2023-2024学年河南省南阳市邓州市九年级（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年河南省南阳市邓州市九年级（上）期末数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．＝3D．
3．（3分）关于方程x（3x+2）＝6（3x+2）的描述，下列说法错误的是（ ）
A．它是一元二次方程
B．解方程时，方程两边先同时除以（3x+2）
C．它有两个不相等的实数根
D．用因式分解法解此方程最适宜
4．（3分）在一个不透明的盒子里装有m个球，其中红球6个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定到0.2附近，那么可以估算出m的值为（ ）
A．16B．20C．24D．30
5．（3分）如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA＝3OD，OB＝3OC），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上，若量得CD的长度，便可知AB的长度．本题依据的主要数学原理是（ ）
A．三边成比例的两个三角形相似
B．两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等
C．两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
D．平行线分线段成比例
6．（3分）在 Rt△ABC中，∠C＝90°，，，则∠B的度数（ ）
A．30°B．45°C．60°D．无法确定
7．（3分）下列关于二次函数y＝（x+2）2﹣3的说法正确的是（ ）
A．图象是一条开口向下的抛物线
B．图象与x轴没有交点
C．当x＜0时，y随x增大而增大
D．图象的顶点坐标是（﹣2，﹣3）
8．（3分）如图，在长为32m，宽为20m的矩形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100m2，设小路的宽为x m，则下面所列方程正确的是（ ）
A．32×20﹣32x﹣20x＝100
B．32x+20x＝100+x2
C．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝100
D．（32﹣x）（20﹣x）＝100
9．（3分）如图，小明家的客厅有一张高0.8米的圆桌，直径BC为1米，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为D、E，依据题意建立如图所示的平面直角坐标系，其中点D的坐标为（2，0），则点E的坐标是（ ）
A．B．（3，0）C．（3.6，0）D．（4，0）
10．（3分）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，动点D从点A出发，沿A→C→B以1cm/s 的速度匀速运动到点B，过点D作DE⊥AB于点E，图②是点D运动时，△ADE的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，其中图象最高点的纵坐标是，则BC的长为（ ）
A．4cmB．C．8cmD．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）已知，则的值为 ．
12．（3分）请在横线上填写一个恰当的整数，使方程2x2﹣5x+ ＝0有两个不相等的实数根．
13．（3分）新高考“3+1+2”选科模式是指除“语文、数学、外语”3门科目以外，学生应在2门首选科目“历史和物理”中选择1科，然后在4门再选科目“思想政治、地理、化学、生物”中选择2科．小刚同学从4门再选科目中随机选择2科，则恰好选中“思想政治和生物”的概率为 ．
14．（3分）在平面直角坐标中，将抛物线y＝x2﹣2x+6向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得平移后的抛物线（如图），点A在平移后的抛物线上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为 ．
15．（3分）在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，点M是对角线BD的中点，点P从点A出发沿着边按由A→D→C的路径运动，到达终点C停止，当以点P、M、D为顶点的三角形与△ABD相似时，则线段AP的长为 ．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）解方程：x2﹣8x﹣2＝0．
17．（9分）如图，AC为菱形ABCD的对角线，点E在AC的延长线上，且∠E＝∠ABC．
（1）求证：△ACD∽△ABE；
（2）若点C是AE的中点，AC＝4，求菱形ABCD的边长．
18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题．
（1）画出△ABC关于y轴的轴对称图形△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在第一象限内出画出△A2B2C2，使得△A1B1C1与△A2B2C2位似，且相似比为1：3．并写出△ABC与△A2B2C2的面积之比为 ；
（3）在（1）、（2）的条件下，设△ABC内一点P的坐标为（a，b），则△A2B2C2内与点P对应的对应点P2的坐标为 ．
19．（9分）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．
（1）如图2，在P点观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为α，设仰角为β，请直接用含α的代数式表示β．
（2）如图3，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为37°，∠ACD为45°，地面上点B，C，D在同一水平直线上，BC＝26m，求气球A离地面的高度AD．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
20．（9分）某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，在柱子的顶端A处安装一个喷头向外喷水．柱子在水面以上部分的高度OA为3m．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最大高度为4m，如图所示．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求在第一象限部分的抛物线解析式（不必写出自变量取值范围）；
（2）张师傅在喷水池维修设备期间，喷水管意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为2.5m处，通过计算说明身高1.8m的张师傅是否被淋湿？
（3）如果不计其他因素，为使水不溅落在水池外，那么水池的直径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？
21．（9分）“直播带货”已经成为信息社会中商家的一种新型促销手段．某主播小红在直播间销售一种进价为每件20元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系y＝﹣10x+400．（注：在计算利润时，不考虑快递费用等其他因素）；
（1）设小红每天的销售利润为w元，求w与x之间的函数关系式（要求函数关系式化为一般式，并写出自变量x的取值范围）；
（2）若小红每天想获得的销售利润w为750元，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？
（3）当销售单价定为多少元时，每天销售该商品获得利润最大，并求出最大销售利润
22．（10分）请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务．
利用图象法解一元二次方程
数学活动课上，王老师提出这样一个问题：我们曾经利用一次函数的图象解一元一次方程，类比前面的学习经验，我们能否利用二次函数的图象解一元二次方程呢？
例如，解方程：x2﹣2x﹣3＝﹣3．
王老师倡导同学们以小组为单位进行合作探究，同学们经过几分钟热烈的讨论交流，智慧小组率先展示了他们的方法：将方程进一步变形为x2﹣2x＝0，如图1，画出二次函数y＝x2﹣2x的图象，发现抛物线与x轴相交于（0，0）和（2，0）两点，当x＝0或x＝2时，此时y＝0，所以x2﹣2x＝0，即x2﹣2x﹣3＝﹣3，所以此方程的解为x1＝0，
x2＝2．
善思小组受智慧小组的启发，展示了他们的方法：画出二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象和直线y＝﹣3．如图2所示，它们相交于（0，﹣3）和 （2，﹣3）两点，当x＝0或x＝2时，此时y＝﹣3，即x2﹣2x﹣3＝﹣3，所以此方程的解为x1＝0，
x2＝2．
任务：
（1）利用图象法解上述材料中的方程，下列叙述错误的是
A..利用图象法解方程体现了数形结合思想；
B．画出抛物线y＝x2和直线y＝2x，观察图象交点的横坐标，也可得出该方程的根；
C．画出抛物线y＝x2﹣3和直线y＝﹣2x+3，观察图象交点的横坐标，也可得出该方程的根；
D．画出抛物线y＝x2+3和直线y＝2x+3，观察图象交点的横坐标，也可得出该方程的根．
（2）请类比阅读材料和 （1）中的思想方法解方程x2﹣4x＝﹣3，把你解方程所利用的函数图象画在图3的平面直角坐标系中，并写出解方程的分析过程．
（3）若方程x2﹣4x＝a无实数根，从图形的角度看就是抛物线y＝x2﹣4x与直线 无交点，此时a的取值范围是 ；
（4）拓展迁移：方程x2﹣4x＝|x﹣2|的根的情况是 ．
23．（10分）综合与实践：
（1）问题发现：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是外角∠CAE的平分线，则AD与BC的位置关系如何，并加以证明．
（2）问题解决：如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝8，点E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连结CF，求cs∠ECF和线段CF的长．
（3）拓展迁移：如图，正方形ABCD的边长为10，E是边AD上一动点，将正方形沿CE翻折，点D的对应点为D′，过点D′作折痕CE的平行线，分别交正方形ABCD的边于点M、N（点M在点N上方），若2AM＝CN，请直接写出DE的长为 ．
2023-2024学年河南省南阳市邓州市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．【分析】化简得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、，故错误；
B、正确；
C、＝4，故错误；
D、＝3，故错误；
故选：B．
【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．
2．【分析】A、利用二次根式的化简公式计算得到结果，即可做出判断；
B、原式不能合并，错误；
C、原式利用二次根式的除法法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式化为最简二次根式得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、＝|﹣3|＝3，故选项错误；
B、2+4不能合并，故选项错误；
C、÷＝＝3，故选项正确；
D、＝2，故选项错误．
故选：C．
【点评】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．【分析】根据一元二次方程的定义，根的判别式，解一元二次方程﹣因式分解法即可求解．
【解答】解：x（3x+2）＝6（3x+2），
3x2+2x＝18x+12，
3x2﹣16x﹣12＝0，
∴它是一元二次方程，故A选项不符合题意；
解方程时，方程两边不能先同时除以（3x+2），故B选项符合题意；
Δ＝（﹣16）2﹣4×3×（﹣12）＝256+144＝400＞0，
∴它有两个不相等的实数根，故C选项不符合题意；
x（3x+2）＝6（3x+2），用因式分解法解此方程最适宜，故D选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查解一元二次方程﹣因式分解法，一元二次方程的定义，根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．
4．【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，根据红球的个数除以总数等于频率，求解即可．
【解答】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定到0.2附近，
∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为0.2，
∴m＝6÷0.2＝30．
故选：D．
【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解“大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率”，难度一般．
5．【分析】利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似解答．
【解答】解：∵OA＝3OD，OB＝3OC，
∴OA：OD＝OB：OC＝3：1，
∵∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB∽△DOC．
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会利用相似三角形的性质解决问题．
6．【分析】由勾股定理得AC＝，则AC＝BC，再证△ABC是等腰直角三角形，即可得出结论．
【解答】解：∵∠C＝90°，，，
∴AC＝＝＝，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
7．【分析】直接利用二次函数的性质对A、C、D选项进行判断；通过计算根的判别式的值和根的判别式的意义对B选项进行判断．
【解答】解：抛物线y＝（x+2）2﹣3，
∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，所以A选项不符合题意；
∵y＝（x+2）2﹣3＝x2+4x+1，
∴Δ＝42﹣4×1×1＝12＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点，所以B选项不符合题意；
当x＞﹣2时，y随x增大而增大，所以C选项不符合题意；
抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣3），所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质．
8．【分析】设道路的宽x米，小路的面积+x2＝一个长32宽x的矩形面积+一个长20宽x的矩形的面积，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设道路的宽x米，
则32x+20x＝100+x2．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．【分析】根据相似三角形的相似比等于等于高的比，列方程求出DE，进而求出OE，确定点E的坐标．
【解答】解：过点B作BF⊥x轴，垂足为F，由题意得，BF＝0.75米，BC＝1米，
∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴，
即：，
解得DE＝
∴OE＝2+＝，
∴点E的坐标是（，0）．
故选：A．
【点评】本题考查的是中心投影，熟知将中心投影的问题转化为相似三角形的问题进行解答是解题的关键．
10．【分析】动点D速度为1cm/s，运动时间为x（s），所以运动路程为x cm．拐点的纵坐标是，可判断此时点D运动到点C处，根据△ADE的面积可得AC长，进而除以可得BC的长．
【解答】解：∵动点D速度为1cm/s，运动时间为x s，
∴运动路程为x cm．
∵拐点的纵坐标是，
∴此时点D运动到点C处，AD＝x cm．△ADE的面积为：12cm2．
∵DE⊥AB，
∴∠CEA＝90°．
∵∠A＝30°，
∴CE＝．
∴AE＝x．
∴×x•＝12．
∴x＝4（取正值）．
∴AC＝4．
∵∠ACB＝90°，
∴BC＝AC÷＝4．
故选：B．
【点评】本题考查动点问题的函数图象．关键是理解拐点纵坐标的意义及此时动点所在的位置．用到的知识点为：30°的直角三角形三边比是：1：：2．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．【分析】由题干可得5（a﹣b）＝3b，根据等式的性质即可解得a、b的比值．
【解答】解：∵，
∴5（a﹣b）＝3b，
∴＝．
故答案为．
【点评】本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单．
12．【分析】设常数项为c，由原方程有两个不相等的实数根，可得出Δ＞0，即关于c的一元一次不等式，解之可求出c的取值范围，再取其中的任意一个整数，即可得出结论．
【解答】解：设常数项为c，
根据题意得：（﹣5）2﹣4×2×c＞0，
解得：c＜，
∴c的值可以为3．
故答案为：3（答案不唯一）．
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
13．【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中“思想政治和生物”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中“思想政治和生物”的结果有2种，
∴恰好选中“思想政治和生物”的概率为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
14．【分析】根据平移的规律得到平移后的函数解析式，即可得到抛物线的顶点坐标为（3，8），再根据矩形的性质得BD＝AC，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为8，从而得到BD的最小值．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+6＝（x﹣1）2+5，
∴将抛物线y＝x2﹣2x+6向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得平移后的抛物线y＝（x﹣3）2+8，
∴抛物线的顶点坐标为（3，8），
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD＝AC，
而AC⊥x轴，
∴AC的长等于点A的纵坐标，
当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为8，
∴对角线BD的最小值为8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了矩形的性质．
15．【分析】分两种情况，当P在AD上时，当∠MPD＝∠A时，△DPM∽△DAB，由平行线分线段成比例推出AP＝PD＝AD＝2，当P在DC上时，连接AC，由菱形的性质推出AB∥CD，AD＝CD＝AB＝4，∠BCD＝∠BAD，得到∠BAD+∠ADC＝180°，求出∠ADB＝60°，判定△ACD是等边三角形，当∠DPM＝∠BAD时，△DPM∽△DAB，由平行线分线段成比例推出DP＝PC，由等边三角形的性质得到，AP＝AD＝×4＝2，
【解答】解：如图，当P在AD上时，
∵∠PDM＝∠ADB，
∴当∠MPD＝∠A时，△DPM∽△DAB，
此时PM∥AB，
∴DP：PA＝DM：MB，
∵M是BD中点，
∴AP＝PD＝AD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝4，
∴AP＝×4＝2．
如图，当P在DC上时，
连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AD＝CD＝AB＝4，∠BCD＝∠BAD，∠ADB＝∠PDM，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ADB＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∵∠ADB＝∠PDM，
∴当∠DPM＝∠BAD时，△DPM∽△DAB，
∵∠BCD＝∠BAD，
∴∠DPM＝∠BCD，
∴PM∥BC，
∴DP：PC＝DM：MB，
∵M是BD中点，
∴MB＝DM，
∴DP＝PC，
∵△ACD是等边三角形，
∴AP⊥CD，
∴AP＝AD＝×4＝2，
∴线段AP的长为2或2．
故答案为：2或2．
【点评】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定，等边三角形的判定和性质，关键是要分两种情况讨论．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16．【分析】（1）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；
（2）根据解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）×+﹣3tan30°﹣2sin45°
＝5+﹣3×﹣2×
＝5+﹣﹣
＝4﹣；
（2）x2﹣8x﹣2＝0，
x2﹣8x＝2，
x2﹣8x+16＝2+16，
（x﹣4）2＝18，
x﹣4＝±3，
x1＝4+3，x2＝4﹣3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17．【分析】（1）根据四边形ABCD是菱形，得出∠ACD＝∠BCA，结合∠ACD＝∠ABE，得出∠BCA＝∠ABE，即可证明结论；
（2）根据△ABC∽△AEB，得出，代入数据进行计算，即可得出AB的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ACD＝∠BCA，
又∠ACD＝∠ABE，
∴∠BCA＝∠ABE，
∵∠BAC＝∠EAB，
∴△ABC∽△AEB；
（2）解：∵点C是AE的中点，AC＝4，
∴AE＝2AC＝8，
∵△ABC∽△AEB，
∴，
∴，
即AB2＝32，
∴AB＝4或﹣4（舍去），
∴菱形ABCD边长为4．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键．
18．【分析】（1）根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解；
（2）根据位似变换的性质找出对应点即可求解；
（3）根据（1）（2）条件下得出变换规律即可求解．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，
由题意可知，△ABC与△A2B2C2的面积之比为（），
故答案为：；
（3）∵△ABC内一点P的坐标为（a，b），
∴在△A1B1C1内的点的坐标为（﹣a，b），
∴△A2B2C2内与点P对应的对应点P2的坐标为（﹣3a，3b），
故答案为：（﹣3a，3b）．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，位似变换，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
19．【分析】（1）由已知直接可得答案；
（2）设AD＝x m，可得CD＝AD＝x m，BD＝（26+x）m，而tan∠ABD＝，有0.75＝，即可解得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：β＝90°﹣α；
（2）设AD＝x m，
∵∠ACD＝45°，∠ADB＝90°，
∴CD＝AD＝x m，
∵BC＝26m，
∴BD＝（26+x）m，
在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，
∴tan37°＝，即0.75＝，
解得：x＝78，
经检验，x＝78是分式方程的解，
∴AD＝78（m），
答：气球A离地面的高度AD是78m．
【点评】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义．
20．【分析】（1）依据题意，由抛物线的顶点为（1，4），可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，又抛物线过点A（0，3），最后代入求出a后即可得解；
（2）依据题意，当x＝2.5时，y＝﹣（2.5﹣1）2+4＝﹣2.25+4＝1.75＜1.8，进而可以判断得解；
（3）依据题意，令y＝0，从而0＝﹣（x﹣1）2+4，进而可得水池的半径，最后计算可得水池的直径即可判断得解．
【解答】解：（1）由题意，抛物线的顶点为（1，4），
∴可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4．
又抛物线过点A（0，3），
∴3＝a+4．
∴a＝﹣1．
∴在第一象限部分的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4．
（2）由题意，当x＝2.5时，y＝﹣（2.5﹣1）2+4＝﹣2.25+4＝1.75＜1.8，
∴身高1.8m的张师傅会被淋湿．
（3）由题意，令y＝0，
∴0＝﹣（x﹣1）2+4．
∴x1＝3，x2＝﹣1（不合题意，舍去）．
∴水池的半径至少为3m．
∴水池的直径至少为6m时，才能使喷出的水流都落在水池内．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能学会用待定系数法求函数的解析式是关键．
21．【分析】（1）依据题意，小红每天的销售利润为w＝（x﹣20）（﹣10x+400）＝﹣10x2+600x﹣8000，又由题意，，进而计算可以得解；
（2）依据题意，750＝﹣10x2+600x﹣8000，求出x后再结合要尽可能地减少库存y＝﹣10x+400，即可判断得解；
（3）依据题意，小红每天的销售利润为w＝（x﹣20）（﹣10x+400）＝﹣10x2+600x﹣8000＝﹣10（x﹣30）2+1000，再根据二次函数的性质即可判断得解．
【解答】解：（1）由题意，小红每天的销售利润为w＝（x﹣20）（﹣10x+400），
∴w＝﹣10x2+600x﹣8000．
由题意，，
∴20≤x≤40．
（2）由题意得，750＝﹣10x2+600x﹣8000，
∴x2﹣60x+875＝0．
∴x＝25或x＝35．
又∵要尽可能地减少库存y＝﹣10x+400，
∴x＝25．
∴应将销售单价定为25元．
（3）由题意，小红每天的销售利润为w＝（x﹣20）（﹣10x+400）＝﹣10x2+600x﹣8000＝﹣10（x﹣30）2+1000，
∴当x＝30时，w的最大值为1000．
∴当销售单价定为30元时，每天销售该商品获得利润最大，最大销售利润为1000元．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
22．【分析】（1）C选项中，联立抛物线y＝x2﹣3和直线y＝﹣2x+3，可得方程x2﹣3＝﹣2x+3，整理得x2+2x＝0，不符合题目的方程，因此C错误；
（2）将方程变形为x2﹣4x+3＝0，如图，画出二次函数y＝x2﹣4x+3的图象，通过交点的坐标得到方程x2﹣4x＝﹣3的解；
（3）画出二次函数y＝x2﹣4x的图象，观察图象可得若方程x2﹣4x＝a无实数根，即直线x＝a在直线x＝﹣4的下方，即可得到结果；
（4）由，画出y＝x2﹣4x和y＝|x﹣2|得图象，通过观察交点的情况得到方程x2﹣4x＝|x﹣2|的根的情况．
【解答】解：（1）A选项，图象法是画出函数图象，通过交点的情况研究方程的解的情况，满足数形结合思想，因此A正确；
B选项，联立抛物线y＝x2和直线y＝2x，可得方程x2＝2x，整理得x2﹣2x＝0，符合题目的方程，因此B正确；
C选项，联立抛物线y＝x2﹣3和直线y＝﹣2x+3，可得方程x2﹣3＝﹣2x+3，整理得x2+2x＝0，不符合题目的方程，因此C错误；
D选项，联立抛物线y＝x2+3和直线y＝2x+3，可得方程x2+3＝2x+3，整理得x2﹣2x＝0，符合题目得方程，因此D正确；
故答案为：C；
（2）将方程变形为x2﹣4x+3＝0，如图，画出二次函数y＝x2﹣4x+3的图象，发现抛物线与x轴交于（1，0）和（3，0）两点，则当x＝1或x＝3时，y＝0，所以x2﹣4x+3＝0，即x2﹣4x＝﹣3，所以方程的解是x1＝1，x2＝3；
（3）如图，画出二次函数y＝x2﹣4x的图象，
通过图象可得若方程x2﹣4x＝a无实数根，得抛物线y＝x2﹣4x与直线x＝a无交点，由图象可知直线x＝﹣4与抛物线有一个交点，得若方程x2﹣4x＝a无实数根，即直线x＝a在直线x＝﹣4的下方，此时a的范围是a＜﹣4；
故答案为：x＝a，a＜﹣4；
（4）当x＞2时，|x﹣2|＝x﹣2，当x＜2时，|x﹣2|＝﹣x+2，
则，
即当x≥2时，y＝x﹣2，当x＜2，时，y＝﹣x+2，
如图，画出y＝x2﹣4x和y＝|x﹣2|得图象，
由图象可得y＝x2﹣4x和y＝|x﹣2|有两个交点，
即x2﹣4x＝|x﹣2|有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查了图象法解方程，本题的关键是熟悉二次函数图象的画法，通过数形结合思想，观察图象中交点的情况，得到方程的根的情况．
23．【分析】（1）利用三角形外角性质和平行线的判定即可；
（2）运用勾股定理可得AE＝＝＝2，由折叠可得FE＝BE，AF＝AB，∠AEF＝∠AEB，进而可得cs∠ECF＝cs∠AEB＝＝＝；过点E作EG⊥CF于点G，可得＝cn∠ECG＝cs∠AEB＝，再由CF＝2CG即可求得答案；
（3）分两种情况：当点M在AD边上时，当点M在AB边上时，分别求出DE即可．
【解答】解：（1）AD∥BC，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠CAE是△ABC的外角，
∴∠CAE＝∠B+∠C＝2∠B，
∵AD是外角∠CAE的平分线，
∴∠1＝∠2＝∠CAE＝∠B，
∴AD∥BC；
（2）∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE＝BC＝4，（2）问题解决：如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝8，点E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连结CF，求cs∠ECF和线段CF的长．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴AE＝＝＝2，
∵将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，
∴FE＝BE，AF＝AB，∠AEF＝∠AEB，
∴FE＝CE，
∴∠ECF＝∠EFC，
∵∠BEF＝∠ECF+∠EFC＝2∠ECF，
∴∠AEB＝∠ECF，
∴cs∠ECF＝cs∠AEB＝＝＝；
如图，过点E作EG⊥CF于点G，
则∠EGC＝90°，
∴＝cn∠ECG＝cs∠AEB＝，
∴CG＝CE＝×4＝，
∴CF＝2CG＝；
（3）当点M在AD边上时，如图，
∵四边形ABCD是边长为10的正方形，
∴AD＝10，AD∥BC，
∵MN∥CE，
∴四边形CEMN为平行四边形，
∴∠D′ME＝∠ECN，CN＝EM，
∵2AM＝CN，
∴EM＝2AM，
设AM＝x，则EM＝2x，
∴DE＝AD﹣AM﹣EM＝10﹣3x，
根据折叠的性质可得，DE＝D′E＝10﹣3x，∠DEC＝∠D′EC，
∵AD∥BC，
∴∠DEC＝∠ECN＝∠D′ME，
∵MN∥CE，
∴∠D′EC＝∠MD′E，
∴∠D′ME＝∠MD′E，
∴EM＝D′E，
∴2x＝10﹣3x，
解得：x＝2，
∴DE＝10﹣3x＝4；
当点M在AB边上时，如图，延长DA交MN于点F，
∵四边形ABCD是边长为10的正方形，
∴AB＝AD＝10，AD∥BC，AB∥CD，
设AM＝x，则BM＝10﹣x，
∵2AM＝CN，
∴CN＝2x，BN＝10﹣2x，
∵MN∥CE，AD∥BC，
∴四边形CEFN是平行四边形，
∴EF＝CN＝2x，
∵AD∥BC，
∴∠AFM＝∠BNM，
∵∠AMF＝∠BMN，
∴△AMF∽△BMN，
∴＝，即＝，
∴AF＝，
∴AE＝EF﹣AF＝2x﹣＝，
∴DE＝AD﹣AE＝10﹣＝，
根据折叠的性质可得，DE＝D′E＝，∠DEC＝∠D′EC，
∵MN∥CE，
∴∠DEC＝∠EFN，∠ED′F＝∠D′EC，
∴∠EFN＝∠ED′F，
∴EF＝D′E，
∴2x＝，
解得：x1＝10﹣5，x2＝10+5（不符合题意，舍去），
∴DE＝2x＝2×（10﹣5）＝20﹣10，
故答案为：4或20﹣10．
【点评】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
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