2023-2024学年安徽省芜湖市无为市八年级（上）期末数学试卷(含解析)

这是一份2023-2024学年安徽省芜湖市无为市八年级（上）期末数学试卷(含解析)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．在如图绿色食品、节能、回收、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列各式计算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x6B．（﹣2x2）3＝﹣6x6
C．x2（x﹣1）＝x3﹣1D．a4÷a3＝a
3．下列因式分解结果正确的是（ ）
A．﹣x2+4x＝﹣x（x+4）
B．x2y﹣2xy＝xy（x﹣2）
C．4x2﹣y2＝（4x+y）（4x﹣y）
D．x2﹣2x+4＝（x﹣2）2
4．下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，添加一个条件，不能使得Rt△ABC≌Rt△DCB的是（ ）
A．AB＝DCB．AC＝DBC．∠ABC＝∠DCBD．CD＝BD
6．下列说法正确的是（ ）
A．如果两个三角形全等，则它们必是关于某条直线成轴对称的图形
B．如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形
C．等腰三角形是轴对称的图形，底边上的高是它的对称轴
D．一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形
7．如图，在△ABC中，∠B＝32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（ ）
A．32°B．45°C．60°D．64°
8．因式分解x2+mx﹣12＝（x+2）（x+n），其中m、n都为整数，则m的值是（ ）
A．﹣6B．﹣5C．﹣4D．4
9．十四个五年规划的“碳中和”提出后，新能源汽车更受消费者青睐，各种品牌相继投放市场．某汽贸公司经销某品牌新能源汽车，去年销售总额为5000万元，今年1～3月份每辆车的销售价格比去年降低1万元，销售数量与去年一整年的相同，销售总额比去年一整年的少20%，今年1﹣3月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年1﹣3月份每辆车的销售价格为x万元．根据题意，列方程正确的是（ ）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
10．在等边三角形ABC所在的平面内存在点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．请指出具有这种性质的点P的个数（ ）
A．1B．7C．10D．15
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．分解因式：x3﹣9x＝ ．
12．纳米（nm）是非常小的长度单位，1nm＝10﹣9m，某种流感病毒的直径约80nm，“80nm”用科学记数法表示为 m．
13．若等腰三角形其中两个内角的和为130°，则此等腰三角形的顶角度数为 ．
14．已知a＞0，，S2＝﹣S1﹣1，，S4＝﹣S3﹣1，，…当n为大于1的奇数时，；当n为大于1的偶数时，Sn＝﹣Sn﹣1﹣1．
（1）S3＝ ；（用含a的代数式表示）
（2）S2024＝ ．（用含a的代数式表示）
三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：（y+x）（x﹣y）﹣（x+y）2．
16．先化简，再选取一个合适的数代入求值．
四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．“油纸伞”是汉族古老的传统工艺品之一（如图1），其制作工艺十分巧妙．如图2，伞圈D沿着伞柄AP滑动时，总有伞骨AB＝AC，BD＝CD．问：伞柄AP是否始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC？请说明理由.
18．小王家距上班地点18千米，他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米．他从家出发到达上班地点，乘公交方式所用时间是自驾方式所用时间的．小王用自驾方式上班平均每小时行驶多少千米？
五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，BD＝BC，∠DBC＝60°，点E在△ABC外，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求证：AB＝BE．
20．如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A的坐标是（﹣1，0），B点坐标是（﹣3，1），C点坐标是（﹣2，3）．
（1）作△ABC关于y轴对称的图形△DEF，其中A、B、C的对应点分别为D、E、F；
（2）动点P的坐标为（0，t），当t为何值时，PA+PC的值最小，并画出点P；
（3）在（1）的条件下，点Q为网格格点，当△QDE为等腰三角形，请直接写出Q点的坐标．
六、（本题满分12分）
21．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，请解决以下问题：
（1）作出边AB的垂直平分线，分别交边AB、AC于点E、F，交BC的延长线于点D；（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹）
（2）求证：AC＝DE；
（3）若CF＝1，求DE的长．
七、（本题满分12分）
22．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a、b的代数式分别表示S1、S2；
（2）若a+b＝10，ab＝23，求S1+S2的值；
（3）当S1+S2＝29时，求出图3中阴影部分的面积S3．
八、（本题满分14分）
23．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：CD＝BF；
（2）求证：AD⊥CF；
（3）连接AF，试判断△ACF的形状．
参考答案
一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．在如图绿色食品、节能、回收、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判定．
解：A、B、C中的图形都不是轴对称图形，故A、B、C不符合题意；
D中的图形是轴对称图形，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
2．下列各式计算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x6B．（﹣2x2）3＝﹣6x6
C．x2（x﹣1）＝x3﹣1D．a4÷a3＝a
【分析】用同底数相乘，同底数相除，积的乘方以及单项式乘以多项式的相关知识进行判断即可．
解：A、x2⋅x3＝x2+3＝x5，原计算错误，故该选项不符合题意；
B、（﹣2x2）3＝（﹣2）3×（x2）3＝﹣8x2×3＝﹣8x6，原计算错误，故该选项不符合题意；
C、x2（x﹣1）＝x3﹣x2，原计算错误，故该选项不符合题意；
D、a4÷a3＝a4﹣3＝a，原计算正确，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了整式的运算，涉及同底数相乘，同底数相除，积的乘方以及单项式乘以多项式，熟练掌握相关运算法则、正确计算是解题的关键．
3．下列因式分解结果正确的是（ ）
A．﹣x2+4x＝﹣x（x+4）
B．x2y﹣2xy＝xy（x﹣2）
C．4x2﹣y2＝（4x+y）（4x﹣y）
D．x2﹣2x+4＝（x﹣2）2
【分析】根据因式分解的概念，利用提公因式法、公式法等，逐项分析判断即可．
解：A．﹣x2+4x＝﹣x（x﹣4），原计算错误，不符合题意；
B．x2y﹣2xy＝xy（x﹣2），正确，符合题意；
C．4x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y），原计算错误，不符合题意；
D．x2﹣2x+4，不能再分解，原计算错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是因式分解，熟知分解因式的方法是解题的关键．
4．下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别根据分式的加减法则、幂的乘方与积的乘方法则、零指数幂的运算法则对各选项进行逐一计算即可．
解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是分式的加减法，零指数幂的运算，掌握分式的加减法法则和零指数幂的运算法则是解题的关键．
5．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，添加一个条件，不能使得Rt△ABC≌Rt△DCB的是（ ）
A．AB＝DCB．AC＝DBC．∠ABC＝∠DCBD．CD＝BD
【分析】根据直角三角形的判定方法对各选项进行判断．
解：∵∠A＝∠D＝90°，BC＝CB，
∴A．当添加AB＝CD时，可根据“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DCB，不符合题意；
B．当添加AC＝DB时，可根据“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DCB，不符合题意；
C．当添加∠ABC＝∠DCB时，可根据“AAS”判定Rt△ABC≌Rt△DCB，不符合题意；
D．当添加CD＝BD时，无法判定Rt△ABC≌Rt△DCB，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，熟知全等三角形的判定定理及HL定理是解题的关键．
6．下列说法正确的是（ ）
A．如果两个三角形全等，则它们必是关于某条直线成轴对称的图形
B．如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形
C．等腰三角形是轴对称的图形，底边上的高是它的对称轴
D．一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形
【分析】根据如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形，但是两个三角形全等，它们不一定是关于直线成轴对称，即可判断A、B，根据对称轴是直线即可判断C，根据线段的对称轴是它的中垂线即可判断D，
解：A、如果两个三角形全等，它们不一定是关于某条直线成轴对称的图形，故原说法错误，不符合题意；
B、如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形，故原说法正确，符合题意；
C、等腰三角形是轴对称的图形，底边上的高所在直线是它的对称轴，故原说法错误，不符合题意；
D、一条线段是关于经过该线段中点的垂线成轴对称的图形，故原说法错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质、对称轴，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
7．如图，在△ABC中，∠B＝32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（ ）
A．32°B．45°C．60°D．64°
【分析】由折叠的性质得到∠D＝∠B＝32°，再利用外角性质即可求出所求角的度数．
解：如图所示：
由折叠的性质得：∠D＝∠B＝32°，
根据外角性质得：∠1＝∠3+∠B，∠3＝∠2+∠D，
∴∠1＝∠2+∠D+∠B＝∠2+2∠B＝∠2+64°，
∴∠1﹣∠2＝64°．
故选：D．
【点评】本题考查三角形内角和定理，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．因式分解x2+mx﹣12＝（x+2）（x+n），其中m、n都为整数，则m的值是（ ）
A．﹣6B．﹣5C．﹣4D．4
【分析】根据多项式乘法把等式右边展开得到m＝n+2，2n＝﹣12，据此可得答案．
解：∵x2+mx﹣12＝（x+2）（x+n），
∴x2+mx﹣12＝x2+2x+nx+2n，
∴x2+mx﹣12＝x2+（n+2）x+2n，
∴m＝n+2，2n＝﹣12，
∴m＝﹣4，n＝﹣6，
故选：C．
【点评】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系，掌握因式分解的定义是关键．
9．十四个五年规划的“碳中和”提出后，新能源汽车更受消费者青睐，各种品牌相继投放市场．某汽贸公司经销某品牌新能源汽车，去年销售总额为5000万元，今年1～3月份每辆车的销售价格比去年降低1万元，销售数量与去年一整年的相同，销售总额比去年一整年的少20%，今年1﹣3月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年1﹣3月份每辆车的销售价格为x万元．根据题意，列方程正确的是（ ）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
【分析】设今年1﹣3月份每辆车的销售价格为x万元，则去年的销售价格为（x+1）万元/辆，根据“销售数量与去年一整年的相同”可列方程．
解：设今年1﹣3月份每辆车的销售价格为x万元，则去年的销售价格为（x+1）万元/辆，
根据题意，得：＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意，确定相等关系．
10．在等边三角形ABC所在的平面内存在点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．请指出具有这种性质的点P的个数（ ）
A．1B．7C．10D．15
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作边AB的垂直平分线，在以顶点A、C为圆心，以边长为半径画弧，与垂直平分线相交于3个点，同理可得边BC、AC上也分别有3个点，再加上等边三角形的外心，计算即可求出．
解：如图，等边三角形AB边的垂直平分线上可作3个点P，
同理：AC、BC上也分别有3个点，另外，△ABC的外心也是满足条件的一个点，
所以，共有3+3+3+1＝10个．
故选：C．
【点评】本题主要考查等腰三角形和等边三角形的性质，要注意一边的垂直平分线上在三角形的外部有3个点，最后不要漏掉了三角形的外心．
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．分解因式：x3﹣9x＝ x（x+3）（x﹣3） ．
【分析】根据提取公因式、平方差公式，可分解因式．
解：原式＝x（x2﹣9）
＝x（x+3）（x﹣3），
故答案为：x（x+3）（x﹣3）．
【点评】本题考查了因式分解，利用了提公因式法与平方差公式，注意分解要彻底．
12．纳米（nm）是非常小的长度单位，1nm＝10﹣9m，某种流感病毒的直径约80nm，“80nm”用科学记数法表示为 8×10﹣8 m．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数是由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：∵1nm＝10﹣9m，
∴80nm＝80×10﹣9m＝8×10﹣8m，
故答案为：8×10﹣8．
【点评】本题考查了科学记数法，掌握形式为a×10﹣n是解题的关键．
13．若等腰三角形其中两个内角的和为130°，则此等腰三角形的顶角度数为 50°或80° ．
【分析】由题意可分当这两个内角都为底角时和这两个内角为该等腰三角形的一个顶角和一个底角时，然后分类求解即可．
解：由题意可分：①当这两个内角都为底角时，则该等腰三角形的顶角为180°﹣130°＝50°；
②当这两个内角为该等腰三角形的一个顶角和一个底角时，则该等腰三角形的底角为180°﹣130°＝50°，所以该等腰三角形的顶角为130°﹣50°＝80°；
故答案为：50°或80°．
【点评】本题主要考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键．
14．已知a＞0，，S2＝﹣S1﹣1，，S4＝﹣S3﹣1，，…当n为大于1的奇数时，；当n为大于1的偶数时，Sn＝﹣Sn﹣1﹣1．
（1）S3＝ ；（用含a的代数式表示）
（2）S2024＝ ．（用含a的代数式表示）
【分析】（1）根据题目中的材料，可以计算出S3的值；
（2）根据题目中的材料，可以计算出前几项的值，发现数据的变化规律，即可得出答案．
解：（1）∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
，
，
，
S6＝﹣S5﹣1＝（a+1）﹣1＝a，
，
…，
∴每6个一循环，
∵2024÷6＝337…2，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了数字类变化规律、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律．
三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：（y+x）（x﹣y）﹣（x+y）2．
【分析】直接用平方差公式和完全平方公式计算．
解：原式＝x2﹣y2﹣（x2+2xy+y2）
＝x2﹣y2﹣x2﹣2xy﹣y2
＝﹣2y2﹣2xy．
【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练应用平方差公式和完全平方公式是解题关键．
16．先化简，再选取一个合适的数代入求值．
【分析】先计算乘法及括号内的加减法，再化简，最后代入x＝0即可．
解：原式＝＝＝，
其中x≠±1和3，
∴当x＝0时，原式＝﹣1．
【点评】此题考查了分式的化简求值，正确掌握分式混合运算法则及分式有意义的条件是解题的关键．
四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．“油纸伞”是汉族古老的传统工艺品之一（如图1），其制作工艺十分巧妙．如图2，伞圈D沿着伞柄AP滑动时，总有伞骨AB＝AC，BD＝CD．问：伞柄AP是否始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC？请说明理由.
【分析】理由SSS公理证明△ABD≌△ACD，根据全等三角形的性质证明结论．
解：AP平分∠BAC，
理由如下：在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD，
∴AP平分∠BAC．
【点评】本题考查的是三角形全等的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
18．小王家距上班地点18千米，他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米．他从家出发到达上班地点，乘公交方式所用时间是自驾方式所用时间的．小王用自驾方式上班平均每小时行驶多少千米？
【分析】设小王用自驾方式上班平均每小时行驶x千米，则小王乘公交车上班平均每小时行驶（2x+9）千米，根据“乘公交方式所用时间是自驾方式所用时间的”列出分式方程，解方程即可得出答案．
解：设小王用自驾方式上班平均每小时行驶x千米，则小王乘公交车上班平均每小时行驶（2x+9）千米，
由题意得：，
解得：x＝27，
经检验x＝27是原分式方程的解且符合实际，
答：小王用自驾方式上班平均每小时行驶27千米．
【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键．
五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，BD＝BC，∠DBC＝60°，点E在△ABC外，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求证：AB＝BE．
【分析】（1）证明△BCD是等边三角形，得出∠BDC＝60°，BD＝CD，证明△ABD≌△ACD（SSS）得出∠ADB＝∠ADC，再由进行计算即可得出答案；
（2）证明△ABD≌△EBC（ASA）即可得出AB＝BE．
【解答】（1）解：∵BD＝BC，∠DBC＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BDC＝60°，BD＝CD，
在△ABD与△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠ADB＝∠ADC，
∴；
（2）证明：∵∠ABE＝∠DBC＝60°，
∴∠ABE﹣∠DBE＝∠DBC﹣DBE，即∠ABD＝∠CBE，
由（1）可知∠ADB＝∠BCE，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC（ASA），
∴AB＝BE．
【点评】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
20．如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A的坐标是（﹣1，0），B点坐标是（﹣3，1），C点坐标是（﹣2，3）．
（1）作△ABC关于y轴对称的图形△DEF，其中A、B、C的对应点分别为D、E、F；
（2）动点P的坐标为（0，t），当t为何值时，PA+PC的值最小，并画出点P；
（3）在（1）的条件下，点Q为网格格点，当△QDE为等腰三角形，请直接写出Q点的坐标．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点D，E，F即可．
（2）连接CD交y轴于点P，连接PC，点P即为所求作．
（3）根据等腰直角三角形的判定画出图形即可．
解：（1）如图，△DEF即为所求作．
（2）如图，点P即为所求作．
（3）满足条件的点Q的坐标为（﹣1，1）或（0，2）或（0，﹣2）或（1，2）或（2，2）或（2，3）或（4，3）或（4，﹣1）或（5，0）或（3，﹣1）或（2，﹣1）或（，﹣2）或（2，﹣2）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，等腰三角形的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
六、（本题满分12分）
21．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，请解决以下问题：
（1）作出边AB的垂直平分线，分别交边AB、AC于点E、F，交BC的延长线于点D；（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹）
（2）求证：AC＝DE；
（3）若CF＝1，求DE的长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可．
（2）结合已知条件证明△ABC≌△DBE，即可得AC＝DE．
（3）连接BF，由线段垂直平分线的性质可得AF＝BF，则∠ABF＝∠A＝30°，进而可得∠CBF＝∠ABF＝30°，则BF平分∠ABC，根据角平分线的性质可得EF＝CF＝1．由含30度角的直角三角形的性质可得DF＝2CF＝2，根据DE＝DF+EF可得答案．
【解答】（1）解：如图，直线EF即为所求．
（2）证明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴．
由作图可知，DE⊥AB，且，
∴∠ACB＝∠DEB＝90°，BC＝BE，
∵∠ABC＝∠DBE，
∴△ABC≌△DBE（ASA），
∴AC＝DE．
（3）解：连接BF，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵EF垂直平分AB，
∴AF＝BF，
∴∠ABF＝∠A＝30°，
∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝30°，
∴∠CBF＝∠ABF，
即BF平分∠ABC，
∴EF＝CF＝1．
由（2）知，△ABC≌△DBE，
∴∠BDE＝∠A＝30°．
在Rt△DFC中，∠BDE＝30°，
∴DF＝2CF＝2，
∴DE＝DF+EF＝3．
【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、含30度角的直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
七、（本题满分12分）
22．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a、b的代数式分别表示S1、S2；
（2）若a+b＝10，ab＝23，求S1+S2的值；
（3）当S1+S2＝29时，求出图3中阴影部分的面积S3．
【分析】（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含a、b的代数式分别表示S1、S2；
（2）根据S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab，将a+b＝10，ab＝23代入进行计算即可；
（3）根据S3＝（a2+b2﹣ab），S1+S2＝a2+b2﹣ab＝29，即可得到阴影部分的面积S3．
解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2，S2＝2b2﹣ab；
（2）S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab，
∵a+b＝10，ab＝23，
∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣3×23＝31；
（3）由图可得，S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2＝（a2+b2﹣ab），
∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝29，
∴S3＝×29＝．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，解决问题的关键是根据图形之间的面积关系进行推导计算．
八、（本题满分14分）
23．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：CD＝BF；
（2）求证：AD⊥CF；
（3）连接AF，试判断△ACF的形状．
【分析】（1）由平行可求得∠CBF＝90°，再结合等腰三角形的判定和性质可求得BF＝BD，可得BF＝CD；
（2）结合（1）的结论，可证明△ACD≌△CBF，可得∠DCG＝∠CAD，可证明∠CGD＝90°，可得结论；
（3）由（2）可得CF＝AD，又AB垂直平分DF，可得AD＝AF，可证明CF＝AF，可知△ACF为等腰三角形．
【解答】（1）证明：
∵AC∥BF，且∠ACB＝90°，
∴∠CBF＝90°，
又AC＝BC，
∴∠DBA＝45°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝∠BEF＝∠DBF＝90°，
∴∠BDE＝∠BFE＝45°，
∴BD＝BF，
又D为BC中点，
∴CD＝BD，
∴CD＝BF；
（2）证明：
由（1）可知CD＝BF，且CA＝CB，∠ACB＝∠CBF＝90°，
在△ACD和△CBF中
∴△ACD≌△CBF（SAS），
∴∠CAD＝∠BCF，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠CDA＝90°，
∴∠BCF+∠CDA＝90°，
∴∠CGD＝90°，
∴AD⊥CF；
（3）解：连接AF．
由（2）可知△ACD≌△CBF，
∴AD＝CF，
由（1）可知AB垂直平分DF，
∴AD＝AF，
∴AF＝CF，
∴△ACF为等腰三角形．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和性质（全等三角形的对应边、对应角相等）是解题的关键．