在Rt△O′CD中，( 32x)2+(2+x2)2=(2 3)2，
∴x=2，
∴CD= 3=12O′C，
∴∠CO′D=30°，
∴S阴影=S扇形AOB−(S扇形O′CA′−S△OO′C)
=60°×π×(2 3)2360°−[30°×π×(2 3)2360°−12×2× 3]
=π+ 3．
故答案为：π+ 3．
连接O′C，过点C作CD⊥OA′，设OC=x，则OD=12x，CD= 32x，在Rt△O′CD中根据勾股定理可列方程，即可求出x，进而得到CD长，利用S阴影=S扇形AOB−(S扇形O′C′A′−S△OO′C)计算即可．
本题主要考查扇形面积的计算，解题关键是将不规则图形转化成规则图形．
15.【答案】150°
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，
如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连接EP，则△BPC≌△BEA，
∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE=PB=4，∠BPE=60°，
在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，
∴AE2=PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，
∴∠APB=90°+60°=150°．
故答案为：150°．
根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理的逆定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
16.【答案】解：(1)3(x−1)2−12=0，
(x−1)2=4，
∴x−1=±2，
∴x1=3，x2=−1；
(2)2x2−2 2x+1=0，
x2− 2x+12=0，
(x− 22)2=0，
∴x− 22=0，
∴x1=x2= 22．
【解析】(1)先变形为(x−1)2=4，然后利用直接开平方法解方程；
(2)利用因式分解法解方程．
此题考查了解一元二次方程−因式分解法以及直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
17.【答案】13
【解析】解：(1)∵一共有三个通道，小红一次只能通过一个通道，
∴小红从A测温通道通过的概率是13．
(2)列表格如下：
由表可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小红从不同的测温通道通过的情况有6种，
所以小明和小红从同一个测温通道通过的概率为P=69=23．
(1)直接利用概率公式求解可得答案；
(2)先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式计算可得．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18.【答案】(1)证明：∵B，C是AD的三等分点，
∴AB=BC=CD，
∴AB+BC=CD+BC，
∴AC=BD，
∴AC=BD；
(2)解：如图，连接CD，AD，

∵∠BDC=25°，AB=BC=CD，
∴∠CAD=∠BDA=∠BDC=25°，
∵∠AED+∠CAD+∠BDA=180°，
∴∠AED=180°−∠CAD−∠BDA=130°，
∴∠BEC=∠AED=130°．
【解析】(1)根据同圆或等圆中，同弧或等弧所对的弦相等即可得解；
(2)连接CD，AD，根据圆周角定理及三角形内角和定理求解即可．
此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
19.【答案】解：(1)设每袋风干牦牛肉应降价x元，
根据题意，得(36+2x)(40−x)=1520，
解得x1=2，x2=20，
∵为了尽快减少库存，
∴x应取20，
∴每袋风干牦牛肉应降价20元，平均每天盈利为1520元；
(2)设每天盈利为y元，
根据题意，得y=(36+2x)(40−x)=−2(x−11)2+1682，
∴当x=11时，y取最大值，最大值是1682，
答：每袋风干牦牛肉降价11元时，店家盈利最多，最多1682元．
【解析】(1)设每袋风干牦牛肉应降价x元，可得(36+2x)(40−x)=1520，根据尽快减少库存，即得每袋风干牦牛肉应降价20元，平均每天盈利为1520元；
(2)设每天盈利为y元，则y=(36+2x)(40−x)=−2(x−11)2+1682，由二次函数性质即得每袋风干牦牛肉降价11元时，店家盈利最多，最多1682元．
本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．
20.【答案】解：(1)△CBD是等腰三角形，
理由：∵BC与⊙O相切于点B，
∴∠OBC=90°，
∴∠OBA+∠ABC=90°，
∵OC⊥OA，
∴∠AOC=90°，
∴∠A+∠ADO=90°，
∵OA=OD，
∴∠A=∠OBA，
∴∠ABC=∠ADO，
∵∠ADO=∠CDB，
∴∠ABC=∠CDB，
∴CD=CB；
(2)∵CD=3OD，
∴设OD=x，则CD=3x，
∴OC=OD+CD=4x，CD=BC=3x，
在Rt△OBC中，OB= OC2−BC2= (4x)2−(3x)2= 7x，
∴OA=OB= 7x，
在Rt△AOD中，AO2+OD2=AD2，
∴( 7x)2+x2=82，
∴x=2 2或x=−2 2(舍去)，
∴OA= 7x=2 14，
∴⊙O的半径为2 14．
【解析】(1)根据切线的性质和垂直定义可得∠OBC=∠AOC=90°，再根据等腰三角形的性质可得∠A=∠OBA，从而可得∠ABC=∠ADO，然后利用对顶角相等，即可解答；
(2)根据题意设OD=x，则CD=3x，从而求出BC，OC，再在Rt△OBC中，利用勾股定理求出OB的长，从而求出OA的长，然后在Rt△AOD中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，切线的性质，圆周角定理，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，以及勾股定理是解题的关键．
21.【答案】解：(1)根据题意可得点C(3,1.8)，B(6,0.9)，
把点C(3,1.8)，B(6,0.9)代入y=ax2+bx+0.9得：9a+3b+0.9=1.836a+6b+0.9=0.9，
解得a=−0.1b=0.6，
∴抛物线的解析式为y=−0.1x2+0.6x+0.9；
(2)令y=1.4，即−0.1x2+0.6x+0.9=1.4，
解得x1=1，x2=5，
答：嘉嘉距点O的水平距离为1m或5m时，绳子刚好通过他的头顶上方．
【解析】(1)用待定系数法求函数解析式即可；
(2)把y=1.4代入解析式，解方程求出x即可．
本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式．
22.【答案】解：(1)令y=0，则mx2+2mx−3m=0，
∵m≠0，
∴x2+2x−3=0，
解得：x1=−3，x2=1，
∵A在B的左侧，
∴A点坐标为(−3,0)，B点坐标(1,0)；
(2)①令x=0，则y=−3m，
∴点C坐标为(0,−3m)，
∵直线y=x+n过A，C两点，
∴−3+n=0n=−3m，
解得：n=3m=−1，
∴点C坐标为(0,3)，
直线AC的解析式为y=x+3，
抛物线解析式为y=−x2−2x+3；
②∴点C坐标为(0,3)，
∴点C关于x轴的对称点D的坐标为(0,−3)，
∵直线y=kx+b过点D，
∴b=−3，
过点D的直线y=kx+b与抛物线y=−x2−2x+3的图象如图所示：

①当直线过点B，D时，
把B(1,0)代入y=k1 x−3得，k1−3=0，
解得：k1=3，
②当直线过点A，D时，
把A(−3,0)代入y=k2−3得，−3k2−3=0，
解得：k2=−1，
根据一次函数的性质，若过点D的直线y=kx+b与抛物线在x轴上方(不含x轴上的点)的部分无公共点，
则k的取值范围为：0【解析】(1)令y=0，求出方程mx2+2mx−3m=0的解即可；
(2)①根据已知条件和待定系数法求出m，n的值即可；
②先根据①求出点C的坐标，再根据点D与点C关于x轴对称，从而求出点D坐标，再根据过点D的直线y=kx+b与抛物线在x轴上方(不含x轴上的点)的部分无公共点，结合图象，求出k的取值范围．
本题考查抛物线与x轴的交点，一次函数图象的特征，关键是画出二次函数和一次函数y=kx+b的图象，利用数形结合的思想进行讨论．
23.【答案】60°或15°
【解析】解：(1)当AM=CM，即∠CAM=∠C=30°时，△AMC是等腰三角形；
∵∠BAC=90°，
∴α=90°−30°=60°，
当AC=CM，即∠CAM=∠CMA时，△AMC是等腰三角形，
∵∠C=30°，
∴∠CAM=∠AMC=75°，
∵∠BAC=90°，
∴α=15°，
综上所述，当旋转角α=60°或15°时，△AMC是等腰三角形，
故答案为：60°或15°；
(2)由题意可知，AB=AF，∠B=∠F，∠E=∠C，AE=AC，
∵现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转α(0°<α<90°)，
∴∠BAM=∠FAN，
在△ABM与△AFN中，
∠B=∠FAB=AF∠BAM=∠FAN，
∴△ABM≌△AFN(ASA)，
∴AM=AN，
∵AE=AC，
∴EM=CN，
∵∠E=∠C，∠MPE=∠NPC，
∴△MPE≌△NPC(AAS)，
∴PE=PC，
∴点P在CE的垂直平分线上，
∵AE=AC，
∴点A在CE的垂直平分线上，
∴AP所在的直线是线段CE的垂直平分线；
(3)∵α=30°，∠B=60°，
∴∠AMB=90°，
∴△ABM是直角三角形，
∵AB=2，
∴BM=AB⋅sin30°=1，AM=AB⋅cs30°= 3，
∴S△ABM=12AM⋅MB=12×1× 3= 32，
∵AE=AC=AB⋅tan60°=2 3，AM= 3，
∴EM= 3，
∵∠BAE=α=∠E=30°，∠EMP=90°，
∴△AMB≌△EPM(ASA)，
由(2)可知△ABM≌△AFN，
∴S△AFN=S△EPM=S△ABM= 32，
∵S△AEF=12AF⋅AE=12×2×2 3=2 3，
∴△ABC与△AFE重叠的面积=S△AEF−S△AFN−S△EPM=2 3−2× 32= 3；
(4)如答题图1所示：当∠CNP=90°时．
∵∠CNP=90°，
∴∠ANF=90°．
又∵∠AFN=60°，
∴∠FAN=180°−60°−90°=30°．
∴∠α=30°．
如答题图2所示：当∠CPN=90°时．
∵∠C=30°，∠CPN=90°，
∴∠CNP=60°．
∴∠ANF=60°．
又∵∠F=60°，
∴∠FAN=60°．
∴∠α=60°．
综上所述，∠α=30°或60°．
(1)根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
(2)由题意可知，AB=AF，∠B=∠F，∠E=∠C，AE=AC，根据折叠的性质得到∠BAM=∠FAN，根据全等三角形的性质得到AM=AN，PE=PC，由线段垂直平分线的性质即可得到结论；
(3)根据已知条件得到△ABM是直角三角形，求得EM= 3，根据全等三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论；
(4)当∠CNP=90°时，依据对顶角相等可求得∠ANF=90°，然后依据∠F=60°可求得∠FAN的度数，由旋转的定义可求得∠α的度数；当∠CPN=90°时．由∠C=30°，∠CPN=90°，可求得∠CNP的度数，然后依据对顶角相等可得到∠ANF的度数，然后由∠F=60°，依据三角形的内角和定理可求得∠FAN的度数，于是可得到∠α的度数．
本题主要考查的是几何变换的综合应用，解答本题主要应用了旋转的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的性质，分类讨论是解题的关键．A
B
C
A
A，A
B，A
C，A
B
A，B
B，B
C，B
C
A，C
B，C
C，C