2024年高考数学重难点突破专题八 立体几何 第二十二讲 空间几何体的三视图、表面积和体积58

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2019年
1.（2019全国II文16）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）
2.（2019全国II文17）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥的体积．
3.(2019全国III文16）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥O−EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.
4.（2019江苏9）如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E-BCD的体积是 .
5.（2019天津文12）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.
6.（2019北京文12）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．
7.（2019浙江4）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是
A．158B．162
C．182D．32
2010-2018年
一、选择题
1．(2018全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为
A． B． C． D．
2．(2018全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为
A． B． C． D．2
3．(2018全国卷Ⅰ)在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为
A．B．C．D．
4．(2018全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
5．(2018全国卷Ⅲ)设，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为
A．B．C．D．
6．(2018浙江)某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：）是
A．2 B．4 C．6 D．8
7．(2018北京)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2017新课标Ⅲ）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
A． B． C． D．
9．（2017北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
A．60 B．30 C．20 D．10
10．（2017浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：）是
A． B． C． D．
11．（2017新课标Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
A． B． C． D．
12．（2016年山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为
A． B． C． D．
13．（2016年全国I）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是EQ \F(28π,3)，则它的表面积是
A．17π B．18π C．20π D．28π
14．（2016年全国II）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
A．20π B．24π C．28π D．32π
15．（2016年全国III）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为
A． B． C．90 D．81
16．(2015浙江)某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是
A． B． C． D．
17．（2015陕西）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A． B． C． D．
18．（2015重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A． B． C． D．
19．（2015新课标）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为
A． B． C． D．
20．（2015安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是
A． B． C． D．
21．（2015湖南）某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为
（材料利用率=）
A． B． C． D．
22．（2015新课标1）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16 + 20，则=
A．1 B．2 C．4 D．8
23．（2014新课标1）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为
A． B．6 C． D．4
24．（2014新课标2）如图，网格纸上正方形小格的边长 为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为
A． B． C． D．
25．（2014安徽）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
26．（2014福建）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．四面体 D．三棱柱
27．（2014浙江）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是
A． 90 B． 129 C． 132 D． 138
28．（2014新课标2）正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥的体积为
A．3 B． C．1 D．
29．（2014福建）以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于
A． B． C．2 D．1
30．（2014辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
31．（2014陕西）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
32．（2014江西）一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是


33．（2013新课标1）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A． B． C． D．
34．（2013江西）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A．200+9π B．200+18π C．140+9π D．140+18π
35．（2012广东）某几何体的三视图如图所示，它的体积为
A．12π B．45π C．57π D．81π
36．（2012湖北）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A． B． C． D．
37．（2011新课标）在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为

38．（2011安徽）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A．48 B．32+8
C．48+8 D．80
39．（2011辽宁）如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是
A．ACSB
B．AB平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
40．（2010安徽）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为
A．280B．292C．360D．372
41．(2010浙江)若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是
A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3
二、填空题
42．(2018天津)如图，已知正方体的棱长为1，则四棱锥的体积为__．
43．(2018江苏)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ．
44．（2017新课标Ⅰ）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径．若平面⊥平面，，，三棱锥的体积为9，则球的表面积为________．
45．（2017新课标Ⅱ）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为 ．
46．（2017天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ．
47．（2017山东）由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 ．
48．（2017江苏）如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。记圆柱的体积为，球的体积为，则 的值是 ．
49．（2016北京）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________．
50．（2016浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是___cm2．体积是______cm3．
51．(2015天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何体的体积为 ．
52．（2014山东）一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 ．
53．（2014北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为 ．
54．（2014江苏）设甲、乙两个圆柱的底面分别为，，体积分别为，，若它们的侧面积相等，且，则的值是 ．
55．（2013天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为 ．
56．（2013江苏）如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 ．
57．（2012辽宁）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．
58．(2012安徽)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是．
59．（2011福建）三棱锥中，⊥底面，=3，底面是边长为2的正三角形，则三棱锥的体积等于______．
60．（2011新课标）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 ．
三、解答题
61．(2018全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形中，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且．
(1)证明：平面平面；
(2)为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥 的体积．
62．（2017新课标Ⅰ）如图，在四棱锥中，，且．
(1)证明：平面⊥平面；
(2)若，，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积．
63．（2014广东）如图2，四边形为矩形，⊥平面，,,作如图3折叠，折痕∥．其中点，分别在线段，上，沿折叠后点在线段上的点记为，并且⊥．
（Ⅰ）证明：⊥平面
（Ⅱ）求三棱锥的体积．
64．（2014辽宁）如图，和所在平面互相垂直，且，，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点．
（Ⅰ）求证：平面BCG；
（Ⅱ）求三棱锥DBCG的体积．
附：锥体的体积公式，其中S为底面面积，h为高．
65．（2013新课标2）如图，直三棱柱中，，分别是，的中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）设，，求三棱锥的体积．
66．（2013安徽）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，.已知．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若为的中点，求三棱锥的体积．
67．（2012江西）如图，在梯形ABCD中，ABCD，E，F是线段AB上的两点，且DEAB，CFAB，AB=12，AD=5，BC=4，DE=4，现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG．
（1）求证：平面DEG平面CFG；
（2）求多面体CDEFG的体积．
68．（2011辽宁）如图，四边形ABCD为正方形，QA平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD．
（I）证明：PQ平面DCQ；
（II）求棱锥Q—ABCD的的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值．