2025版高考数学一轮总复习第7章立体几何第1讲空间几何体的结构及其表面积和体积课件

这是一份2025版高考数学一轮总复习第7章立体几何第1讲空间几何体的结构及其表面积和体积课件，共60页。PPT课件主要包含了考情探究，平行且全等，平行四边形，多边形，三角形，平行且相等，等腰三角形，等腰梯形，πrl，πr1＋r2l等内容，欢迎下载使用。

【命题规律与备考策略】本章内容为高考必考内容之一，多考查空间几何体的表面积与体积，空间中有关平行或垂直的判定，空间角与距离的求解，空间向量的应用等问题．高考对本章内容的考查比较稳定，针对这一特点，复习时，首先梳理本章重要定理、公式与常用结论，扫清基础知识和公式障碍；然后，分题型重点复习，重视向量法求解空间角、距离问题的思路与解题过程．
第一讲　空间几何体的结构及其表面积和体积
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理知识点一　多面体的结构特征
知识点二　旋转体的结构特征
知识点三　圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
知识点四　柱体、锥体、台体和球体的表面积和体积
归 纳 拓 展1．一个平面图形在斜二测画法下的直观图与原图形相比，有“三变、三不变”．三变：坐标轴的夹角改变，与y轴平行线段的长度改变(减半)，图形改变．三不变：平行性不变，与x轴平行的线段长度不变，相对位置不变．
2．柱体、锥体、台体体积间的关系：
台体的体积常化为两锥体体积之差求解．
3．多面体的外接球与内切球常用的结论：
双 基 自 测题组一　走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( )(3)用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台．( )
(4)有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台．( )
(6)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.( )
题组二　走进教材2．(必修2P119T1)已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )
∴3r2＝12，∴r＝2.
B．该半正多面体的外接球的表面积为6π
[解析]　解法一：如图，过A1作A1M⊥AC，垂足为M，易知A1M为四棱台ABCD－A1B1C1D1的高，
A．100π B．128πC．144π D．192π
考点突破 · 互动探究
基本立体图形——自主练透
1.(多选题)若正三棱锥V－ABC和正四棱锥V1－A1B1C1D1的所有棱长均为a，将其中两个正三角形侧面△VAB与△V1A1B1按对应顶点粘合成一个正三角形以后，得到新的组合体是( )A．五面体 B．七面体C．斜三棱柱 D．正三棱柱
[解析]　新的组合体如图所示，故选AC.
2．下列结论：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；⑤用任意一个平面截一个几何体，所得截面都是圆面，则这个几何体一定是球．其中正确结论的序号是_______.
[解析]　①中这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥，①错；②中这条腰若不是垂直于两底的腰，则得到的不是圆台，②错；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，③错误；④中如果用不平行于圆锥底面的平面截圆锥，则得到的不是圆锥和圆台，④错；只有球满足任意截面都是圆面，⑤正确．
名师点拨：空间几何体结构特征的判断技巧1．紧扣各种空间几何体的定义及结构特征是判断的关键，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．2．说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．
【变式训练】(多选题)下列结论错误的是( )A．过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D．若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
[解析]　在如图所示的平行六面体中，侧面ADD1A1及侧面BCC1B1都是矩形，且平面ABB1A1及平面DCC1D1都与底面ABCD垂直，故D错误；截面BDD1B1可能为矩形，故A正确；将菱形沿一条对角线折起所得三棱锥各面都是等腰三角形，但该棱锥不一定是正棱锥，故B错误；侧面都是矩形但底面为梯形的直四棱柱不是长方体，故C错误．故选BCD.
空间几何体的直观图——师生共研
已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )
[解析]　如图①、②所示的实际图形和直观图．
[引申]若已知△ABC的平面直观图△A1B1C1是边长为a的正三角形，则原△ABC的面积为__________.[解析]　在△A1D1C1中，
2．在原图形中与x轴或y轴平行的线段，在直观图中与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出．
【变式训练】(2023·四川成都阶段统测)用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，边A′B′与C′D′平行于x′轴．已知四边形A′B′C′D′的面积为1 cm2，则原平面图形ABCD的面积为_________cm2.
几何体的表面积与侧面积——师生共研
[解析]　结合题目边长关系，三棱锥如图所示，
则表面积为：S△ABC＋S△ACD＋S△ABD＋S△BCD
2．(2024·湖北部分学校联考)陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，也称陀罗，图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中A是圆锥的顶点，B，C分别是圆柱的上、下底面圆的圆心，且AB＝1，AC＝3，底面圆的半径为1，则该陀螺的表面积是______________.
名师点拨：空间几何体表面积的求法1．旋转体的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意其轴截面及侧面展开图的应用．2．多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．3．既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．
【变式训练】1. (2022·河南洛阳一模)如图已知正三棱锥S－ABC的高为3，底面正三角形的高为3，则该正三棱锥的表面积为( )
[解析]　如图，SH为正三棱锥的高，则D为AB的中点，CD⊥AB，SD⊥AB.
A．12πR2 B．10πR2C．8πR2 D．6πR2
几何体的体积——多维探究
角度1　直接利用公式求体积 (2024·辽宁辽东十一所重点高中联合教研体摸底)底面半径为3，表面积为24π的圆锥的体积为( )
A．225 B．250 C．325 D．375
[思考]本节考点3例2中陀螺的体积为________.
角度3　等体积法求体积 (2024·浙江浙南名校联盟联考)生活中有很多常见的工具有独特的几何体结构特征，例如垃圾畚箕，其结构如图所示的五面体ADE－BCF，其中四边形ABFE与CDEF都为等腰梯形，ABCD为平行四边形，若AD⊥平面ABFE，且EF＝2AB＝2AE＝2BF，记三棱锥D－ABF的体积为V1，则该五面体的体积为( )
A．8V1 B．5V1 C．4V1 D．3V1
[解析]　因为ABCD为平行四边形，所以S△ABD＝S△BCD，所以VF－BCD＝VF－ABD＝V1.取EF的中点G，连接AG，DG，由题意知VD－AEG＝VD－AGF＝VD－ABF＝V1，所以该五面体的体积V＝VD－AEG＋VD－AGF＋VD－ABF＋ VF－BCD＝4V1.故选C.
名师点拨：求空间几何体的体积的常用方法
【变式训练】1．(2024·湖南长沙质检)在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，现将△ABD沿BD折起成△A1BD，折起过程中，当A1B⊥CD时，四面体A1BCD体积为( )
3.(2024·江西九校联考改编)在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱的体积V＝__________________cm3.
球与几何体的切、接问题——师生共研
1.(2024·云南红河州、文山州模拟)在三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB⊥BC，△PAB为等边三角形，AB＝BC＝2，则该三棱锥外接球的表面积为_________
2．(2023·福建龙岩质检)如图，已知正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，则该正八面体的内切球表面积为( )
名师点拨：几何体外接球问题的处理解题关键是确定球心和半径，其解题思维流程是：
(R—球半径，r—截面圆的半径，h—球心到截面圆心的距离)．注：若截面为非特殊三角形可用正弦定理求其外接圆半径r.
特别的：1．若四面体的两个面是有公共斜边的直角三角形，则其外接球球心为斜边中点，半径为斜边的一半．2．有三条棱两两垂直或相对的棱相等的四面体可补成长方体或正方体，其外接球半径为体对角线长的一半．3．有一侧棱垂直底面的锥体可补成直棱柱，其球心为棱柱上、下底面外接圆圆心连线的中点，可利用球心到各顶点距离相等求得半径．注意：不共面的四点确定一个球面．
几何体内切球问题的处理1．解题时常用以下结论确定球心和半径：①球心在过切点且与切面垂直的直线上；②球心到各面距离相等．
特别提醒：正多面体的中心为其内切球、外接球的球心，并非所有的多面体都有内切球(或外接球)．
A．32π B．28π C．26π D．24π
2．(2022·安徽蚌埠质检)如图，E，F分别是正方形ABCD的边AB，AD的中点，把△AEF，△CBE，△CFD折起构成一个三棱锥P－CEF (A，B，D重合于P点)，则三棱锥P－CEF 的外接球与内切球的半径之比是_________.
[解析]　不妨设正方形的边长为2a，由题意知三棱锥P－CEF 中PC、PF、PE两两垂直，
解法一(直接法)：由几何体的对称性知，内切球的球心在平面PCH(H为EF的中点)内，M、N、R、S为球与各面的切点，
名师讲坛 · 素养提升
2．(2022·全国乙卷)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为( )
[解析]　设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD对角线夹角为α，
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为2r2，又r2＋h2＝1，
名师点拨：立体几何中最值问题的解法1．观察图形特征，确定取得最值的条件，计算最值．2．设出未知量建立函数关系，利用基本不等式或导数计算最值．3．几何体表面两点间路程最值问题，“展平”处理．转化为平面内两点间距离问题．
【变式训练】1．在正三棱锥S－ABC中，SA＝SB＝SC＝1，∠ASB＝∠ASC＝∠BSC＝30°，一只蚂蚁从点A出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬过的最短路程为________.
2．(2024·江苏淮安调研)球M是圆锥SO的内切球，若球M的半径为1，则圆锥SO体积的最小值为( )