2022-2023学年河南省安阳市殷都区等四地九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省安阳市殷都区等四地九年级（上）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形为一些致力于灾难救助活动的社会公益组织的标志，其中是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.已知关于x的一元二次方程x2−ax−9=0有一个根为−3，则a的值为( )
A. 3B. −2C. 0D. −3
3.如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的点，DE/​/BC，当DE=4，BC=5时，△ADE与△ABC的面积比为( )
A. 4：5B. 16：25C. 25：16D. 5：4
4.已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)在反比例函数y=8x的图象上，当0A. 05.若关于x的一元二次方程x2−4x+2a=0没有实数根，则a的取值范围是( )
A. a<2B. a>2C. a≤2D. a≥2
6.关于抛物线y=−x2−x+4，下列说法错误的是( )
A. 对称轴是直线x=−12B. 最大值为174
C. 当x>0时，y随x的增大而减小D. 与x轴只有一个交点
7.如图，放映幻灯片时，通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若幻灯片到光源的距离为15cm，到屏幕的距离为150cm，且幻灯片上图形的高度为10cm，则屏幕上图形的高度为( )
A. 100cmB. 105cmC. 110cmD. 115cm
8.已知一个扇形的半径是2，圆心角是45°，则这个扇形的弧长是( )
A. π2B. πC. π3D. π6
9.一次函数y=ax+b与反比例函数y=cx的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，在正方形ABCD中，E是AD边的中点，连接BE交AC于点F，连挍DF，有下面四个结论：①CF=2AF；②S四边形CDEF=54S△BCF；③CF=CD；④△AEF∽△CDF.其中正确的结论有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.点P(−5,7)关于原点O的对称点的坐标为______ ．
12.若反比例函数的图象经过点(−3,2)，则该反比例函数的表达式为______ ．
13.某医院门诊挂号处设有A，B两个挂号窗口，现有甲、乙两位患者名自随机选择其中一个窗口挂号，则甲、乙两位患者恰好都选择B窗口挂号的概率为______ ．
14.如图，边长为2的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，则图中阴影部分的面积是______ ．
15.如图，在矩形ABCD中，AD=13，AB=5，把矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB1C1D1，当点D1落在射线CB上时，线段DD1的长度为______ ．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
解下列方程：
(1)2x(4x−5)=−5(4x−5)；
(2)10x2−6x+12=0．
17.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB三个顶点的坐标分别为点A(2,2)，B(3,1)，O(0,0)．
(1)画出△AOB绕点O顺时针旋转90°后所得的△A1OB1，并写出点B1的坐标；
(2)以原点O为位似中心，在第三象限画出将△AOB的边放大为原来的2倍后的△A2OB2，并写出点B2的坐标．
18.(本小题8分)
某公司将特色农副产品运往邻市市场进行销售，设汽车的行驶时间为t小时，平均速度为v千米/时(汽车行驶速度不超过110千米/时).根据经验，v，t的部分对应值如表：
(1)根据表中的数据，求出平均速度v(千米/时)关于行驶时间t(时)的反比例函数表达式；(不用写自变量t的取值范围)
(2)汽车上午6：00出发，能否在上午9：00之前到达邻市市场？请说明理由．
19.(本小题8分)
如图，AB为⊙O的直径，C，E是⊙O上不同于A，B的两点，过点C的切线垂直于AE交AE的延长线于点D，连接AC．
(1)求证：EC=BC；
(2)若AC=4 3,CE=3 3，则CD的长为______ ．
20.(本小题8分)
第22届世界杯足球赛已于2022年11月20日在卡塔尔开幕，其吉祥物“拉伊卜”也深受人们的喜爱.河南某超市在2022年9月份售出20个“拉伊卜”，随着世界杯开幕的临近，“拉伊卜”在之后两个月的销售量持续走高，在售价不变的基础上，11月份的销售量达到了180个．
(1)求“拉伊下”在10，11两个月销售量的月平均增长率；
(2)若每个“拉伊卜”的进价为40元，原售价为70元，该超市计划在2022年12月进行降价促销，经调查发现，若“拉伊卜”的价格在原售价的基础上每降价1元，销售量可在11月份的基础上增加10个，当每个“拉伊卜”降价多少元时，在12月份出售“拉伊卜”可获利3200元？
21.(本小题8分)
如图，直线y=kx与反比例函数y=4x的图象交于A，B两点，其中点A的横坐标为4，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC．
(1)求△ABC的面积；
(2)在x轴上有一点P，若S△POA=23S△ABC，求点P的坐标；
(3)直接写出关于x的不等式kx≤4x的解集．
22.(本小题8分)
如图，已知抛物线y=−x2+bx+c与直线y=x+1交于A(a,0)，C(3,4)两点．
(1)求a的值及抛物线的解析式；
(2)若点P是位于直线AC上方的抛物线上的一个动点，求△APC面积的最大值及此时点P的坐标．
23.(本小题8分)
转化是解决数学问题常用的思想方法之一，它可以在数与数、数与形、形与形之间灵话应用．
如图1，已知在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4，AB=3.请解答下面的问题：

(1)基础巩固：
如图1，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△NMC，连接BM，则BC与BM之间的数量关系是______ ；
(2)拓展探究：
如图2，点D，E分别是BC，AC的中点，连接DE，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转60°得到△CMN．
①求证：△BCM∽△ACN；
②用等式表示AC与AN之间的数量关系，并说明理由；
(3)问题解决：
点D，E分别是BC，AC的中点，连接DE，将△CDE绕点C旋转得到△CMN，请直接写出点A，M，N在同一直线上时BM的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.图形不是中心对称图形，不符合题意；
B.图形不是中心对称图形，不符合题意；
C.图形是中心对称图形，符合题意；
D.图形不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
根据中心对称图形的定义逐项判断即可．
本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是解题关键，即把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
2.【答案】C
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−ax−9=0有一个根为−3，
∴(−3)2+3a−9=0，
解得a=0，
故选：C．
将x=−3代入方程求解即可．
本题主要考查一元二次方程根的意义，将根代入方程求解是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵DE/​/BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(DEBC)2=(45)2=1625，
故选：B．
利用相似三角形的面积比等于相似比的平方解题即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵反比例函数y=8x中k=8>0，
∴此函数的图象分布在一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵0∴点A(x1,y1)，B(x2,y2)均在第一象限，
∴0故选：D．
根据当k>0时反比例函数的图象在一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小解答即可．
本题考查反比例函数图象的应用，解题的关键是根据k的正负从而清楚反比例函数图象上点的坐标特征．
5.【答案】B
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−4x+2a=0没有实数根，
∴Δ=(−4)2−4×1×2a=16−8a<0
∴a>2，
故选：B．
根据题意得根的判别式Δ<0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．
6.【答案】D
【解析】解：∵y=−x2−x+4=−(x+12)2+174，
∴x=−12是直线的对称轴，
故A正确；
∴最大值为174，
故B正确；
∵x>−12抛物线单调递减，
故C正确；
∵Δ=b2−4ac=17，
∴函数与x轴有两个交点，
故D错误．
故选：D．
根据二次函数的性质求解判断即可．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与系数的关系．
7.【答案】C
【解析】解：如图所示：∵DE/​/BC，
∴△AED∽△ACB，
∴AEAC=DEBC，
设屏幕上的图形高是x，则1515+150=10x，
解得：x=110.经检验，x=110是原方程的解，
故选：C．
根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答．
本题考查了相似三角形性质的应用．解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
8.【答案】A
【解析】解：扇形的弧长=45π×2180=π2，故A正确．
故选：A．
把已知数据代入扇形的弧长公式l=nπR180，计算即可．
本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的弧长公式l=nπR180是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵一次函数y=ax+b图象过第一、三、四象限，
∴a>0，b<0，
∴−b2a>0，
∴二次函数y=ax2+bx+c开口向上，对称轴在y轴右侧；
∵反比例函数y=cx的图象在第二、四象限，
∴c<0，
∴与y轴交点在x轴下方．
满足上述条件的函数图象只有选项D．
故选：D．
根据一次函数与反比例函数图象找出a、b、c的正负，再根据抛物线的对称轴为x=−b2a，得出二次函数对称轴在y轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论．
本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出a、b、c的正负．
10.【答案】C
【解析】解：∵正方形ABCD，
∴BC=AD，
∵E是AD边的中点，
∴BC=AD=2AE，
∵AD/​/BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴AEBC=AFCF，即AFCF=AE2AE=12，
∴CF=2AF，故①正确；
∵△AEF∽△CBF，AEBC=AFCF=12，
∴S△AEFS△BCF=(12)2=14，即S△AEF=14S△BCF，
∵E是AD边的中点，
∴S△DEF=S△AEF=14S△BCF，
由对称性可得：S△BCF=S△CDF，
∴S四边形CDEF=S△DCF+S△FED=S△BCF+14S△BCF=54S△BCF，即②正确；
如图：过D作DM/​/BE交AC于N，
∵DE/​/BM，BE//DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE=12BC=12CD，BM=CM，
∴CD=2MC
∵DM//BE，
∴CN=NF，即CF=2NC，
由于MC=NC不一定成立，则CF=CD不一定成立，即③错误；
∵△CBF和△CDF关于直线AC对称，
∴△CBF≌△CDF，
∵△AEF∽△CBF，
∴△AEF∽△CDF，即④正确．
则正确的有①②④，共3个．
故选：C．
先根据正方形和中点的性质可得BC=AD=2AE，再证△AEF∽△CBF，根据相似三角形的性质可判定①；根据相似三角形和中点的性质可得S△DEF=S△AEF=14S△BCF，再根据对称性可得S△BCF=S△CDF，然后根据S四边形CDEF=S△DCF+S△FED即可判定③；由对称性可得△CBF≌△CDF，再结合△AEF∽△CBF即可判定④．
本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、对称的性质等知识点，理解相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
11.【答案】(5,−7)
【解析】解：点P(−5,7)关于原点对称点的坐标为(5,−7)，
故答案为：(5,−7)．
根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数求解即可．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．
12.【答案】y=−6x
【解析】解：设反比例函数的关系式为y=kx，
由于其图象经过点(−3,2)，
所以k=−3×2=−6；
所以反比例函数的关系式为y=−6x．
设反比例函数的关系式为y=kx，将点(−3,2)的坐标代入求出k的值即可．
本题考查待定系数法求反比例函数的关系式，把点的坐标代入是求函数关系式的基本方法．
13.【答案】14
【解析】解：根据题意画出树状图如下：
由图可知，共有4种等可能事件，其中甲、乙两位患者恰好都选择B窗口挂号有1种，
∴P=14，
故答案为：14．
画出树状图即可求解．
本题考查了列表或画树状图求概率，熟练画出树状图是解题的关键．
14.【答案】π−2
【解析】解：在正方形ABCD中，ADC=90°，
∴AC= AD2+DC2= 22+22=2 2，
S阴影=S扇形ACC1−S△ADC
=45π×(2 2)2360−12×22
=π−2，
故答案为：π−2．
利用扇形的面积减去三角形的面积解题即可．
本题考查利用扇形面积求阴影面积，熟记扇形面积公式是解题的关键．
15.【答案】 26或5 26
【解析】解：∵矩形ABCD中，AD=BC=13，AB=CD=5，∠ABC=∠C=90°，
∴∠ABD1=90°，
由旋转知，AD=AD1=13，
∴BD1= AD12−AB2=12，
当点D1落在线段CB上，CD1=BC−BD1=1，
∴DD1= CD2+CD12= 26；
当点D1落在射线CB上，CD1=BC+BD1=25，
∴DD1= CD2+CD12=5 26．
故答案为： 26或5 26．
根据正方形的边角性质得到BC=13，CD=5，∠ABC=∠C=90°，得到∠ABD1=90°，根据旋转性质得到，AD1=13，根据勾股定理得到BD1=12，当点D1落在线段CB上，CD1=1，根据勾股定理得到DD1= 26，当点D1落在射线CB上，CD1=25，根据勾股定理得到DD1=5 26．
本题主要考查了矩形，旋转，勾股定理．解决问题的关键是熟练掌握矩形的边角性质，旋转性质，勾股定理解直角三角形，分类讨论．
16.【答案】解：(1)2x(4x−5)+5(4x−5)=0，
(4x−5)(2x+5)=0，
∴4x−5=0或2x+5=0，
∴x1=54，x2=−52；
(2)∵10x2−6x+12=0，
∴a=10，b=−6，c=12，
∴Δ=b2−4ac=16>0，
∴x=6± 162×10=6±420，
∴x1=12，x2=110．
【解析】(1)根据因式分解法解一元二次方程；
(2)根据公式法解一元二次方程即可求解．
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
17.【答案】解：(1)△A1OB1如下图所示：

点B1的坐标为(1,−3)．
(2)△A2OB2如下图所示：

点B2的坐标为(−6,−2)．
【解析】(1)根据网格结构找出点A、B、O绕点O顺时针旋转90°后的对应点A1，B1，然后描点即可得到△A1OB1，即可得出B1的坐标；
(2)根据网格结构找出第三象限将△AOB的边放大为原来的2倍后的对应点A2，B2，然后描点即可得到△A2OB2，即可得出B2的坐标．
本题考查了旋转变换，解题的关键是理解旋转的定义，图形的变换实质上是点的变换，画出各个对应点的位置是作图的关键．
18.【答案】解：(1)根据表格中数据，可设v=kt．
∵v=90时，t=4，
∴k=90×4=360，
∴v=360t．
(2)汽车不能在上午9：00之前到达邻市市场，理由：
∵9−6=3，
∴当t=3时，v=3603=120>110．
∴汽车不能在上午9：00之前到达邻市市场．
【解析】(1)设v=kt.根据v=90时，t=4，得到k=360，即得反比例函数表达式．
(2)根据汽车上午6：00出发，要在上午9：00之前到达邻市市场，得到行驶时间为3小时，求得速度v=120>110，判定汽车不能在上午9：00之前到达邻市市场．
本题主要考查了反比例函数．解决问题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，根据自变量值求出函数值，与函数值限制范围比较作判断．
19.【答案】12 35
【解析】(1)证明：如图，连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OC/​/AD，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OAC，
∴EC=BC；
(2)解：由(1)可知：EC=BC，
∴BC=EC=3 3，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB= AC2+BC2=5 3，
∵∠DAC=∠CAB，∠ADC=∠ACB，
∴△DAC∽△CAB，
∴CDBC=ACAB，即CD3 3=4 35 3，
解得：CD=12 35，
故答案为：12 35．
(1)连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，证明OC//AD，得到∠DAC=∠OCA，根据OA=OC，得到∠OAC=∠OCA，等量代换得到∠DAC=∠OAC，根据圆周角定理证明即可；
(2)根据勾股定理求出AB，证明△DAC∽△CAB，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设“拉伊下”在10，11两个月销售量的月平均增长率为x．
根据照意，得20(1+x)2=180．
解得x1=2，x2=−4(舍去)．
2×100%=200%．
答：“拉伊下”在10，11两个月销售量的月平均增长率为200%；
(2)设“拉伊卜”降价m元时，在12月份出售“拉伊卜”可获利3200元．
根据题意，得(70−40−m)(180+10m)=3200，
整理，得m2−12m−220=0．
解得m1=22，m2=−10(舍去)．
答：当每个“拉伊卜”降价22元时，在12月份出售“拉伊卜”可获利3200元．
【解析】(1)设“拉伊下”在10，11两个月销售量的月平均增长率为x，根据增长率问题列出一元二次方程，解方程即可求解．
(2)设“拉伊卜”降价m元时，在12月份出售“拉伊卜”可获利3200元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程解题的关键．
21.【答案】解：(1)对于y=4x，当x=4时，y=1，
∴点A的坐标为(4,1)．
∵AC⊥x轴于点C，
∴点C的坐标为(4,0)，
∵正比例函数与反比例函数的图象交于点A，B，
∴点B与点A关于原点对称．
∴点B的坐标为(−4,−1)．
∴S△ABC=S△AOC+S△BDC=12×4×1+12×4×1=4．
(2)∵S△POA=23S△ABC=83，
∴12OP⋅AC=83．
∴OP=163．
∵点P在x轴上，
∴点P的坐标为(163,0)或(−163,0)．
(3)根据函数图象，可得关于x的不等式kx≤4x的解集为x≤−4或0【解析】(1)根据反比例函数解析式求得点A的坐标，进而求得C的坐标，根据点B与点A关于原点对称，求得点B的坐标，进而即可求解；
(2)根据S△POA=23S△ABC，得出OP=163，即可求解；
(3)根据函数图象直接求解即可．
本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，数形结合，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)将A(a,0)代入y=x+1并解得a=−1，
∴点A的坐标为(−1,0)，
将A(−1,0)，C(3,4)代入y=−x2+bx+c，
得−1−b+c=0−9+3b+c=4，解得b=3c=4，
∴抛物线的解析式为y=−x2+3x+4；
(2)如图，过点P作PE⊥x轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ⊥x轴交x轴于点Q，

设点P的坐标为(m,−m2+3m+4)(−1则点F的坐标为(m,m+1)，
∴PF=−m2+3m+4−(m+1)=−m2+2m+3，
又∵点C的坐标为(3,4)，
∴点Q的坐标为(3,0)，
∴AQ=3−(−1)=4，
∴S△APC=S△APF+S△PCF=12PF⋅AE+12PF⋅EQ
=12PF⋅(AE+EQ)
=12PF⋅AQ
=−2m2+4m+6
=−2(m−1)2+8，
又∵−2<0，
∴当m=1时，△APC的面积取最大值，最大值为8，此时点P的坐标为(1,6)．
【解析】(1)将A(a,0)代入直线y=x+1可得a的值，再将A，C两点代入抛物线y=−x2+bx+c即可解答；
(2)过点P作PE⊥x轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ⊥x轴交x轴于点Q，设出点P的坐标，利用S△APC=S△APF+S△PCF即可解答．
本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数最值求法等知识，解题的关键是利用数形结合以及函数思想相结合．
23.【答案】BC=BM
【解析】(1)解：根据旋转的性质得CM=CB=4，∠BCM=60°，
∴△BCM是等边三角形，
∴BC=BM；
故答案为：BC=BM；
(2)①证明：∵点D，E分别是BC，AC的中点，△CDE绕点C按顺时针方向旋转60°得到△CMN，
∴CN=CE=12CA，CM=CD=12CB，
∠ACN=∠BCM=60°．
∴CMCB=CNCA=12．
∴△BCM∽△ACN；
②解：AN= 32AC.理由如下：
如图2，连接MD，
∵BC=4，AB=3，
∴BD=DC=CM=2．
∵∠BCM=60°，
∴△CMD是等边三角形．
∴CD=MD=BD=2，∠DMC=∠MDC=60°．
∴∠DBM=∠DMB=12∠MDC=30°．
∴∠BMC=30°+60°=90°．
在Rt△BCM中，由勾股定理得：
BM= BC2−CM2= 42−22=2 3．
∴BMBC=2 34= 32．
由①得，△BCM∽△ACN．
∴BMBC=ANAC= 32．
∴AN= 32AC；
(3)解：①如图所示，
∵∠B=90°，BC=4，AB=3，
∴AC=5，CD=CM=2，CN=CE=52，MN=DE=32，∠CMN=∠CMA=90°，∠MCN=∠BCA，
∴AM= AC2−CM2= 21，∠MCB=∠NCA，
∵BCAC=45，CMCN=252=45，
∴BCAC=CMCN=45，
∴△MCB∽△NCA，
∴BMAN=45，
∴BM=45(AM+MN)=4 21+65；
②如图所示，
同理，△MCB∽△NCA，
∴BMAN=45，
∴BM=45(AM−MN)=4 21−65；
综上所述，BM的长为4 21+65或4 21−65．
(1)证明△BCM是等边三角形，即可得到结论BC=BM；
(2)①利用两边对应成比例，且夹角相等，可证明△BCM∽△ACN；②证明△CMD是等边三角形，在Rt△BCM中，利用勾股定理求得BM的长，再利用相似三角形的性质求解即可；
(3)分两种情况分析，A、M、N三点所在直线与BC不相交和与BC相交，然后利用勾股定理以及相似三角形的判定和性质分别求解即可求得答案．
此题主要考查了几何变换综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．v/(千米/时)
75
80
90
t/时
4.80
4.50
4.00