2023-2024学年河北省沧州市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省沧州市九年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列数学经典图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.用配方法解方程x2−2x−5=0时，原方程应变形为( )
A. (x+1)2=6B. (x+2)2=9C. (x−1)2=6D. (x−2)2=9
3.方程x2+2x−4=0的两根为x1，x2，则x1+x2的值为( )
A. 2B. −2C. 4D. −4
4.将抛物线y=x2向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是( )
A. y=(x−3)2+4B. y=(x+3)2+4C. y=(x+3)2−4D. y=(x−3)2−4
5.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AED，点D正好落在BC边上.若∠C=80°，则∠EAB的度数为( )
A. 20°B. 30°C. 40°D. 50°
6.如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=50°，则∠ACB的大小为( )
A. 40°
B. 30°
C. 45°
D. 50°
7.下列说法中，正确的是( )
A. “射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件
B. 事件发生的可能性越大，它的概率越接近1
C. 某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖
D. 抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得
8.三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2−6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长是( )
A. 9B. 11C. 13D. 14
9.一个半径为2cm的圆的内接正六边形的面积是( )
A. 24cm2B. 6 3cm2C. 12 3cm2D. 8 3cm2
10.函数y=−2x2−8x+m的图象上有两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，若x1A. y1y2
C. y1=y2D. y1、y2的大小不确定
11.据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元.设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为( )
A. 3.2(1−x)2=3.7B. 3.2(1+x)2=3.7C. 3.7(1−x)2=3.2D. 3.7(1+x)2=3.2
12.抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x=−1，则当y<0，x的取值范围是( )
A. x<1
B. x>−1
C. −3D. −4≤x≤1
13.一个圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB=16m，半径OA=10m，则高度CD的长为( )
A. 2m
B. 4m
C. 6m
D. 8m
14.一个不透明的袋子里装有黄球18个和红球若干，小明涌过多次描迪试验后发现摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子里有红球个．( )
A. 12B. 15C. 18D. 24
15.如图，圆锥底面半径为rcm，母线长为5cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
16.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=−1，有以下结论：①abc>0；②4ac2.其中正确的结论的个数是
( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。
17.已知点A(a,1)与点A′(3,b)关于原点对称，则a+b=______．
18.如图，已知点A(3,3)，B(3,1)，反比例函数y=kx(k≠0)图象的一支与线段AB有交点，写出一个符合条件的k的整数值：______．
19.如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点….容易发现，10是三角点阵中前4行的点数和，300是前多少行的点数的和呢？若设前n行的点数和是300，可列方程为______，经计算可知300是前______行的点数和．
三、解答题：本题共7小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
已知关于x方程x2+ax+a−5=0．
(1)若该方程的一个根为3，求a的值及该方程的另一根；
(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
21.(本小题10分)
如图：在平面直角坐标系中，网格中每个小正方形的边长为单位1.已知△ABC，
(1)△ABC与△A1B1C1关于原点O对称，画出△A1B1C1，并写出各顶点的坐标；
(2)以O为旋转中心将△ABC顺时针旋转90°得△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标；
(3)点C旋转到点C2经过的路线长为______．
22.(本小题8分)
某校合唱团为子开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员，甲、乙、丙、丁四名同学报名参加了应聘活动，其中甲、乙来自八年级，丙、丁来自九年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试．
(1)若随机抽取一名同学，恰好抽到甲同学的概率为______；
(2)若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自九年级的概率．
23.(本小题11分)
如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=4x的图象交于A(m,1)，B(−2,n)两点．
(1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象；
(2)观察图象，直接写出不等式kx+b<4x的解集；
(3)设直线AB与x轴交于点C，若P(0,a)为y轴上的一动点，连接AP，CP，当△APC的面积为52时，求点P的坐标．
24.(本小题10分)
如图，AC是⊙O的直径，P为半圆AC的中点，连接AP并延长至点B，使PB=AP，连接CP、CB，OP．
(1)求证：BC为⊙O的切线；
(2)若AC=4，求图中阴影部分的面积．
25.(本小题10分)
用一段长为18米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为12米，设矩形菜园的一边长为x米，如图所示．
(1)若矩形菜园的面积为40平方米，求此时x的值；
(2)设矩形菜园的面积为y平方米，
①列出y与x的函数关系式；
②当x为多少时，菜园面积最大？最大面积是多少？
26.(本小题12分)
如图，抛物线y=x2+bx+c经过点(−2,5)和(2,−3)，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)求出点A，B，C的坐标；
(3)P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P，D，E为顶点的三角形与△BOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、图形是中心对称图形，符合题意；
B、图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
根据中心对称图形的概念解答即可．
本题考查的是中心对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：由原方程移项，得
x2−2x=5，
方程的两边同时加上一次项系数−2的一半的平方1，得
x2−2x+1=6
∴(x−1)2=6．
故选：C．
配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
3.【答案】B
【解析】解：根据题意得x1+x2=−21=−2．
故选：B．
直接根据根与系数的关系求解．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
4.【答案】A
【解析】解：将抛物线y=x2向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的函数表达式为：y=(x−3)2+4．
故选：A．
根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AED，点D正好落在BC边上，
∴AD=AC，∠EAD=∠BAC，
∴∠ADC=∠C=80°，
∴∠DAC=180°−∠ADC−∠C=180°−80°−80°=20°，
∵∠EAD=∠BAC，
∴∠EAD−∠BAD=∠BAC−∠BAD，即∠EAB=∠DAC，
∴∠EAB=20°；
故选：A．
根据将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AED，点D正好落在BC边上，可得AD=AC，∠EAD=∠BAC，故∠ADC=∠C=80°，从而∠DAC=180°−∠ADC−∠C=180°−80°−80°=20°，由∠EAD=∠BAC即得∠EAB=∠DAC=20°．
本题考查三角形的旋转问题，涉及等腰三角形的性质及应用，解题的关键是掌握旋转的性质．
6.【答案】A
【解析】解：△AOB中，OA=OB，∠ABO=50°，
∴∠AOB=180°−2∠ABO=80°，
∴∠ACB=12∠AOB=40°，
故选：A．
首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠AOB的度数，再利用圆周角与圆心角的关系求出∠ACB的度数．
本题主要考查了圆周角定理的应用，涉及到的知识点还有：等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．
7.【答案】B
【解析】解：A.“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，故选项A错误；
B.事件发生的可能性越大，它的概率越接近1，故选项B正确；
C.某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就可能会中奖，故选项C错误；
D.抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率不可以用列举法求得，故选项D错误，
故选：B．
根据必然事件，随机事件，不可能事件的特点以及求概率的方法，对四个选项逐一判断即可．
本题考查了概率的意义，随机事件，概率公式，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：解方程x2−6x+8=0得，
x=2或4，
∴第三边长为2或4．
边长为2，3，6不能构成三角形；
而3，4，6能构成三角形，
∴三角形的周长为3+4+6=13，
故选：C．
易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．
此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯．
9.【答案】B
【解析】解：∵正六边形内接于半径为2cm的圆内，
∴正六边形的半径为2cm，
∵正六边形的半径等于边长，
∴正六边形的边长a=2cm；
∴正六边形的面积S=6×12×2×2sin60°=6 3cm2．
故选B．
根据正六边形的边长等于半径进行解答即可．
本题考查的是正六边形的性质，熟知正六边形的边长等于半径是解答此题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵y=−2x2−8x+m，
∴此函数的对称轴为：x=−b2a=−−82×(−2)=−2，
∵x1∴对称轴左侧y随x的增大而增大，
∴y1故选：A．
根据x1、x2与对称轴的大小关系，判断y1、y2的大小关系．
此题主要考查了函数的对称轴求法和函数的单调性，利用二次函数的增减性解题时，利用对称轴得出是解题关键．
11.【答案】B
【解析】解：由题意得：3.2(1+x)2=3.7，
故选：B．
根据2020年的人均可支配收入×(1+年平均增长率)2=2022年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：∵抛物线与x轴的一个交点为(1,0)，函数的对称轴为x=−1，
则根据函数的对称性，函数与x轴另外一个交点坐标为(−3,0)，
故当y<0，x的取值范围是−3故选：C．
则根据函数的对称性，另外一个交点坐标为(−3,0)，进而求解．
本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
13.【答案】B
【解析】解：∵CD垂直平分AB，
∴AD=12AB=8(m)．
∴OD= 102−82=6(m)，
∴CD=OC−OD=10−6=4(m)．
故选：B．
根据垂径定理和勾股定理求解．
此题考查了垂径定理的应用与勾股定理．此题比较简单，注意数形结合思想的应用．
14.【答案】A
【解析】解：设有红色球x个，
根据题意得：xx+18=0.4，
解得：x=12，
经检验，x=12是分式方程的解且符合题意．
故选：A．
根据“大量重复试验中事件发生的频率逐渐稳定到的常数可以估计概率”直接写出答案即可．
本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够根据摸到红球的频率求得红球的个数，难度不大．
15.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是圆锥的计算，熟记弧长公式是解答此题的关键，直接根据弧长公式即可得出结论．
【解答】
解：∵圆锥底面半径为rcm，母线长为5cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，
∴2πr=216360×2π×5，
解得r=3．
故选A．
16.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c)；抛物线与x轴交点个数由Δ决定：Δ=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
由抛物线开口方向得到a<0，由抛物线的对称轴方程得到为b=2a<0，由抛物线与y轴的交点位置得到c>0，则可对①进行判断；根据抛物线与x轴交点个数得到Δ=b2−4ac>0，则可对②进行判断；利用b=2a可对③进行判断；利用x=−1时函数值最大可对④进行判断．
【解答】
解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−1，
∴b=2a<0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c>0，
∴abc>0，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ=b2−4ac>0，则4ac∵b=2a，
∴2a+b=4a≠0，所以③错误；
∵抛物线开口向下，x=−1是对称轴，所以x=−1对应的y值是最大值，
而当x=0时，y值为2，∴a−b+c>2，所以④正确．
故选C．
17.【答案】−4
【解析】解：∵点A(a,1)与点A′(3,b)关于原点对称，
∴a=−3，b=−1，
则a+b=−3−1=−4．
故答案为：−4．
直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标符号关系是解题关键．
18.【答案】k=4(答案不唯一)
【解析】解：由图可知：k>0，
∵反比例函数y=kx(k>0)的图象与线段AB有交点，且点A(3,3)，B(3,1)，
∴把B (3,1)代入y=kx得，k=3，
把A(3,3)代入y=kx得，k=3×3=9，
∴满足条件的k值的范围是3≤k≤9，
故k=4(答案不唯一)，
故答案为：k=4(答案不唯一)．
把点A(3,3)，B(3,1)代入y=kx即可得到k的值，从而得结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．
19.【答案】n(n+1)2=300 24
【解析】解：由于第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点，
则前五行共有(1+2+3+4+5)个点，
前10行共有(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)个点，
⋯，
前n行共有(1+2+3+4+5+…+n)个点，
然后求它们的和，
前n行共有n(n+1)2个点，
由题意可得：n(n+1)2=300，
整理得n2+n−600=0，
(n−24)(n+25)=0，
∴n1=24，n2=−25，
∵n为正整数，
∴n=24．
∴300是前24行的点数之和；
故答案为：n(n+1)2=300；24．
由于第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…，则前五行共有(1+2+3+4+5)个点，前10行共有(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)个点，前n行共有(1+2+3+4+5+…+n)个点，然后求它们的和，前n行共有n(n+1)2个点，则n(n+1)2=300，然后解方程，求n的值即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．解题的关键是对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
20.【答案】解：(1)把x=3代入方程得32+3a+a−5=0，
∴a=−1，
∴方程为x2−x−6=0，
∴x1=3，x2=−2，即方程另一个根是−2；
(2)证明：△=a2−4(a−5)=a2−4a+20=a2−4a+4+16=(a−2)2+16>0
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【解析】(1)根据方程有一根为3，将x=3代入方程求出a的值，确定出方程，即可求出另一根；
(2)根据根的判别式判断可得结论．
此题考查了根的判别式，一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程根的关系是解本题的关键．
21.【答案】 52π
【解析】解：
(1)A1(2,−3)，B1(4,−1)，C1(1,−2)，△A1B1C1如图；
(2)△A2B2C2如图，A2(3,2)，B2(1,4)，C2(2,1)；
(3)CO= 12+22= 5，
点C旋转到点C2所经过的路线长为：90π× 5180= 52π.
(1)连接AO并延长AO到A1，使A1O=AO，得到A的对应点，同法得到其他各点的对应点即可；
(2)在AC的右边作∠COC2=90°，且OC2=OC，得到A的对应点，同法得到其余各点的对应点；
(3)先根据勾股定理求出CO的长，再由弧长公式即可得出结论．
本题考查旋转和中心对称作图，掌握画图的方法和图形的特点是关键．
22.【答案】14
【解析】解：(1)∵甲、乙、丙、丁四名同学报名参加了应聘活动，
∴随机抽取一名同学，恰好抽到甲同学的概率为14，
故答案为：14；
(2)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两名同学均来自九年级的结果有2种，
∴两名同学均来自九年级的概率为212=16．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有12种等可能的结果，其中两名同学均来自九年级的结果有2种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23.【答案】解：(1)∵反比例函数y=4x的图象经过A(m,1)，B(−2,n)两点，
∴1=4m，n=4−2=−2，
解得：m=4，
∴A(4,1)，B(−2,−2)，
将A(4,1)，B(−2,−2)代入y=kx+b，得4k+b=1−2k+b=−2，
解得：k=12b=−1，
∴一次函数的表达式为y=12x−1，该函数的图象如图所示：
(2)由图可得，不等式kx+b−4x<0的解集范围是x<−2或0(3)设直线AB交x轴于C，交y轴于D，
在y=12x−1中，
当x=0时，y=−1，
∴D(0,−1)，
当y=0时，得12x−1=0，
解得：x=2，
∴C(2,0)，
∴OC=2，
∵P(0,a)，A(4,1)，
∴PD=|a+1|，
∵S△APC=52，
∴12|a+1|⋅(4−2)=52，
解得：a=32或−72，
∴点P的坐标为(0,32)或(0,−72).
【解析】(1)先根据反比例函数图象经过A、B，求出点A、B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式，在平面直角坐标系中画出直线AB即可；
(2)观察函数图象找出直线在双曲线的上方时所对应的自变量取值范围，即可写出不等式kx+b<4x的解集；
(3)根据三角形面积公式列方程求解即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式．
24.【答案】(1)证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠APC=∠BPC=90°，
∵P为半圆AC的中点，
∴AP=CP，
∴∠PAC=∠PCA=45°，
∵PB=AP，
∴∠PCB=∠PBC=45°，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∴BC为⊙O的切线；
(2)解：∵AC=4，
∴BC=AC=4，OA=OP=2，
∵P为半圆AC的中点，
∴AC⊥OP，
∴S阴=S△ABC−S△AOP−S扇POC=12×4×4−12×2×2−90π×22360=6−π．
【解析】(1)根据AC是⊙O的直径，可得∠APC=∠BPC=90°，再根据P为半圆AC的中点，得出AP=CP，再推出∠ACB=90°，从而得证；
(2)利用S阴=S△ABC−S△AOP−S扇POC求得阴影部分的面积．
本题考查了切线的判定，等腰直角三角形的性质以及阴影部分面积的求法，正确掌握切线的判定是解题的关键．
25.【答案】解：(1)根据题意得：x(18−2x)=40，
解得x=4或x=5，
∵墙长为12米，
∴18−2x≤12，
解得x≥3，
∴x=4或x=5；
(2)①根据题意得：y=x(18−2x)=−2x2+18x，
∴y与x的函数关系式为y=−2x2+18x；
②y=−2x2+18x=−2(x−92)2+814，
∵2x<18，
∴x<9，
∴3≤x<9，
∵−2<0，
∴当x=92时，y有最大值，最大值为814，
答：当x为92米时，菜园面积最大，最大面积是814平方米．
【解析】(1)根据矩形的面积=40列出方程，解方程即可；
(2)①根据矩形的面积列出函数解析式；
②根据函数的性质以及x的取值范围求出最值．
本题考查二次函数和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出方程和函数解析式．
26.【答案】解：(1)将点(−2,5)和(2,−3)代入y=x2+bx+c，
得4−2b+c=54+2b+c=−3，
解得b=−2c=−3，
故抛物线的表达式为：y=x2−2x−3；
(2)令y=0，则x=3或x=−1，
令x=0，则y=−3，
故点A，B的坐标分别为(−1,0)，(3,0)，点C(0,−3)；
(3)由点A，B的坐标易求得抛物线的对称轴为直线x=1，
且OB=OC=3，
根据题意可知∠PDE=∠BOC=90°，
则当PD=DE=3时，以P，D，E为顶点的三角形与△BOC全等，
设点P(m,n)，
当点P在抛物线对称轴右侧时，
m−1=3，
解得m=4，
∴n=42−2×4−3=5，
∴点P(4,5)，
故点E(1,2)或(1,8)；
当点P在抛物线对称轴的左侧时，
由抛物线的对称性可得，点P(−2,5)，此时点E坐标同上，
综上所述，点P的坐标为(4,5)或(−2,5)，点E的坐标为(1,2)或(1,8)．
【解析】(1)根据题意运用待定系数法将点(−2,5)和(2,−3)代入y=x2+bx+c，进行求解即可；
(2)根据坐标轴上点的特征分别令y=0，令x=0，进行求解即可；
(3)根据题意易知当PD=DE=3时，以P，D，E为顶点的三角形与△BOC全等，设点P(m,n)，进而分当点P在抛物线对称轴右侧时和当点P在抛物线对称轴右侧时两种情况进行讨论，利用二次函数图象的对称性，根据PD=DE=3进行求解即可．
本题考查二次函数的综合运用，解题的关键是根据题意推出两个三角形全等的条件(当PD=DE=3时，以P，D，E为顶点的三角形与△BOC全等)，与此同时应充分熟练待定系数法的运用、二次函数图象的对称性以及坐标轴上点的特征，充分利用数形结合和分类讨论思想方法进行求解．