2024年高考数学重难点突破专题八 立体几何 第二十二讲 空间几何体的三视图、表面积和体积答案 (2)59

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答案部分
2019年
1.解析 该模型为长方体，挖去四棱锥后所得的几何体，其中O为长方体的中心，，，，，分别为所在棱的中点，，，
所以该模型体积为：
，
打印所用原料密度因为为，不考虑打印损耗，
所以制作该模型所需原料的质量为：．
2.解析 因为长方体的体积是120，E为的中点，
所以，所以三棱锥的体积：.
3.解析 由题可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分，由勾股定理得，正四棱锥的高为2.
因为圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，则圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1，即半径等于，由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半，为1.
所以该圆柱的体积为.
4.解析：由及是边长为2的正三角形可知，三棱锥为正三棱锥，
则顶点P在底面的射影O为底面三角形的中心.连接BO并延长，交AC于G，
则，又，可得AC⊥平面PBG，则PB⊥AC.
因为E，F分别是PA，AB的中点，所以.
又，即EF⊥CE，所以PB⊥CE，得PB⊥平面PAC.
所以PB⊥PA，PB⊥PC.
又因为，是正三角形，
所以，故
所以正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直.
把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，
其直径为正方体的体对角线的长度，即, 半径为，
则球O的体积为．故选D．
5.解析：由三视图还原原几何体如图，
该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解，
即 QUOTE ,S-五边形ABCDE.=,1-2.(4+6)×3+,1-2.(2+6)×3=27 ，高为6，
则该柱体的体积是 QUOTE V=27×6=162 ．
故选B．
6.解析：由三视图还原原几何体如图所示，
该几何体是把棱长为4的正方体去掉一个四棱柱，
则该几何体的体积.
2010-2018年
1．C【解析】解法一 将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示，
易知，，，，，平面，故，为直角三角形，∵平面，平面，，又，且，∴平面，又平面．，∴为直角三角形，容易求得，，，故不是直角三角形，故选C．
解法二 在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3，故选C．
2．B【解析】由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长16．画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接，则，，则从到的路径中，最短路径的长度为．故选B．
图① 图②
3．A【解析】由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A．
4．B【解析】设等边三角形的边长为，则，得．
设的外接圆半径为，则，解得，所以球心到所在平面的距离，则点到平面的最大距离，所以三棱锥体积的最大值．故选B．
5．D【解析】如图以为底面矩形一边的四边形有、、、4个，每一个面都有4个顶点，所以阳马的个数为16个．故选D．
6．C【解析】由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积．故选C．
7．B【解析】由题意可知，该几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，则表面所有梯形之和为．选B．
8．B【解析】解法一 由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，
其体积，
故该组合体的体积．故选B．
解法二 该几何体可以看作是高为14，底面半径为3的圆柱的一半，所以体积为
．选B．
9．B【解析】圆柱的轴截面如图，，，所以圆柱底面半径，那么圆柱的体积是，故选B．
10．A【解析】该几何体是由一个高为3的圆锥的一半，和高为3的三棱锥组成（如图），
其体积为：．选A．
11．B【解析】借助正方体可知粗线部分为该几何体是四棱锥，
最长的棱长是体对角线，所以．选B．
12．C【解析】由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，高为1，
其体积．设半球的半径为，则，即，
所以半球的体积．
故该几何体的体积．故选C．
13．A【解析】由三视图可得此几何体为一个球切割掉后剩下的几何体，
设球的半径为，故，所以，
表面积，选A．
14．C【解析】该几何体是圆锥与圆柱的组合体，
设圆柱底面圆半径为，周长为，圆锥母线长为，圆柱高为．
由图得，，由勾股定理得：，
，故选C．
15．B【解析】由三视图可得该几何体是平行六面体，上下底面是边长为3的正方形，故面积都是9，前后两个侧面是平行四边形，一边长为3、该边上的高为6，故面积都为18，左右两个侧面是矩形，边长为和3，故面积都为，则该几何体的表面积为2(9 +18+)=54 +．
16．C【解析】由题意得，该几何体为一立方体与四棱锥的组合，
∴体积，故选C．
17．D【解析】由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为，母线长为，所以该几何体的表面积是，故选D．
18．A【解析】这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，
，选A．
19．D【解析】如图，设正方形的棱长为1，则截取部分为三棱锥，其体积为，又正方体的体积为1，则剩余部分的体积为，故所求比值为．
20．B 【解析】 在长、宽、高分别为2、1、1的长方体中，该四面体是如图所示的三棱锥，表面积为．
21．A【解析】由圆锥的对称性可知，要使其内接长方体最大，则底面为正方形，令此长方体底面对角线长为，高为，则由三角形相似可得，，所以，
，长方体体积，
当且仅当，即时取等号，，
故材料利用率为，选A．
22．B【解析】由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成，其表面积为，所以．
23．B【解析】如图，
设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥A - BCD，最长的棱为，选B．
24．C【解析】原毛坯的体积，由三视图可知该零件为两个圆柱的组合体，其体积，故所求比值为．
25．A【解析】如图，将边长为2的正方体截去两个角，
∴
26．A【解析】圆柱的正视图是矩形，∴选A．
27．D【解析】由三视图画出几何体的直观图，如图所示，则此几何体的表面积
，其中是长方体的表面积，
是三棱柱的水平放置的一个侧面的面积，是三棱柱的一个底面的面积，
可求得，选D．
28．C【解析】由题意可知，由面面垂直的性质定理可得平面，
又，所以，
故选C．
29．A【解析】圆柱的底面半径为1，母线长为1，．
30．B【解析】直观图为棱长为2的正方体割去两个底面半径为l的圆柱，所以该几何体的体积为．
31．C【解析】由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1，其侧面积．
32．B【解析】由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．
33．A【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为 =，故选A．
34．A【解析】还原后的直观图是一个长宽高依次为10，6 ，5的长方体上面是半径为3高为2的半个圆柱．
35．C【解析】几何体是圆柱与圆锥叠加而成它的体积为
36．B【解析】由三视图可知该几何体的体积：．
37．D【解析】通过正视图及俯视图可看出该几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，故侧视图可以为D．
38．C【解析】由三视图可知该几何体是底面为等腰梯形的放倒的一个直四棱柱，如图，所以该四棱柱的表面积
．
39．D【解析】选项A正确，∵平面，而在平面内，所以．因为为正方形，所以，而与相交，所以平面，所以；选项B正确，因为，而在平面内，不在平面内，所以平面；选项C正确，设与的交点为，连结，则与平面所成的角，与平面所成的角，易知这两个角相等；选项D错误，与所成的角等于，而与所成的角等于，易知这两个角不相等．
40．C【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和．.
41．B【解析】该几何体上半部是底面边长为4cm，高为2cm，的正四棱柱，其体积为；下半部分是上、下底面边长分别为4cm，8cm，高为2cm的正四棱台，其体积为，故其总体积为．
42．【解析】连接，，，，，因为，分别为，的中点，所以∥，，因为，分别为，的中点，
所以∥，，所以，，所以四边形为平行四边形，又，，所以四边形为正方形，又点到平面的距离为，所以四棱锥的体积为．
43．【解析】正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正八面体的所有棱长都是，则该正八面体的体积为．
44．【解析】如图连接交于，由题意，设等边三角形的边长为（），则，．
由题意可知三棱锥的高
底面，
三棱锥的体积为，
设，则（），
令，解得，当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以是取得最大值
所以．
45．【解析】设正方体边长为，由，得，
外接球直径为，．
46．【解析】由三视图可知,长方体的长、宽、高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆半径为1，所以．
47．【解析】设球的半径为，则．
48．2【解析】根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为2m，高为1m的平行四边形，四棱锥的高为3m，故其体积为()．
49．【解析】由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为，高为的圆柱，两端是底面半径为，高为的圆锥，所以该几何体的体积
．
50．12【解析】由题意知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为，
则，解得，底面正六边形的中心到其边的距离为，故侧面等腰三角形底边上的高为，该六棱锥的侧面积为．
51．【解析】由题意可知直观图如图所示，结合三视图有平面，，
，，所以，
，∴三棱锥最长棱的棱长为．
52．【解析】设甲、乙两个圆柱的底面半径分别是，母线长分别是．
则由，可得．又两个圆柱的侧面积相等，即，
则，所以．
53．【解析】设正方体的棱长为，则正方体的体对角线为直径，即，即球半径．若球的体积为，即，解得．
54．1：24【解析】三棱锥与三棱锥的 相似比为1：2，
故体积之比为1：8．又因三棱锥与三棱柱的体积之比
为1：3．所以，三棱锥与三棱柱的体积之比为1：24．
另：，所以．
55．38【解析】由三视图知，此几何体为一个长为4，宽为3，高为1的长方体中心，去除一个半径为1的圆柱，所以表面积为．
56．【解析】该几何体是底面是直角梯形，高为的直四棱柱几何体的表面积是
．
57．【解析】，答案应填．
58．【解析】由圆锥底面面积是这个球面面积的，得，所以，则小圆锥的高为，大圆锥的高为，所以比值为．
59．【解析】（Ⅰ）证明：平面∴平面平面，
平面平面，平面，，
∴平面，
，∴．
（Ⅱ）
，
60．【解析】（Ⅰ）由已知得，因此，又为的中点，；同理；因此平面,又,∴平面BCG．
（Ⅱ）在平面内，做，交的延长线于，由平面平面，知平面，又为的中点，因此到平面的距离是的一半，在中，，所以．
61．【解析】（Ⅰ）连结，交于点O，连结DO，则O为的中点，因为D为AB的中点，所以OD∥，又因为OD平面，平面，
所以 //平面；
（Ⅱ）由题意知 平面．
再由，得
，，，，．
故，即
所以．
62．【解析】
（Ⅰ）证明：连接AC，交于BD于点，连接PO．因为底面ABCD是菱形，所以，由知，．再由知，
面，因此．
（Ⅱ）解：因为E是PA的中点，所以
由知，
因为,
所以.
又.
故.
由（1）知，．
63．【解析】（1）由已知可得AE=3，BF=4，则折叠完后EG=3，GF=4，又因为EF=5，所以可得，又因为,可得，即所以平面DEG平面CFG.
（2）过G作GO垂直于EF，GO 即为四棱锥G-EFCD的高，
所以所求体积为．
64．【解析】（I）由条件知PDAQ为直角梯形因为QA平面ABCD，所以平面PDAQ平面ABCD，交线为AD．
又四边形ABCD为正方形，DCAD，所以DC平面PDAQ，可得PQDC．
在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，则PQQD
所以PQ平面DCQ.
（II）设AB=a.
由题设知AQ为棱锥Q—ABCD的高，所以棱锥Q—ABCD的体积
由（I）知PQ为棱锥P—DCQ的高，而PQ=，△DCQ的面积为，
所以棱锥P—DCQ的体积为
故棱锥Q—ABCD的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值为1．