河南省南阳市邓州市2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份河南省南阳市邓州市2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了下列计算正确的是，关于的方程的根的情况是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，答题时间100分钟；
2．请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上．
1．二次根式有意义，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
2．关于的错误表述为（ ）
A．是无理数B．是最简二次根式
C．D．与不是同类二次根式
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程，正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．关于的方程的根的情况是（ ）
A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根
C．方程没有实数根D．方程的根的情况与的取值有关
6．射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中为子弹的加速度，为枪筒的长．如果，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，点在上，，交于，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．我市为了增强学生的体质，组织了一次排球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了28场比赛，则参加比赛的球队共有（ ）
A．4个B．6个C．8个D．10个
9．如图，数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，小明同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小明的眼睛离地面高度为，同时量得小明与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ）
A．B．C．D．
10．数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明，小丽和小亮在学习思考后各自尝试作了一种辅助线，如图1，2，其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（ ）
A．小丽和小亮的辅助线作法都可以B．小丽和小亮的辅助线作法都不可以
C．小丽的辅助线作法可以，小亮的不可以D．小亮的辅线作法可以，小丽的不可以
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若一个正方形的面积是12，则它的边长是 ．
12．若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以为 （写出一个即可）．
13．为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了302个充电桩，第三个月新建了503个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程 ．（不必化为一般形式）
14．如图，、相交于点，，点是的中点，点是的中点，连接，若，，则的长为 ．
15．小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．如图2，小华在边找一点，在边找一点，以为轴折叠，得到，点的对应点为点，小华变换的位置，始终让点落在上，则当为直角三角形时，的长为 ．

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中．
17．（1）下面是小红同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：． 第一步
第二步
则或． 第三步
解得． 第四步
任务一：填空：
①以上解题过程中，第一步变形的名称是______；
②第______步开始出现错误，错误的原因是______；
任务二：请直接写出该方程的正确解______．
（2）用公式法解方程：．
18．如图，在正方形中，，在边上取中点，连接，过点做与交于点，与的延长线交于点．
(1)求证：；
(2)求的面积．
19．如图，要使用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为，围成中间隔有一道篱笆的矩形苗圃．
(1)若要围成面积为的花圃，则的长为多少米？
(2)能否围成面积为的花圃？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
20．如图1，在中，，，，是上一点，过点作交于，将绕点顺时针旋转到图2的位置．求图2中的比值．
21．下表是小明进行数学学科项目化学习时候的记录表，填写活动报告的部分内容．
项目主题：测量河流的宽度．
项目探究：河流宽度不能直接测量，需要借助一些工具，比如：小镜子，标杆，皮尺，自制的直角三角形模板…，各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，并进行实地测量，得到具体数据，从而计算出河流的宽度．
项目成果：下面是小明进行交流展示的部分测量方案及测量数据：
请你参与这个项目学习，并完成下列任务
(1)任务一：请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度；
(2)任务二：请你写出这个方案中求河流的宽度时用的数学知识______（定出一条即可）；
(3)任务三：请你再设计一个与小明不同的测量方案，并画图简要说明一下。
22．2023年9月，我省各地市中小学生陆续正常开学，开学之际，学生对书包的需求量增加．市场调研：
某班数学兴趣小组对某商场进行调研后了解到如下信息：
解决问题：
（1）由信息一求得每个B款书包的进价为______元；
问题延伸：
（2）商场现在B款书包每天可获利4420元，请利用一元二次方程的知识求出信息二中每个B款书包的售价．
23．综合与实践：
问题背景：鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学王老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，其中智慧数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大的兴趣并展开探究．
探究发现：如图1，在中，．
（1）操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，则______，设，那么______（用含的式子表示）；
（2）进一步探究发现：顶角为的等腰三角形的底与腰的比值为，这个比值被称为黄金比．请在（1）的条件下证明：；
拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫做黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，．请直接写出这个菱形较长对角线的长．
参考答案与解析
1．C
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式并求解即可．
【详解】解：由题意得：，即，
故选：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据题意列出不等式是正确解题的关键．
2．D
【分析】本题考查最简二次根式、同类二次根式．根据最简二次根式、同类二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解：A、是无理数，说法正确，本选项不符合题意；
B、是最简二次根式，说法正确，本选项不符合题意；
C、，说法正确，本选项不符合题意；
D、与是同类二次根式，原说法错误，本选项符合题意；
故选：D．
3．C
【分析】根据二次根式的运算法则将各式计算后进行判断即可．
【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
4．D
【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先将常数项移到等号右边，再在两边同时加上一次项系数一半的平方，最后根据完全平方公式即可完成配方．
【详解】解：，
，
，
，
故选：D．
5．B
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解．
【详解】解：由可变形为，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根；
故选B．
6．A
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，算术平方根的化简，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
【详解】解：根据题意可得：
，
故选：A．
7．D
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟记相似三角形对应边之比等于相似比，相似三角形面积之比等于相似比的平方．
【详解】∵，
∴，故选项正确；
∴，
∴，
∴，故选项正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故选项正确；
由，故选项错误；
故选：．
8．C
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题意，找出等量关系，设参加比赛的球队共有x个，列出方程求解即可．
【详解】解：设参加比赛的球队共有x个，
，
解得：（舍去），
∴参加比赛的球队共有8个，
故选：C．
9．C
【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质．
【详解】解：如图，由题意得，，，，
根据镜面反射可知：，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
故选：．
10．A
【分析】用辅助线构造平行四边形，利用平行四边形的性质即可证得．
【详解】解：如图1，延长DE到F，使EF=DE，
∵AE=EC， EF=DE，
∴四边形ADCF为平行四边形
∴ADCF，AD=CF
又∵BD=AD，
∴BDCF，
∴四边形BDFC是平行四边形，
∴DF=BC ，DFBC，
∴，
∴小丽的辅助线作法可以．
如图2，过点G作GEAB，过点A作AFBC，
∵GEAB，AFBC，
∴四边形ABGF是平行四边形．
∴AB=FG，
在△AEF和△GEC中，
，
∴△AEF≌△CEG（AAS）
∴EF=GE，AE=EC，AF=GC，
∴AD=EF，BD=EG，
∴四边形ADEF、DBGE是平行四边形，
∴DEBC，，
∴小亮的辅助线作法可以．
故选：A．
【点睛】此题考查了中位线定理的证明，解题的关键是构造平行四边形，根据平行四边形的性质去证明．
11．
【分析】正方形的边长是面积的算术平方根．
【详解】解：正方形的面积是12，边长=．
故答案是：．
【点睛】本题考查正方形的面积和二次根式，解题的关键是掌握用正方形面积求边长的方法．
12．1（即可，答案不唯一）
【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解．
【详解】解：由关于的一元二次方程有实数根，可知，
∴；
∴m的值可以为1（答案不唯一）；
故答案为1（答案不唯一）．
13．
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用中的增长率问题，根据变化前数量变化后数量，即可列出方程．若设平均增长率为，则有，其中表示变化前数量，表示变化后数量，表示增长次数．解决增长率问题时要注意区分变化前数量和变化后数量，同时也要注意变化前后经过了几次增长．
【详解】第一个月新建了302个充电桩，该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为．
第二个月新建了个充电桩，
第三个月新建了个充电桩，
第三个月新建了503个充电桩，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，中位线的性质（三角形的中位线等于底边的一半）．由得出是解题关键．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
是的中点，是的中点，
是的中位线，
．
故答案为：．
15．或##或
【分析】本题考查了勾股定理，折叠问题，解直角三角形，掌握折叠的性质是解题关键．为直角三角形时，有两种情况：，，分别根据，即可求解．
【详解】解：在中，，
，，
，
当时，以为轴折叠，得到，
， ， ，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，
设则，
解得：．
当时，以为轴折叠，得到，
，
，
解得：．
故答案为：或．
16．（1）；（2）；
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分式的混合运算以及化简求值，
（1）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可；
（2）先计算分式的除法，再计算乘法化简后，把代入进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
当时，原式．
17．（1）任务一：①移项；②二，去括号时，没有变号；任务二：；（2）
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】任务一：
①移项；
②二，去括号时，没有变号；
故答案为：移项，二，去括号时没有变号；
任务二：
则或
解得：，
故答案为：，；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∴，．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了正方形的性质和相似三角形的判定和性质．
（）根据正方形的性质得出，再通过同角的余角相等得出，最后根据相似三角形的判定得出即可；
（）根据正方形的性质得出，，由点是的中点，
求出，根据求出，根据相似得出比例式，面积比等于相似比的平方求出即可；
【详解】（1）在正方形中，
∵
∴
∴
∴，
（2）在正方形中，，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，且，
∵ ，
∴，
∴，
∴．
19．(1)米；
(2)不能，见解析．
【分析】（）的长为，则，列出方程即可求解；
（）的长为，则，列出方程然后判断有无实数根即可求解；
此题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、准确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】（1）解：设的长为米，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，（舍去），
当时，，
答：的长为米；
（2）假设花圃的面积等于平方米，则，
整理得：，
，
∴此方程无实数根，
所以花圃的面积不能等于平方米．
20．
【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定及性质，旋转的性质，首先利用勾股定理求得，然后由平行线的性质和相似三角形的判定及性质得到，其次由旋转的性质得出，最后由相似三角形的判定及性质，熟记相似的判定定理“平行于三角形一边的直线和其他两边构成的三角形与原三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”是解题关键．
【详解】解：，
．
在图1中，，
．
将绕点顺时针旋转到图2的位置，
仍成立．
，且，
，
．
21．(1)
(2)相似三角形对应边成比例
(3)见解析
【分析】本题考查了用相似三角形解决实际问题，找准相似三角形，利用对应边成比例建立等量关系是解题的关键．
（1）任务一：利用相似三角形的对应边成比例，可求出的长；
（2）任务二：用了“相似三角形的对应边成比例”这一数学知识；
（3）任务三：除了利用相似来测量河的宽度，我们还可以利用全等来测量．
【详解】（1）解：由题知，
．
，
又，
解得：．
答：河流的宽度为．
（2）解：由题意得：相似三角形的对应边成比例（答案不唯一，合理即可）；
（3）解：（答案不唯一，合理即可）．在河对岸找一个参照物A，站在A的正对面的位置，沿着河岸向东走一段距离，到达处，在处坚立一竹竿，然后继续向东行走到处，使得，再沿着与河岸垂直的位置行走，当走到与共线时停下，位置记为，这时的长度即表示河流的宽度．
22．（1）50；（2）76元或84元
【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，根据已知得出一元二次方程是解题的关键．
（1）设每个款书包的进价为元，每个款书包的进价为元，根据题意列方程，即可得到结论；
（2）设每个款书包的售价为元，根据等量关系“利润（售价进价）销量”列出函数关系式，进而列出方程，求解即可．
【详解】解：（1）设每个款书包的进价为元，每个款书包的进价为元，
根据题意得，，
解得，
∴，
故答案为50；
（2）解：设每个款书包的售价为元，根据题意得，
，
整理得：
解得，
经检验，都符合题意．
答：每个款书包的售价为76元或84元．
23．（1）72，；（2）见解析；拓展应用：
【分析】（1） 根据折叠的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质即可得出答案，
（2）先证明，可得，进而得出一元二次方程，求出解即可；
对于拓展应用：根据菱形的性质得出是顶角为的等腰三角形，即黄金三角形，
可求出，进而求出，最后根据得出答案．
【详解】探究发现：（1）72，；
根据折叠可知．
∵，
∴；
根据折叠可知，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：72，；
（2）证明：，
．
由折叠知
又，
，
，
即，
整理得：，
解得：（舍去）
；
拓展应用：菱形较长对角线．
如图，在上截取，连接，
得是顶角为的等腰三角形，即黄金三角形，
根据黄金三角形的底与腰的比值为，由，
可得，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
所以．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，折叠的性质，黄金分割，相似三角形和性质和判定，菱形的性质，解一元二次方程等，理解黄金三角形并应用是解题的关键．
小丽的辅助线作法：
延长DE到F，使EF=DE，
连接DC、AF、FC．
小亮的辅助线作法：
过点B作GBAB，
过点A作AFBC，
GE与AF交于点F．
题目
测量河流宽度
目标示意图
测量数据
信息一
商场从厂家购进款式、大小、颜色、价格都不相同的、两款书包，已知每个款书包的进价比每个款书包的进价多30元，且购买5个A款书包和购买8个B款书包的费用相同．
信息二
商场将款书包按每个70元出售，每天可售出200个．现在采取提高商品售价的办法增加利润．在销售中发现，如果每个款书包销售价每提高2元，其销售量就减少10个．