安徽省芜湖市无为市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份安徽省芜湖市无为市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各式计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列因式分解结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，在与中，已知，添加一个条件，不能使得的是（ ）
A．B．
C．D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．如果两个三角形全等，则它们必是关于某条直线成轴对称的图形
B．如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形
C．等腰三角形是轴对称的图形，底边上的高是它的对称轴
D．一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形
7．如图，在中，，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
8．因式分解，其中m、n都为整数，则m的值是（ ）
A．B．C．D．4
9．新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱.各种品牌相继投放市场.一汽贸公司经销某品牌新能源汽车.去年销售总额为5000万元，今年1~5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元.销售数量与去年一整年的相同.销售总额比去年一整年的少20%，今年1~5月份每辆车的销售价格是多少万元?设今年1~5月份每辆车的销售价格为x万元.根据题意，列方程正确的是( )
A．B．
C．D．
10．在等边三角形ABC所在的平面内存在点P，使∠PAB、∠PBC、∠PAC都是等腰三角形.请指出具有这种性质的点P的个数（ ）
A．1B．7C．10D．15
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．分解因式：= .
12．纳米（nm）是非常小的长度单位，，某种流感病毒的直径约80nm，“80nm”用科学记数法表示为 m．
13．若等腰三角形其中两个内角的和为，则此等腰三角形的顶角度数为 ．
14．已知，，，，，，…当为大于1的奇数时，；当n为大于1的偶数时，．
（1） ；（用含a的代数式表示）
（2） ．（用含a的代数式表示）
三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：．
16．先化简：，再选一个合适的x值代入求值．
四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．“油纸伞”是汉族古老的传统工艺品之一（如图①），其制作工艺十分巧妙．如图②，伞圈D沿着伞柄滑动时，总有伞骨，．问：伞柄是否始终平分同一平面内两条伞骨所成的？请说明理由．
18．小王家距上班地点18千米，他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米．他从家出发到达上班地点，乘公交方式所用时间是自驾方式所用时间的．小王用自驾方式上班平均每小时行驶多少千米？
五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，在中，，点在内，，，点在外，，．
(1)求的度数；
(2)求证：．
20．如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A的坐标是，B点坐标是，C点坐标是．
(1)作关于y轴对称的图形，其中A、B、C的对应点分别为D、E、F；
(2)动点P的坐标为，当t为何值时，的值最小，并画出点P；
(3)在（1）的条件下，点Q为网格格点，当为等腰三角形，请直接写出Q点的坐标．（写出4个即可）
六、（本题满分12分）
21．如图，中，，，请解决以下问题：
(1)作出边的垂直平分线，分别交边、于点E、F，交的延长线于点D（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹）；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
七、（本题满分12分）
22．两个边长分别为和的正方形如图放置（图），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．
(1)用含、的代数式分别表示、；
(2)若，，求的值；
(3)当时，求出图中阴影部分的面积．
八、（本题满分14分）
23．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：CD=BF；
（2）求证：AD⊥CF；
（3）连接AF，试判断△ACF的形状．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．D
【分析】本题考查了整式的运算，涉及同底数相乘，同底数相除，积的乘方以及单项式乘以多项式，熟练掌握相关运算法则、正确计算是解题的关键．
【详解】解：A、，原计算错误，故该选项不符合题意；
B、，原计算错误，故该选项不符合题意；
C、，原计算错误，故该选项不符合题意；
D、，原计算正确，故该选项符合题意；
故选：D．
3．B
【分析】本题主要考查了分解因式的知识，熟知分解因式的方法是解题的关键．根据因式分解的概念，利用提公因式法、公式法等，逐项分析判断即可．
【详解】解：A. ，故本选项不正确，不符合题意；
B. ，本选项正确，符合题意；
C. ，故本选项不正确，不符合题意；
D. ，不能再分解，故本选项不正确，不符合题意．
故选：B
4．D
【分析】本题考查的是分式的加减法，涉及到幂的乘方与积的乘方法则、零指数幂的运算法则，熟知以上知识是解题的关键；
分别根据分式的加减法则、幂的乘方与积的乘方法则、零指数幂的运算法则对各选项进行逐一计算即可．
【详解】A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，符合题意．
故选：D．
5．D
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定．根据直角三角形的判定方法对各选项进行判断．
【详解】解：∵，
∴A.当添加时，可根据“”判定；
B. 当添加时，可根据“”判定；
C.当添加时，可根据“”判定．
D. 当添加时，无法判定．
故选：D．
6．B
【分析】本题主要考查了轴对称的性质、对称轴，根据如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形，但是两个三角形全等，它们不一定是关于直线成轴对称，即可判断A、B，根据对称轴是直线即可判断C，根据线段的对称轴是它的中垂线即可判断D，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：A、如果两个三角形全等，它们不一定是关于某条直线成轴对称的图形，故原说法错误，不符合题意；
B、如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形，故原说法正确，符合题意；
C、等腰三角形是轴对称的图形，底边上的高所在直线是它的对称轴，故原说法错误，不符合题意；
D、一条线段是关于经过该线段中点的垂线成轴对称的图形，故原说法错误，不符合题意；
故选：B．
7．A
【分析】本题考查了翻折，三角形的外角，根据翻折得，根据三角形的外角得，，可得，即可得；掌握翻折，三角形的外角是解题的关键．
【详解】解：如图所示，直线m交于点F，交于点E，
∵在中，，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，
∴，
∵，，
∴
∴，
故选：A．
8．C
【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系，根据多项式乘法把等式右边展开得到，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
9．A
【分析】首先根据所设今年每辆车的价格，可表示出去年的价格，同样根据销售总额的关系可表示出今年的销售总额，然后再根据去年和今年1~5月份销售汽车的数量相同建立方程即可得解.
【详解】∵今年1~5月份每辆车的销售价格为x万元，
∴去年每辆车的销售价格为（x+1）万元，
则有
故选A.
【点睛】此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是找出题中去年和今年的关系.
10．C
【详解】分析：本题利用了等边三角形是轴对称图形，三条高所在的直线也是对称轴，也是边的中垂线．
解：
（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC、CA的垂直平分线的交点，是三角形的外心；
（2）分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的．每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个．故具有这种性质的点P共有10个．
故选C．
11．
【分析】先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可．
【详解】．
故答案为：
12．
【分析】本题考查了科学记数法，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负数指数幂，指数是由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，正确用指数表示出来是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
13．或
【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键；由题意可分当这两个内角都为底角时和这两个内角为该等腰三角形的一个顶角和一个底角时，然后分类求解即可．
【详解】解：由题意可分：①当这两个内角都为底角时，则该等腰三角形的顶角为；
②当这两个内角为该等腰三角形的一个顶角和一个底角时，则该等腰三角形的底角为，所以该等腰三角形的顶角为；
故答案为：或．
14．
【分析】本题主要考查了数字类变化规律、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律．
（1）根据题目中的材料，可以计算出的值；
（2）根据题目中的材料，可以计算出前几项的值，发现数据的变化规律，即可得出答案．
【详解】解：（1），
，
，
故答案为：；
（2），
，
，
，
，
，
，
…，
每个一循环，
，
，
故答案为：．
15．
【分析】直接利用平方差公式以及完全平方公式去括号，进而合并同类项得出答案即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式和整式的混合运算，熟练掌握平方差公式以及完全平方公式是解题的关键．
16．，时值为
【分析】本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件，括号内先通分，再计算分式的乘法，最后计算分式的减法，根据分式有意义的条件得出且，最后代入一个合适的值进行计算即可，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
，
∵且，
∴且，
当时，原式．
17．始终平分．理由见解析
【分析】只需要利用证明得到即可得到结论．
【详解】解：始终平分．理由如下：
在和中，
，
∴．
∴．
∴平分．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．
18．27千米
【分析】本题考查了分式方程的应用，设小王用自驾方式上班平均每小时行驶千米，则小王乘公交车上班平均每小时行驶千米，根据“乘公交方式所用时间是自驾方式所用时间的”列出分式方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键．
【详解】解：设小王用自驾方式上班平均每小时行驶千米，则小王乘公交车上班平均每小时行驶千米，
由题意得：，
解得：，
经检验是原分式方程的解且符合实际，
答：小王用自驾方式上班平均每小时行驶27千米．
19．(1)
(2)见解析
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）证明是等边三角形，得出，，证明得出，再由进行计算即可得出答案；
（2）证明即可得出．
【详解】（1）解：∵，，
是等边三角形，
∴，，
在与中，
，
，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，即，
由（1）可知，
在和中，
，
，
∴．
20．(1)见解析
(2)，图见解析
(3)，，，，，，，，，
【分析】本题考查作图-轴对称变换，等腰三角形的性质，轴对称最短问题等知识．
（1）分别作出A，B，C的对应点D，E，F即可．
（2）连接交y轴于点P，连接，点P即为所求作．求出直线的直线解析式，令，得，从而得t的值；
（3）根据等腰直角三角形的判定画出图形即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求作．
（2）解：如图，连接交y轴于点P，连接，点P即为所求作．
∵C点坐标是，
∴点C关于y轴的对称点F的坐标为
设直线的直线解析式为，
把，代入得，
，
解得，，
∴直线的直线解析式为，
令，得，
所以，当时，的值最小；
（3）解：满足条件的点Q的坐标为，，，，，，，，，．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了尺规作图和垂直平分线的性质，角平分线性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键；
（1）先作线段的垂直平分线，再延长即可；
（2）根据角平分线的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（3）连接，根据垂直平分线的性质得，，根据角平分线性质得，在中，，得出，即可求出答案，
【详解】（1）如图，直线即为所求，
（2）证明：，，
，
由作图可知，，且，
，，
是公共角，
，
．
（3）连接，
，，
，
又垂直平分，，
，，
，，
平分，
，
在中，，
，
．
22．(1)，
(2)31
(3)
【分析】（1）根据正方形的面积之间的关系可知，=大正方形的面积-小正方形的面积、=两个小正方形的面积和-长为a，宽为b的长方形的面积；
（2）根据，将，代入进行计算即可；
（3）根据，，即可得到阴影部分的面积．
【详解】（1）解：由图可得，，；
（2）解：，
，，
；
（3）解：由图可得，，
，
．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，解决问题的关键是根据图形之间的面积关系进行推导计算．
23．（1）见解析；（2）见解析；（3）△ACF为等腰三角形
【分析】（1）由平行可求得∠CBF=90°，再结合等腰三角形的判定和性质可求得BF=BD，可得BF=CD；
（2）结合（1）的结论，可证明△ACD≌△CBF，可得∠DCG=∠CAD，可证明∠CGD=90°，可得结论；
（3）由（2）可得CF=AD，又AB垂直平分DF，可得AD=AF，可证明CF=AF，可知△ACF为等腰三角形．
【详解】（1）证明：
∵AC∥BF，且∠ACB=90°，
∴∠CBF=90°，
又AC=BC，
∴∠DBA=45°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=∠BEF=∠DBF=90°，
∴∠BDE=∠BFE=45°，
∴BD=BF，
又D为BC中点，
∴CD=BD，
∴CD=BF；
（2）证明：由（1）可知CD=BF，
且CA=CB，∠ACB=∠CBF=90°，
在△ACD和△CBF中
∴△ACD≌△CFB（SAS），
∴∠CAD=∠BCF，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠CDA=90°，
∴∠BCF+∠CDA=90°，
∴∠CGD=90°，
∴AD⊥CF；
（3）解：
由（2）可知△ACD≌△CBF，
∴AD=CF，
由（1）可知AB垂直平分DF，
∴AD=AF，
∴AF=CF，
∴△ACF为等腰三角形．