2023-2024学年河南省安阳市龙安区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省安阳市龙安区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列关系式中，y是x的反比例函数的是( )
A. y=x3B. y=x2C. y=−3xD. y=1x2
3.某同学抛掷一枚硬币，连续抛掷20次，都是正面朝上，则抛掷第21次出现正面朝上的概率是( )
A. 1B. 12C. 120D. 121
4.下列关于反比例函数y=3x的描述中，正确的是
( )
A. 图象在第二、四象限B. 当x<0时，y随x的增大而减小
C. 点(−1,3)在反比例函数的图象上D. 当x<1时，y>3
5.已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为( )
A. 1：4B. 4：1C. 1：2D. 2：1
6.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C=130°，则∠BOD的度数为( )
A. 50°
B. 100°
C. 130°
D. 150°
7.公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原理”.通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂.小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m，动力臂为1.5m，则撬动这块大石头至少需要的动力是( )
A. 360NB. 400NC. 450ND. 600N
8.如图，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标为
( )
A. (1,0)B. (0,1)C. (−1,0)D. (0,−1)
9.数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高．课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影子是0.9米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，他们测得落在地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米．则树高为( )
A. 3.0mB. 4.0mC. 5.0mD. 6.0m
10.函数y=kx和y=−kx+2(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”.将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为______．
12.在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(1,2)和点B(−1,m)，则m的值为______．
13.抛物线y=x2−4x+3的顶点坐标为 ．
14.如图，已知零件的外径是7cm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)测量零件的内孔直径AB.如果OA：OC=OB：OD=2：1，且量得CD=3cm，则零件的厚度为______cm．
15.如图所示，等边△ABC中，D点为AB边上一动点，E为边AC上一动点，将△ADE沿着DE折叠，点A落在边BC的三等分点F处，若AB=3，则线段AE的长度为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)如图1，AD/​/BE/​/CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.若AB=2，AC=6，DE=1.5，求EF的长．
(2)如图2，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(4,1)，B(2,3)，C(1,2)．
①画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1；
②以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2：1，并写出点B2的坐标．
17.(本小题9分)
如图，图1是可折叠的熨衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，AD与BC相交于点O，AB/​/CD，根据图2中的数据(CD=0.8米，AB=1米，求x的值．
18.(本小题9分)
已知在△ABC中，边BC的长为x，边BC上的高为y，△ABC的面积为6．
(1)y与x的函数解析式为______，x的取值范围是______；
(2)请在图中，画出该函数的图象；
(3)若A(x1,y1)，B(x2,y2)是图象上的两个点，且y1>y2>0，试判断x1，x2的大小．
19.(本小题9分)
某商店将成本为每件60元的某商品标价100元出售．
(1)为了促销，该商品经过两次降低后每件售价为81元，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率；
(2)经调查，该商品每降价2元，每月可多售出10件，若该商品按原标价出售，每月可销售100件，那么当销售价为多少元时，可以使该商品的月利润最大？最大的月利润是多少？
20.(本小题9分)
如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=mx的图象交于A(2,3)，B(−3,n)两点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)根据所给条件，请直接写出不等式kx+b≥mx的解集______；
(3)过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求△ABC的面积．
21.(本小题9分)
如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于点F．
(1)证明△ABE∽△DFA；
(2)若AB=3，AD=6，BE=4，求DF的长．
22.(本小题10分)
如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AB与DC的延长线相交于点P，AC平分∠DAB，AD⊥DC于点D．
(1)求证：DC是⊙O的切线．
(2)若∠BAC=30°，AB=6，求阴影部分的面积.(结果保留根号及π)
23.(本小题10分)
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=8cm，现有动点P从点C出发，沿CA向点A方向运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C方向运动，如果点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，点P，Q就停止运动，设运动时间为t秒，求：
(1)用含t的代数式表示CP= ______，CQ= ______；
(2)当t为多少时，PQ的长度等于 61？
(3)当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B.原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】C
【解析】解：A.y=x3，是正比例函数，故A不符合题意；
B.y=x2是二次函数，故B不符合题意；
C.y=−3x，y是x的反比例函数，故C符合题意；
D.y=1x2，y不是x的反比例函数，故D不符合题意；
故选：C．
根据反比例函数的定义判断即可．
本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：硬币有两面，每次抛掷一次出现正面朝上的概率为12，与次数无关，
故选：B．
根据概率公式即可求解．
本题考查了概率公式，熟记概率公式是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：A、y=3x，k=3>0，则图象在第一、三象限，选项说法错误，不符合题意；
B、y=3x，k=3>0，则图象在第一、三象限，所以当x<0时，y随x的增大而减小，选项说法正确，符合题意
C、(−1)×3=−3，点(−1,3)不在反比例函数的图像上，选项说法错误，不符合题意；
D、y=3x，图象在第一、三象限，当x<1时，y<3，选项说法错误，不符合题意．
故选：B．
根据反比例函数的性质依次进行判断即可得．
本题主要考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．
【角度】
解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，
故选A．
6.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理的综合应用，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．
由于四边形ABCD内接于⊙O，根据圆内接四边形的对角互补即可求得∠A的度数，而∠A、∠BOD是同弧所对的圆周角和圆心角，根据圆周角定理即可得到∠BOD的度数．
【解答】
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°，而∠C=130°，
∴∠A=180°−∠C=50°，
∴∠BOD=2∠A=100°．
7.【答案】B
【解析】解：根据“杠杆定律”有FL=1200×0.5，
∴函数的解析式为F=600L，
当L=1.5时，F=6001.5=400，
因此，撬动石头需要400N，
故选：B．
根据杠杆定律求得函数的解析式后代入l=1.5求得力的大小即可．
本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出反比例函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大．
8.【答案】D
【解析】【解答】
解：如图所示：位似中心的坐标为(0,−1)．
故选：D．
【分析】
此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
直接利用位似图形的性质得出位似中心即可．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定及相似三角形的对应边成比例，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，根据相似三角形对应边成比例，通过解方程求解，加上DB的长即可．解此题的关键是找到各部分以及与其对应的影长．
【解答】
解：过点C作CD⊥AB于点D，如图．
∵AB⊥BG，GE⊥GF，AC/​/EF，
∴△EGF∽△ADC，
∴EGGF=ADCD，
∴10.9=AD1.1+1.6．
∴AD=3．
∴AB=AD+DB=3+1=4(米)，
则树高为4米．
故选：B．
10.【答案】D
【解析】解：在函数y=kx(k≠0)和y=−kx+2(k≠0)中，
当k>0时，函数y=kx(k≠0)的图象位于第一、三象限，函数y=−kx+2的图象位于第一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确，
当k<0时，函数y=kx(k≠0)的图象位于第二、四象限，函数y=−kx+2的图象位于第一、二、三象限，故选项C错误，
故选：D．
根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本题．
本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．
11.【答案】16
【解析】解：在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”．
将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为16．
故答案为：16．
抽取的扑克牌总共有6张，其中“红桃”有1张，直接利用概率公式计算可得．
本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
12.【答案】−2
【解析】解：∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(1,2)和点B(−1,m)，
∴(−1)×m=1×2，
∴−m=2，
解得m=−2，
故答案为：−2．
利用反比例函数图象上点的坐标特征得到−m=1×2，然后解关于m的方程即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
13.【答案】(2,−1)
【解析】【分析】
利用顶点公式求出顶点坐标即可．
本题主要考查二次函数的一般式，掌握y=ax2+bx+c的顶点坐标为(−b2a,4ac−b24a)，对称轴是x=−b2a是解题的关键．
【解答】
解：∵−b2a=−−42×1=2，4ac−b24a=4×1×3−(−4)24×1=−1，
∴顶点坐标是(2,−1)．
故答案为：(2,−1)．
14.【答案】0.5
【解析】解：∵OA：OC=OB：OD=2：1，∠COD=∠AOB，
∴△COD∽△AOB，
∴AB：CD=2：1，
∵CD=3cm，
∴AB=6cm，
∵某零件的外径为7cm，
∴零件的厚度为：(7−6)÷2=1÷2=0.5(cm)．
故答案为：0.5．
根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB的长，再根据某零件的外径为7cm，即可求得零件的厚度的值．
本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．
15.【答案】74或75
【解析】解：按两种情况分析：①点F在线段BC上，如图所示，由折叠性质可知，
∠A=∠DFE=60°，
∵∠BFD+∠CFE=120°，∠BFD+∠BDF=120°，
∴∠BDF=∠CFE，
∵∠B=∠C，
∴△BDF∽△CFE，
∴BDCF=DFEF=BFCE，
∵AB=4，BF：FC=1：3，
∴BF=1，CF=3，
设AE=x，则EF=AE=x，CE=3−x，
∴BD3=DFx=13−x，
解得BD=33−x，DF=x3−x，
∵BD+DF=AD+BD=3，
∴33−x+x3−x=3，
解得x=135，经检验当x=135时，3−x≠0，
∴x=74是原方程的解；
②当点F在线段CB的延长线上时，如图所示，同理可知，
△BDF∽△CFE，
∴BDCF=DFEF=BFCE，
∵AB=4，BF：FC=1：3，可得BF=2，CF=6，
设AE=a，可知AE=EF=a，CE=a−3，
∴BD6=DFa=2a−3，
解得BD=12a−3，DF=2aa−3，
∵BD+DF=BD+AD=3，
∴12a−3+2aa−3=4，
解得a=75，
经检验当a=75时，a−3≠0，
∴a=75是原方程的解，
综上可得线段AE的长为74或75，
故答案为：74或75．
点E在直线AC上，本题分两类讨论，翻折后点F在BC线段上或点F在CB延长线上，根据一线三角的相似关系求出线段长．
本题考查了翻折问题，根据点在不同的位置对问题进行分类，并通过一线三角形的相似关系建立方程是本题的关键．
16.【答案】解：(1)∵AD//BE//CF，
∴ABAC=DEDF，
∵AB=2，AC=6，DE=1.5，
∴26=1.5DF，
∴DF=4.5，
∴EF=DF−DE=4.5−1.5=3；
(2)①如图所示，△A1B1C1为所求；
②△A2B2C2与△ABC的相似比为2：1，画出△A2B2C2如图所示．

∴B2(−4,−6)．
【解析】(1)根据AD/​/BE/​/CF证得ABAC=DEDF，求出DF，再根据EF=DF−DE解答即可；
(2)①根据旋转的性质画图即可；
②根据位似图形的性质作图即可．
本题考查了作图—基本作图，平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理和位似的性质．
17.【答案】解：∵AB/​/CD，
∴△OCD∽△OBA，
∴x0.5=CDAB，
∴x0.5=0.81，
∴x=0.4．
【解析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
18.【答案】y=12x x>0
【解析】解：(1)由题意，得：S△ABC=12xy=6，
∴y=12x，
∵x是BC边上的高，
∴x>0；
故答案为：y=12x，x>0；
(2)y=12x，x>0；
列表如下：
画图如下：
(3)由图象可知，
y随x的增大而减小．
∵y1>y2>0，
∴x1(1)利用三角形的面积公式，求出函数解析式即可；
(2)画出反比例函数的图象即可；
(3)根据图象和反比例函数的性质，进行求解即可．
本题考查反比例函数的应用．根据题意，正确的求出反比例函数的解析式，利用，列表，描点，连线画出图象，是解题的关键．
19.【答案】解：(1)根据题意得：100(1−x)2=81，
解得：x1=0.1，x2=1.9，
经检验x2=1.9不符合题意，
∴x=0.1=10%，
答：每次降价百分率为10%；
(2)设销售定价为每件m元，每月利润为y元，则
y=(m−60)[100+5×(100−m)]=−5(m−90)2+4500，
∵a=−5<0，
∴当m=90元时，y最大为4500元．
答：(1)下降率为10%；(2)当定价为90元时，y最大为4500元．
【解析】(1)设该商品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格(1−降价的百分率)，则第一次降价后的价格是100(1−x)，第二次后的价格是100(1−x)2，据此即可列方程求解；
(2)销售定价为每件m元，每月利润为y元，列出二者之间的函数关系式利用配方法求最值即可．
本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的有关知识，解题的关键是正确的找到题目中的等量关系且利用其列出方程．
20.【答案】x≥2或−3≤x<0
【解析】解：(1)从图象可知A的坐标是(2,3)，B的坐标是(−3,n)，
把A的坐标代入反比例函数的解析式得：k=6，
即反比例函数的解析式是y=6x，
把B的坐标代入反比例函数的解析式得：n=−2，
即B的坐标是(−3,−2)，
把A、B的坐标代入一次函数的解析式得：
2k+b=3−3k+b=−2，
解得：k=1，b=1．
即一次函数的解析式是y=x+1；
(2)∵由图象可知使一次函数的值大于反比例函数的值的x取值范围是x>2或−3∴不等式kx+b≥mx的解集为x≥2或−3≤x<0．
(3)设AB与x轴交点为D，则D(−1,0)，
则S△ABC=S△ACD+S△BDC=5．
(1)把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出反比例函数的解析式，求出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式，即可求出一次函数的解析式；
(2)根据A、B的坐标结合图象得出即可．
(3)设AB与x轴交点为D，根据一次函数的解析式即可求得D的坐标，根据S△ABC=S△ACD+S△BDC就可求得三角形的面积．
本题主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数和反比例函数的交点问题的应用，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．
21.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD/​/BC，∠B=90°，
∴∠AEB=∠DAE．
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=∠B∠AFD=∠B
∴△ABE∽△DFA．
(2)∵AB=3，BE=4，
由勾股定理得AE= 42+32=5．
∵△ABE∽△DFA，
∴AEAB=ADDF，
即53=6DF，
∴DF=3.6
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理及矩形的性质的知识．
(1)利用矩形和直角三角形的性质得到∠AEB=∠EAD、∠AFD=∠B，从而证得两个三角形相似．
(2)首先利用勾股定理求得线段AE的长，然后利用相似三角形的性质即可求得DF的长．
22.【答案】(1)证明：连接OC，

∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
又∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC/​/AD，
又∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∵OC是半径，
∴CD是圆O的切线．
(2)解：∵∠BAC=30°，
∴∠BOC=2∠BAC=60°，
∵DC是⊙O的切线，
∴∠OCP=90°，
∴∠P=30°，
∵AB=6，AB是⊙O的直径，
∴OA=OC=3，
∴OP=2OC=6，
在Rt△OCP中，
CP= OP2−OC2= 62−32=3 3，
∴S阴影部分=S△OCP−S扇形COB
=12×3×3 3−60⋅π⋅32360=9 32−3π2．
【解析】(1)连接OC，推出∠DAC=∠CAB，∠OAC=∠OCA，求出∠DAC=∠OCA，得出OC//AD，推出OC⊥DC，根据切线的判定判断即可；
(2)由直角三角的性质求出∠BOC=2∠BAC=60°，根据含30度直角三角形的性质和勾股定理求出CP，由扇形的面积公式可得出答案．
本题考查了切线的判定，平行线的性质、直角三角形的边角关系，扇形的面积，掌握直角三角形的边角关系以及切线的判定、等腰三角形的性质是解题的关键．
23.【答案】2t 8−t
【解析】解：(1)∵动点P从点C出发，沿CA向点A方向运动，点P的速度是2cm/s，
∴CP=2t cm，
∵动点Q从点B出发，沿线段BC向点C方向运动，点Q的速度是1cm/s，
∴BQ=t cm，
∴CQ=(8−t)cm．
故答案为：2t；8−t；
(2)在Rt△PCQ中，根据勾股定理得，CP2+CQ2=PQ2，
∴(2t)2+(8−t)2=( 61)2，
解得：t=0.2或t=3，
∴当t为0.2或3秒时，PQ的长度等于 61；
(3)∵以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，且∠C=∠C=90°，
①当△CPQ∽△CAB时，CPAC=CQBC，
∴2t12=8−t8，
∴t=247；
②当△CPQ∽△CBA时，CPBC=CQAC，
∴2t8=8−t12，
∴t=2，
即当t为2或247时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
(1)利用距离=速度×时间分别求得线段CP，CQ的长度即可得到结论；
(2)在Rt△CPQ中，利用勾股定理列出方程即可求解；
(3)分两种情况：①△CPQ∽△CBA和②△CPQ∽△CAB，利用相似三角形对应边成比例列出方程即可求解．
本题主要考查了相似三角形的综合运用，勾股定理，相似三角形的性质，利用分类讨论的思想解答是解题的关键．x
⋯
2
3
4
6
⋯
y
⋯
6
4
3
2
⋯