初中北师大版第二章 有理数及其运算2.1 有理数课后作业题

这是一份初中北师大版第二章 有理数及其运算2.1 有理数课后作业题，共33页。

选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（2023秋·广东佛山·七年级佛山市南海区石门实验学校校考阶段练习）下列计算过程中，正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
2．（2023·四川广安·统考中考真题）2023年以来，广安市全面落实市委、市政府关于促进消费的各项政策措施，积极优化消费运行环境，消费加速回升．月，全市实现社会消费品总额116亿元，同比增长．请将116亿用科学记数法表示（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·广东佛山·七年级校考阶段练习）若，则的值为（ ）
A．B．C．或D．以上都不对
4．（2023秋·广东佛山·七年级佛山市南海区石门实验学校校考阶段练习）下列说法中，正确的有（ ）个．
①在有理数中，除了负数就是正数．
②分数是有理数．
③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等．
④所有有理数都能用数轴上的点表示．
⑤两数相减，差一定小于被减数．
A．1B．2C．3D．4
5．（2022秋·广东汕头·七年级汕头市潮阳实验学校校考阶段练习）二维码可用于记录数据符号信息，利用如图1的二维码可以进行身份识别．潮阳实验学校建立了一个二维码身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0．将第一行数字从左到右依次记为a、b、c、d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生．表示9班学生的识别图案是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·黑龙江大庆·大庆一中校考模拟预测）已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，则下列式子不正确的是（ ）

A．B．C．D．
7．（2023春·重庆万州·八年级统考期末）对于三个互不相等的数a、b、c，先对任两个数的差求绝对值，再求这三个绝对值的和，这样的运算称为a、b、c的“差绝对值运算”．
例如，对于，2，3进行“差绝对值运算”，得到：．
①对，3，进行“差绝对值运算”的结果是16；
②若，，b、c都为整数，对于a、b、c进行“差绝对值运算”的结果为8，b的值只有3个；
③对于，，的“差绝对值运算”的结果化简，可能存在8种不同的表达式．
以上说法中正确的个数（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
8．（2023·浙江·九年级专题练习）如图是某品牌鞋服店推出的优惠活动，小明看中了一双鞋子和一双原价元的袜子，若购买这双鞋子和这双袜子所付的费用与单独购买这双鞋子所付的费用相同，则这双鞋子的原价可能是（ ）．
A．元B．元C．元D．元
9．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期末）大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有（ ）
A．18种B．24种C．36种D．48种
10．（2022秋·广东深圳·七年级校考期中）对于正数，规定，例如，则的结果是（ ）
A．B．4C．D．4
二、填空题（6小题，每小题2分，共16分）
11．（2020秋·广东广州·七年级广州市南武实验学校校考期中）水位升高时水位变化记作m，那么水位下降记作 ．
12．（2023春·福建福州·七年级统考期末）如果，那么的取值范围是 ．
13．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级统考期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简 ．

14．（2020秋·广东佛山·七年级佛山市南海区石门实验学校校考阶段练习）已知数轴上有A、B两个点，A．B之间的距离为4，若点A表示的数字为，则点B表示的数字为 ．
15．（2020秋·广东中山·七年级中山纪念中学校考期中）已知a、b、c均为非零有理数，且满足，则 ．
16．（2023春·湖南衡阳·七年级校考期末）如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作．例如，，，．那么，，其中．例如，，，．现有，则x的值为 ．
三、解答题（9小题，共64分）
17．（2020秋·广东佛山·七年级佛山市实验学校校考阶段练习）计算：
(1)．
(2)．
18．（2020秋·广东佛山·七年级佛山市南海区石门实验学校校考阶段练习）在数轴上表示下列数字：，0，，，，并用“”把它们连接起来．
19．（2020秋·广东广州·七年级广州市花都区实验中学校考期中）已知与互为相反数，与互为倒数，的绝对值是，的值．
20．（2020秋·广东佛山·七年级佛山市南海区石门实验学校校考阶段练习）某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的每天生产情况（超产为正，减产为负）
(1)根据记录可知前三天共生产________辆．
(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产________辆．
(3)该厂实行计件工资制，每辆车60元，超额完成任务每辆奖15元，少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？
21．（2020秋·广东佛山·七年级佛山市惠景中学校考阶段练习）用“6，0.5，2，3”四个数计算“24点”，规定
（a）每个数都必须用；
（b）每个数只能用一次（包括在指数上使用，如：2的3次方就用了2和3两个数）；
（c）绝对值被认为可以无限制地使用：
（d）符合“交换律”与“结合律”的两个式子，被认为是同一个式子；
（e）要是你还知道“负指数”和“开方”，那么你就用吧；
（f）请将演算步骤写仔细，对1个算式得5分，写对2个得7分，写对3个得9分，写对4个或以上得10分．
22．（2023·江苏·七年级假期作业）概念学习：
现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”， 写作，读作“的圈4次方”，一般地把写作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
初步探究：
(1)直接写出计算结果： ； ；
(2)下列关于除方说法中，错误的有 ；（在横线上填写序号即可）
A．任何非零数的圈2次方都等于1
B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数
C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
D．圈n次方等于它本身的数是1或-1．
深入思考：
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
(3)归纳：请把有理数的圈次方写成幂的形式为：aⓝ= ；
(4)比较： ；（填“＞”“＜”或“=”）
(5)计算：．
23．（2020秋·广东佛山·七年级佛山市南海区石门实验学校校考阶段练习）阅读下列材料：
经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究：

(1)表示数轴上________与________所对应的两点之间的距离．
(2)表示数轴上有理数所对应的点到________所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数所对应的点到________所对应的点之间的距离．
(3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数，使得．这样的整数有________．
(4)利用绝对值的几何意义，写出的最小值为________．
(5)利用绝对值的几何意义，写出的最小值为________．
24．（2023·江苏·七年级假期作业）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换．
(1)平移运动
①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动个单位长度，再向正方向移动个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是 ．
A．；B．；C．； D．．
②一机器人从原点开始，第次向左跳个单位，紧接着第次向右跳个单位，第次向左跳个单位，第次向右跳个单位，…，依次规律跳，当它跳次时，落在数轴上的点表示的数是 ．
(2)翻折变换
①若折叠纸条，表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示 的点重合；
②若数轴上、两点之间的距离为（在的左侧，且折痕与①折痕相同），且、两点经折叠后重合，则点表示 ，点表示 ．
③一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是、，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在点的右边，并且，求点表示的数．
25．（2022秋·山东青岛·七年级统考期中）曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了．
下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用：
数学问题，计算(其中是正整数，且，)．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；
……
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．
根据第n次分割图可得等式：．
探究二：计算．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……，
……
第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．
根据第n次分制图可得等式：，
两边同除2，得，
探究三：计算．
(仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程)
解决问题．计算．
(在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)．
(1)根据第n次分割图可得等式：___________．
(2)所以，___________．
(3)拓广应用：计算___________．
第二章 有理数及其运算 重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（2023秋·广东佛山·七年级佛山市南海区石门实验学校校考阶段练习）下列计算过程中，正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据各项计算过程，即可做出判断．
【详解】解：A、，原计算错误，本选项不符合题意；
B、，原计算错误，本选项不符合题意；
C、，原计算错误，本选项不符合题意；
D、，正确，本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，注意乘法运算定律的应用．
2．（2023·四川广安·统考中考真题）2023年以来，广安市全面落实市委、市政府关于促进消费的各项政策措施，积极优化消费运行环境，消费加速回升．月，全市实现社会消费品总额116亿元，同比增长．请将116亿用科学记数法表示（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据科学记数法的定义即可得．
【详解】解：116亿，
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义（将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
3．（2023秋·广东佛山·七年级校考阶段练习）若，则的值为（ ）
A．B．C．或D．以上都不对
【答案】C
【分析】利用绝对值的意义可得，解出的值即可．
【详解】解：，
，
或，
故选：．
【点睛】本题考查了含有绝对值得方程，熟练掌握绝对值的意义是解答本题的关键．
4．（2023秋·广东佛山·七年级佛山市南海区石门实验学校校考阶段练习）下列说法中，正确的有（ ）个．
①在有理数中，除了负数就是正数．
②分数是有理数．
③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等．
④所有有理数都能用数轴上的点表示．
⑤两数相减，差一定小于被减数．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据有理数的性质及运算法则即可判断．
【详解】解：①在有理数中，有负数，0，正数，故原说法错误；
②分数是有理数，故说法正确；
③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数，故原说法错误；
④所有的有理数都能用数轴上的点来表示，故说法正确；
⑤两个负数相减，差大于被减数，故原说法错误；
综上，正确的有②④，
故选：B．
【点睛】此题主要考查有理数，解题的关键是熟知有理数的性质．
5．（2022秋·广东汕头·七年级汕头市潮阳实验学校校考阶段练习）二维码可用于记录数据符号信息，利用如图1的二维码可以进行身份识别．潮阳实验学校建立了一个二维码身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0．将第一行数字从左到右依次记为a、b、c、d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生．表示9班学生的识别图案是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据班级序号的计算方法一一进行计算即可．
【详解】A. 第一行数字从左到右依次为1，0，1，0,序号为，表示该生为10班学生；
B. 第一行数字从左到右依次为0，1， 1，0，序号为，表示该生为6班学生；
C. 第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为，表示该生为9班学生；
D. 第一行数字从左到右依次为0，1，1，1，序号为，表示该生为7班学生．
故选：C．
【点睛】本题属于新定义题目，主要考查了含乘方的有理数的混合运算，读懂题目中班级序号的计算方法是解题的关键．
6．（2023·黑龙江大庆·大庆一中校考模拟预测）已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，则下列式子不正确的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据数轴可知，，根据有理数的乘法法则即可判断A，根据b和c到a的距离，即可判断B，根据，，即可判断C、D．
【详解】解：根据数轴可知：，，
∴，则，
故A正确，不符合题意；
∵b离a的距离小于c离a的距离，
∴，
故B正确，不符合题意；
∵，，
∴，，
故C不正确，符合题意；D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示数，绝对值的定义，有理数的运算法则，解题的关键是掌握数轴上的点表示的数，左边小于右边．
7．（2023春·重庆万州·八年级统考期末）对于三个互不相等的数a、b、c，先对任两个数的差求绝对值，再求这三个绝对值的和，这样的运算称为a、b、c的“差绝对值运算”．
例如，对于，2，3进行“差绝对值运算”，得到：．
①对，3，进行“差绝对值运算”的结果是16；
②若，，b、c都为整数，对于a、b、c进行“差绝对值运算”的结果为8，b的值只有3个；
③对于，，的“差绝对值运算”的结果化简，可能存在8种不同的表达式．
以上说法中正确的个数（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】①根据题意进行计算即可得；②根据，得a、b、c进行“差绝对值运算”的结果为，根据题意得，解得，则，即可得；，，的“差绝对值运算”结果为，分情况讨论：当时，当时，当时，当时，分别进行计算即可得．
【详解】解：①对，3，进行“差绝对值运算”得：
，
故①正确；
②∵，，
∴
∵对于a、b、c进行“差绝对值运算”的结果为8，
∴，
，
∴，
∴b的值只有3个，
故②正确；
，，的“差绝对值运算”：
当时，原式，
当时，原式，
当时，原式，
当时，原式，
∴存在4种不同的表达式，
故③错误，
综上，①②正确，正确的个数有2个，
故选：C．
【点睛】本题考查了差绝对值运算，解题关键是理解题意，掌握差绝对值运算．
8．（2023·浙江·九年级专题练习）如图是某品牌鞋服店推出的优惠活动，小明看中了一双鞋子和一双原价元的袜子，若购买这双鞋子和这双袜子所付的费用与单独购买这双鞋子所付的费用相同，则这双鞋子的原价可能是（ ）．
A．元B．元C．元D．元
【答案】C
【分析】根据题意逐一分析四个选项是否满足题意即可．
【详解】A选项：故选项A错误，不符合题意；
B选项：故选项B错误，不符合题意；
C选项：故选项C正确，符合题意；
D选项：故选项D错误，不符合题意，
故选C．
【点睛】本题考查了有理数加减运算的实际应用，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
9．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期末）大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有（ ）
A．18种B．24种C．36种D．48种
【答案】B
【分析】根据题意，分2种情况讨论：①A户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的家庭，②A户家庭的孪生姐妹不在甲车上，每种情况下分析乘坐人员的情况，可得其乘坐方式的数目．
【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：
①A户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的家庭，
可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个小孩中任选一个，来乘坐甲车，
有种乘坐方式；
②A户家庭的孪生姐妹不在甲车上，
需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个小孩都在甲车上，
对于剩余的2个家庭，从每个家庭的2个小孩中任选一个，来乘坐甲车，
有种乘坐方式；
则共有种乘坐方式；
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数乘法的应用，关键是依据题意，分析“乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭”的可能情况．
10．（2022秋·广东深圳·七年级校考期中）对于正数，规定，例如，则的结果是（ ）
A．B．4C．D．4
【答案】A
【分析】计算出的值，总结出其规律，再求所求的式子的值即可．
【详解】解：，
，，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，代数式求值，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答．
二、填空题（6小题，每小题2分，共16分）
11．（2020秋·广东广州·七年级广州市南武实验学校校考期中）水位升高时水位变化记作m，那么水位下降记作 ．
【答案】
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答即可．
【详解】∵水位升高 时水位变化记作，
∴ 水位下降记作，
故答案为：．
【点睛】此题考查了正数和负数的知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
12．（2023春·福建福州·七年级统考期末）如果，那么的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据绝对值的意义，绝对值表示距离，所以，即可求解；
【详解】解：根据绝对值的意义得，，
；
故答案为：；
【点睛】本题考查绝对值的意义；理解绝对值的意义是解题的关键．
13．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级统考期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简 ．

【答案】
【分析】先由数轴判断a，b，c与0的大小关系，其中，则，，再根据绝对值的意义，正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数，0的绝对值是0，进而得出结果．
【详解】解：，
，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了数轴上的点以及绝对值的意义，其中正确掌握正负数的绝对值是解题的关键．
14．（2020秋·广东佛山·七年级佛山市南海区石门实验学校校考阶段练习）已知数轴上有A、B两个点，A．B之间的距离为4，若点A表示的数字为，则点B表示的数字为 ．
【答案】或1
【分析】根据数轴上两个点之间的距离即可求解．
【详解】解：因为点表示的数是，、两点之间的距离为4，
所以或，
所以点表示的数是或1．
故答案为：或1．
【点睛】本题考查了数轴上两点的距离，解决本题的关键是注意符合要求的点有两个．
15．（2020秋·广东中山·七年级中山纪念中学校考期中）已知a、b、c均为非零有理数，且满足，则 ．
【答案】或
【分析】先根据绝对值的性质可得形如的值为，再根据得出：a、b、c中有一个负数或三个均为负数两种情况，分别进行解答即可．
【详解】解：∵，且a、b、c均为非零有理数
∴，则a、b、c中有一个负数或三个均为负数．
①当a、b、c中有一个负数时，不妨设，
则：．
②当三个均为负数时，
．
综上所述，代数式的值为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是绝对值的性质以及有理数的加法运算，解答此题的关键是利用分类讨论的思想解答．
16．（2023春·湖南衡阳·七年级校考期末）如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作．例如，，，．那么，，其中．例如，，，．现有，则x的值为 ．
【答案】或或
【分析】根据为不超过x的最大整数且，可知是整数，根据，得到a为0或或，根据，得到，得到x为或或．
【详解】∵不超过x的最大整数为，，
∴是整数，
∵，
∴a为0或或，
∵，
∴，
∴，，
∴x为或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查了新定义“不超过x的最大整数”，解决问题的关键是熟练掌握任意一个有理数都可以看作一个整数和一个正小数或0的和，进行分类讨论．
三、解答题（9小题，共64分）
17．（2020秋·广东佛山·七年级佛山市实验学校校考阶段练习）计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据有理数的加减法进行计算即可求解；
（2）根据乘法分配律进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，乘法分配律，熟练掌握有理数的运算法则以及运算律是解题的关键．
18．（2020秋·广东佛山·七年级佛山市南海区石门实验学校校考阶段练习）在数轴上表示下列数字：，0，，，，并用“”把它们连接起来．
【答案】数轴见解析，
【分析】在数轴上准确找到各数对应点的位置，再根据从左向右的顺序排列即可．
【详解】解：，，
如图：
用“”把它们连接为：．
【点睛】本题考查数轴的概念，关键是在数轴上准确找到各数对应点的位置；掌握在数轴上右边的数大于左边的数．
19．（2020秋·广东广州·七年级广州市花都区实验中学校考期中）已知与互为相反数，与互为倒数，的绝对值是，的值．
【答案】或
【分析】根据相反数，倒数，绝对值的性质分别求出与的值，与的值，的值，代入求值即可．
【详解】解：∵与互为相反数，与互为倒数，的绝对值是，
∴，，，即，
∴①当时，；
②当时，；
综上所示，的值为或．
【点睛】本题主要考查有理数的相关概念及运算，掌握相反数，倒数，绝对值的性质，有理数的运算是解题的关键．
20．（2020秋·广东佛山·七年级佛山市南海区石门实验学校校考阶段练习）某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的每天生产情况（超产为正，减产为负）
(1)根据记录可知前三天共生产________辆．
(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产________辆．
(3)该厂实行计件工资制，每辆车60元，超额完成任务每辆奖15元，少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？
【答案】(1)599
(2)23
(3)该厂工人这一周的工资总额是83925元．
【分析】（1）三天的计划总数加上三天多生产的辆数的和即可；
（2）求出超产的最多数与减产的最少数的差即可；
（3）求得这一周生产的总辆数，然后按照工资标准求解．
【详解】（1）解：前三天生产的辆数是（辆）．
故答案为：599；
（2）解：超产的最多是星期六，超产13辆；减产的最少是星期五，减产10辆；
则（辆），
故答案为：23；
（3）解：这一周多生产的总辆数是（辆）．
（元）．
答：该厂工人这一周的工资是83925元．
【点睛】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，理解正负数的意义，掌握有理数的运算法则是关键．
21．（2020秋·广东佛山·七年级佛山市惠景中学校考阶段练习）用“6，0.5，2，3”四个数计算“24点”，规定
（a）每个数都必须用；
（b）每个数只能用一次（包括在指数上使用，如：2的3次方就用了2和3两个数）；
（c）绝对值被认为可以无限制地使用：
（d）符合“交换律”与“结合律”的两个式子，被认为是同一个式子；
（e）要是你还知道“负指数”和“开方”，那么你就用吧；
（f）请将演算步骤写仔细，对1个算式得5分，写对2个得7分，写对3个得9分，写对4个或以上得10分．
【答案】见解析
【分析】根据要求写出式子，然后写出计算过程即可．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，正确列出式子是关键．
22．（2023·江苏·七年级假期作业）概念学习：
现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”， 写作，读作“的圈4次方”，一般地把写作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
初步探究：
(1)直接写出计算结果： ； ；
(2)下列关于除方说法中，错误的有 ；（在横线上填写序号即可）
A．任何非零数的圈2次方都等于1
B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数
C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
D．圈n次方等于它本身的数是1或-1．
深入思考：
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
(3)归纳：请把有理数的圈次方写成幂的形式为：aⓝ= ；
(4)比较： ；（填“＞”“＜”或“=”）
(5)计算：．
【答案】(1)1，-3
(2)D
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）利用a的圈n次方的意义，进行计算即可解答；
（2）利用a的圈n次方的意义，逐一判断即可解答；
（3）仿照上边的例题，把有理数的除方运算转化为乘方运算，进行计算即可解答；
（4）利用（3）的结论，进行计算即可解答；
（5）先算除方，再算乘除，后算加减，即可解答；
【详解】（1）；
；
故答案为：1；；
（2）A．任何非零数的圈2次方都等于1，故A不符合题意；
B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，故B不符合题意；
C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故C不符合题意；
D．圈n次方等于它本身的数是1，的圈偶数次方等于1，的圈奇数次等于，故D符合题意；
故选：D；
（3）aⓝ，
故答案为：；
（4）∵，，
∴，
故答案为：；
（5）
【点睛】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确新定义的内容，计算出所求式子的值．
23．（2020秋·广东佛山·七年级佛山市南海区石门实验学校校考阶段练习）阅读下列材料：
经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究：

(1)表示数轴上________与________所对应的两点之间的距离．
(2)表示数轴上有理数所对应的点到________所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数所对应的点到________所对应的点之间的距离．
(3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数，使得．这样的整数有________．
(4)利用绝对值的几何意义，写出的最小值为________．
(5)利用绝对值的几何意义，写出的最小值为________．
【答案】(1)4，1
(2)5，
(3)，，0，1，2，3，4，5
(4)5
(5)5
【分析】（1）根据数轴上的两点距离可直接进行求解；
（2）根据数轴上的两点距离可直接进行求解；
（3）根据绝对值的几何意义，得出该式表示数轴上有理数所对应的点到的距离和到5的距离的和为7，继而求解；
（4）（5）首先结合数轴判断出式子的几何意义，再结合数轴判断．
【详解】（1）解：表示数轴上4与1所对应的两点之间的距离；
（2）表示数轴上有理数所对应的点到5所对应的点之间的距离；
，
则表示数轴上有理数所对应的点到所对应的点之间的距离；
（3）表示数轴上有理数所对应的点到的距离和到5的距离的和为7，
∴这样的整数点有，，0，1，2，3，4，5，共8个；
（4）表示数轴上有理数所对应的点到的距离和到2的距离的和，
则当时，的最小，且为5；
（5）表示数轴上有理数所对应的点到1和以及3的距离的和，
∴当时，的最小，且为5．
【点睛】本题主要考查绝对值与数轴的综合应用，解决此题时，能够熟练掌握绝对值的性质，并结合数轴的特点解答．
24．（2023·江苏·七年级假期作业）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换．
(1)平移运动
①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动个单位长度，再向正方向移动个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是 ．
A．；B．；C．； D．．
②一机器人从原点开始，第次向左跳个单位，紧接着第次向右跳个单位，第次向左跳个单位，第次向右跳个单位，…，依次规律跳，当它跳次时，落在数轴上的点表示的数是 ．
(2)翻折变换
①若折叠纸条，表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示 的点重合；
②若数轴上、两点之间的距离为（在的左侧，且折痕与①折痕相同），且、两点经折叠后重合，则点表示 ，点表示 ．
③一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是、，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在点的右边，并且，求点表示的数．
【答案】(1)①；②
(2)①；②，；③点表示的数为
【分析】（1）根据左移为负，右移为正计算即可；
（2）根据折痕处的点为对折后重合两端点的中点，由中点到两端点的距离相等可计算求解；
【详解】（1）解：①根据移动过程可得：，
故选：D．
②如果向左为“”，向右为“”，
机器人跳动过程可以用算式表示为：
＝，
当机器人跳次时，落在数轴上的点表示的数是；
故答案为：；
（2）解：①表示的点与表示的点重合，
折痕处的点表示的数为，
表示的点与表示；
故答案为：；
②数轴上、两点之间的距离为，
、两点到折痕处的距离都是，
点表示数为，点表示的数为；
故答案为：，；
③根据题意可知点表示的数为，
点、表示的数分别是、，点为折点，
点表示的数：．
【点睛】本题考查了数轴、有理数的加减混合运算、折叠等知识，理解题意，灵活应用所学知识是解决问题的关键．
25．（2022秋·山东青岛·七年级统考期中）曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了．
下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用：
数学问题，计算(其中是正整数，且，)．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；
……
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．
根据第n次分割图可得等式：．
探究二：计算．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……，
……
第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．
根据第n次分制图可得等式：，
两边同除2，得，
探究三：计算．
(仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程)
解决问题．计算．
(在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)．
(1)根据第n次分割图可得等式：___________．
(2)所以，___________．
(3)拓广应用：计算___________．
【答案】探究三：图见见解析；
解决问题：图见解析；（1）；（2）；（3）
【分析】探究三：根据探究二的分割方法依次进行分割，然后表示出阴影部分的面积，再除以3即可；
解决问题：(1)根据第n次分割图得出等式
(2)按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出阴影部分的面积及，再除以即可得解；
(3)拓广应用：先把每一个分数分成1减去一个分数，然后应用公式进行计算即可得解．
【详解】探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分，
其中阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，
阴影部分的面积之和为；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，
…，
第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，
所有阴影部分的面积之和为：，
最后的空白部分的面积是，
根据第次分割图可得等式：，
两边同除以3，得；
解决问题：
（1）
故答案为：
（2），
故答案为：；
（3）拓广应用：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律，读懂题目信息，理解分割的方法以及求和的方法是解题的关键．


星期
一
二
三
四
五
六
日
增减


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