2021-2022学年河北省沧州市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年河北省沧州市九年级（上）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共16小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 的外接圆圆心是该三角形的交点．(    )

A. 三条边垂直平分线 B. 三条中线
C. 三条角平分线 D. 三条高

2. 已知二次函数图象的与轴的交点是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 用配方法解方程时，配方结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如果线段，，那么和的比例中项是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 抛物线的对称轴是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 下表中记录了甲、乙、丙、丁四名运动员跳远选拔赛成绩单位：的平均数和方差，要从中选择一名成绩较高且发挥稳定的运动员参加决赛，最合适的运动员是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

7. 如图所示，若∽，则需满足(    )

A.
B.
C.
D.

8. 烟花厂某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则最高点的高度为米．(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在中，，，四边形的面积为，则的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则它们的位似中心的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，正方形的边长为，以点为圆心，为半径，画圆弧得到扇形阴影部分，点在对角线上若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，为的内切圆，，，，点，分别为，上的点，且为的切线，则的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

13. 已知点，在反比例函数是常数的图象上，且，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

14. 图是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形若，，则的值为(    )
     

A.  B.  C.  D.

15. 目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市年底有用户万户，计划到年底全市用户数累计达到万户．设全市用户数年平均增长率为，则值为(    )

A.  B.  C.  D.

16. 已知抛物线为常数，经过点，且对称轴为直线，有下列结论：
    ；
    ；
    无论，，取何值，抛物线一定经过．
    其正确结论有个(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共3小题，共12.0分）

17. 关于的方程若，则此方程根为______；若此方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______；
18. 如图，点是的内心，连接并延长交的外接圆于点，若，则______；若，则______．

19. 在矩形中，是边上的一点，是等边三角形，交于点，则______；______．

三、解答题（本大题共6小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20. 本小题分
    已知正比例函数与反比例函数的图象都经过点．
    求，的值；
    在图中画出正比例函数与反比例函数的图象，并根据图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时，的取值范围．

21. 本小题分
    某合作社为帮助农民增收致富，利用网络平台销售当地的一种农副产品为了解该农副产品在一个季度内每天的销售额，从中随机抽取了天的销售额单位：万元作为样本，数据如下：
    
    根据上述样本数据，补全条形统计图；
    上述样本数据的众数是______ ，中位数是______ ；
    根据样本数据，估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额．
     
22. 本小题分
    如图，为的直径，弦于点，于点，若，，求的长．

23. 本小题分
    如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度点处时，无人机测得操控者的俯角为，测得小区楼房顶端点处的俯角为已知操控者和小区楼房之间的距离为米，小区楼房的高度为米，求此时无人机的高度？
    参考数据：，计算结果保留根号

24. 本小题分
    如图，为的直径，为上一点，连接，，为延长线上一点，连接，且．
    求证：是的切线；
    若的半径为，的面积为，求的长．

25. 本小题分
    去年“抗疫”期间，某生产消毒液厂家响应政府号召，将成本价为元件的简装消毒液低价销售，为此当地政府决定给予其销售的这种消毒液按元件进行补贴，设某月销售价为元件，与之间满足关系式：，下表是某个月的销售记录，每月销售量万件与该月销售价元件之间成一次函数关系．

求与的函数关系式；
当销售价为元件时，政府该月应付给厂家补贴多少万元？
当销售价定为多少时，该月纯收入最大？
纯收入销售总金额成本政府当月补贴

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的外接圆圆心是三边中垂线的交点，
故选：．
根据三角形的外接圆的概念、三角形的外心的概念和性质直接填写即可．
本题考查了三角形的外心，是三条边的垂直平分线的交点，正确记忆是关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：令，则，
二次函数图象的与轴的交点是，
故选：．
令，求出二次函数的函数值，即可得出函数图象与轴的交点．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，明确轴图象上点的横坐标为是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：方程，
移项得：，
配方得：．
故选：．
方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
设它们的比例中项是，则
，
解得线段是正数，负值舍去．
所以．
故选：．
根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．
考查了比例中项的概念，注意：求两条线段的比例中项的时候，应舍去负数．
 

5.【答案】 

【解析】解：与轴的交点坐标为，，
对称轴为

，
故选：．
利用对称性，结合与轴的两个交点坐标推导即可．
本题考查的是抛物线的对称轴，解题的关键是熟练掌握抛物线的对称轴公式．
 

6.【答案】 

【解析】解：乙和丁的平均数最小，
从甲和丙中选择一人参加比赛，
丙的方差最小，
选择丙参赛．
故选：．
首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

7.【答案】 

【解析】解：由，可得：：，由此得不出结论；
由，可得：：，
，
∽，故B选项正确；
由得不出结论；
由及可得结论，但题目中未提及．
故选：．
根据相似三角形的判定定理依次判断即可．
本题主要考查相似三角形的性质和判定，熟知相关判定定理是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
礼炮升到最高点的高度是米．
故选：．
将关于的函数关系式变形为顶点式，即可得出升到最高点的高度．
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是将二次函数的关系式变形为顶点式．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质，找出是解题的关键．
由可得出∽，利用相似三角形的性质可得出，结合即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】
解：，
∽，
，
．
，即，
．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：连接、并延长交于点，
则点为位似中心，
由平面直角坐标系可知，点的坐标为，
故选：．
连接、并延长交于点，根据位似中心的概念得到点为位似中心，根据平面直角坐标系解答即可．
本题考查的是位似变换，掌握位似图形的对应顶点的连线相交于一点是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：设圆椎的底面圆的半径为，
根据题意可知：
，，
，
解得：．
因此该圆锥的底面圆的半径是．
故选：．
根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可．
本题考查了扇形弧长的计算，解决本题的关键是掌握圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
 

12.【答案】 

【解析】解：设，，和圆的切点分别是，，，，根据切线长定理，得
，，．
则有，
解得：．
所以的周长．
故选：．
设，，和圆的切点分别是，，根据切线长定理得到，所以三角形的周长即是的值，再进一步根据切线长定理由三角形的三边进行求解即可．
此题主要是考查了切线长定理．要掌握圆中的有关定理，才能灵活解题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
反比例函数是常数的图象在一、三象限，在每个象限，随的增大而减小，
当，在同一象限，
，
，
此不等式无解；
当点、在不同象限，
，
，，
解得，
故选D．
根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，当点，在同一象限时，当点，在不同象限时．
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
在中，
，
，
在中，
，
．
故选：．
在中，，可得的长度，在中，根据勾股定理得，代入即可得出答案．
本题主要考查了正弦的定义和勾股定理，熟练掌握正弦的定义和勾股定理进行计算是解决本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：该市年底有用户万户，全市用户数年平均增长率为，
该市年底有用户万户，年底有用户万户，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
故选：．
由全市用户数年平均增长率为，可得出该市年底有用户万户，年底有用户万户，根据计划到年底全市用户数累计达到万户，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：对称轴为直线，
，
，
抛物线经过点，
抛物线还经过点，
抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，
，
，
，
，
故符合题意；
时，，
，
，
故符合题意；
时，，
，
，
，
当，
抛物线一定经过．
故符合题意；
故选：．
由对称轴可得，抛物线还经过点，抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，由此可得，，再结合选项进行判断即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用函数的对称性确定函数图象与轴的两个交点坐标是解题的关键．
 

17.【答案】，   

【解析】解：把代入方程得：，
分解因式得：，
所以或，
解得：，；
此方程有两个不相等的实数根，
，
解得：．
故答案为：，；．
把代入方程求出解即可；由方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于，求出的范围即可．
此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：点是的内心，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：；
由知，
，
，
故答案为：
由三角形的内心的性质可得，，由外角的性质和圆周角的性质可得，由三角形内角和定理和外角定理可求解；
由知，根据三角形内角和定理可求解．
本题考查了三角形的内切圆与圆心，圆周角的定理，等腰三角形的性质等知识，证明是本题的关键．
 

19.【答案】  

【解析】解：如图，

四边形为矩形，是等边三角形，
，，，
≌，
，
由四边形为矩形可得，
∽，
，
故答案为：；
设，则，
在中，
由勾股可得，
在中，
由勾股定理可得，
，
故答案为：．
根据题意可证明≌，得到，再证明∽，根据相似三角形的性质即可求出的值；设，则，根据勾股定理依次表示出，，再由即可求解．
本题考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、矩形的性质、勾股定理、三角函数等，能够综合运用上述知识是解题关键．
 

20.【答案】解：将点坐标代入反比例函数得：．
．
，
将点坐标代入正比例函数得：．
．
如图：

正比例函数值大于反比例函数值时的取值范围：或． 

【解析】将点坐标代入反比例函数即可求出，即可找到点的坐标；将点坐标代入正比例函数即可求解．
先画出正比例函数图象，根据图形即可作答．
本题考查待定系数法求函数的待定系数，一次函数与反比例函数的交点知识，关键在于求出或者找到交点坐标．
 

21.【答案】补全条形统计图如下：

万元；  万元
万元，
答：估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额是万元． 

【解析】解：由题目中的数据可得，
销售额为万元的有天，销售额为万元的有天，

由条形统计图可得，
样本数据的众数是万元，中位数是万元，
故答案为：万元，万元；
见答案

根据题目中的数据，可以得到销售额万元和万元的天数，然后即可将条形统计图补充完整；
根据条形统计图中的数据，可以直接写出样本数据的众数，计算出样本数据的中位数；
根据条形统计图中的数据，可以计算出这种农副产品在该季度内平均每天的销售额．
本题考查条形统计图、中位数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确条形统计图的特点，会计算一组数据的中位数和众数．
 

22.【答案】解：设，连接，

，，和过圆心，
，，
，
在中，，
，
即，
在和中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即． 

【解析】设，连接，根据垂径定理得出，，根据勾股定理求出，求出，根据勾股定理得出，求出，再求出即可．
本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
 

23.【答案】解：过点作于点，过点作于点，如图所示：
则四边形是矩形，
，米，
由题意得：米，，，
在中，，
，
，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
米，
答：此时无人机的高度为米． 

【解析】过点作于点，过点作于点，由题意得米，，，再由锐角三角函数定义表示出的长，然后表示求出的长，进而得到，求得即可．
本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题、矩形的判定与性质等知识；掌握仰角俯角定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

24.【答案】证明：连接，如图，

为的直径，
，
．
，
．
，
，
即，
．
是的半径，
是的切线；
解：过点作于点，过点作于点，如图，

的半径为，
，
的面积为，
，
．
，，
∽，
，
．
．
解得：或不合题意，舍去，
．
，，
．
，
，
在和中，
，
≌．
，．
，，
∽，
，
，
解得：，
． 

【解析】连接，利用圆周角定理，同圆的半径相等和切线的判定定理解答即可；
过点作于点，过点作于点，利用三角形的面积和相似三角形的判定与性质求得的长；利用证明≌，得到，；再利用相似三角形的判定与性质，列出比例式求出，则结论可求．
本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，同圆的半径相等，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
 

25.【答案】解：每月销售量与该月销售价之间成一次函数关系，
设与的函数关系式为：，
则，
解得：，
与的函数关系式；
当时，万元，
与之间满足关系式：，
当销售价为元件时，政府该月应付给厂家补贴为：万元，
答：当销售价为元件时，政府该月应付给厂家补贴万元；
设该月的纯收入万元，
则，
，
当时，最大，最大值为万元，
答：当销售价定为时，该月纯收入最大． 

【解析】设出一次函数解析式，用待定系数法求解析式即可；
先求出时，销售量的值，再求政府补贴；
纯收入销售总金额成本政府当月补贴列出函数解析式，根据二次函数的性质求最值．
本题考查二次函数的应用和待定系数法求函数解析式，关键是根据纯收入销售总金额成本政府当月补贴列出函数解析式．