2023-2024学年江西省南昌二十八中教育集团九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省南昌二十八中教育集团九年级（上）期末数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列事件为随机事件的是（ ）
A．负数大于正数
B．三角形内角和等于180°
C．明天太阳从东方升起
D．购买一张彩票，中奖
2．垃圾分类一小步，低碳生活一大步，垃圾桶上常有以下四种垃圾分类标识的图案和文字说明，其中图案是中心对称图形的是（ ）
A．有害垃圾B．厨余垃圾C．其它垃圾D．可回收物
3．下列各点中，在反比例函数图象上的点是（ ）
A．（1，6）B．（﹣6，﹣1）C．（6，1）D．（2，﹣3）
4．半径为5的四个圆按如图所示位置摆放，若其中有一个圆的圆心到直线l的距离为4，则这个圆可以是（ ）
A．⊙O1B．⊙O2C．⊙O3D．⊙O4
5．若M＝2x2﹣12x+15，N＝x2﹣8x+11，则M与N的大小关系为（ ）
A．M≥NB．M≤NC．M＝ND．不能确定
6．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线y＝2，与二次函数y＝x2，y＝ax2分别交于A、B和C、D，若CD＝2AB，则a为（ ）
A．4B．C．2D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）
7．在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于原点对称的点的坐标是 ．
8．点A（1，m），B（4，n）是抛物线y＝（x﹣2）2上的两点，则m n．（填＜，＞或＝）
9．一个不透明的袋中装有红、黄两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同，小旭通过多次摸球试验后，发现摸到黄球的频率稳定在0.35左右，则袋中红球可能有 个．
10．读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄．若设他去世时年龄的个位数为x，则根据题意可列出方程 ．
11．如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是 cm．
12．如图，点在函数的图象上，过点A作AB∥x轴，交y轴于点B，若点P在函数的图象上，且∠PBA＝45°，则点P的横坐标是 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共计30分）
13．解下列一元二次方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）（x﹣4）2＝10（x﹣4）．
14．为了更好的感受中考考法，精准备考，学生L和学生H两位同学，分别从2020、2021、2022、2023四年的浙江中考真题中选择一套完成，四套题分别记为A、B、C、D，若他们两人选择哪一套题相互不受影响，且选择每一套题的几率均等．
（1）他们都选择“2023”的概率为 ；
（2）请用列表或画树状图的方法，求两人都不选择“2023”的概率．
15．如图，在⊙O中，请仅用无刻度直尺作出A'B'，使得A'B'＝AB（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，已知AB是⊙O的一条弦；
（2）在图2中，已知点A在⊙O上，点B在⊙O外．
16．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．
（1）求该圆的半径；
（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？
17．将一副三角尺（∠C＝∠F＝90°，∠EDF＝∠E＝45°，∠A＝30°）进行放置，点D在AB边上，△ABC不动，将△DEF绕点D转动，使线段AC与DE相交，线段DF与BC相交．
（1）如图1，当DF∥AC时，∠1+∠2＝ °；
（2）如图2，当DF与AC不平行时，求∠1+∠2的度数．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共计24分）
18．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长
19．图中是抛物线拱桥，点P处有一照明灯，水面OA宽4m，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，已知点P的坐标为（3，）．
（1）求抛物线解析式；
（2）当水面上升1m，水面宽是多少？
20．如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，连接CD，使∠BCD＝∠A．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若∠ACD＝120°，CD＝2，求图中阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共计18分）
21．为了预防某种流感病毒，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围；
（2）当室内每立方米空气中的含药量达到1毫克及以上时才能起有效的消毒作请问本次消毒过程中，有效的消毒作用时长为多少小时？
（3）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.5毫克以下时，学生方可室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？
22．如图，抛物线过点O（0，0），E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设B（t，0），当t＝2时，BC＝4．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．
六、解答题（本大题共1小题，每小题12分，共计12分）
23．综合与实践
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
（1）发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系： ，∠BDC＝ °；
（2）类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系： ．
参考答案
一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）
1．下列事件为随机事件的是（ ）
A．负数大于正数
B．三角形内角和等于180°
C．明天太阳从东方升起
D．购买一张彩票，中奖
【分析】根据已知条件，结合必然事件、随机事件、随机事件的定义即可求解．
解：A．负数大于正数是不可能事件，不符合题意；
B．三角形内角和等于180°是必然事件，不符合题意；
C．明天太阳从东方升起是必然事件，不符合题意；
D．购买一张彩票，中奖是随机事件，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查必然事件、随机事件、随机事件的定义，属于基础题，理解相关概念是关键．
2．垃圾分类一小步，低碳生活一大步，垃圾桶上常有以下四种垃圾分类标识的图案和文字说明，其中图案是中心对称图形的是（ ）
A．有害垃圾B．厨余垃圾C．其它垃圾D．可回收物
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°后与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此判断即可．
解：A．是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．下列各点中，在反比例函数图象上的点是（ ）
A．（1，6）B．（﹣6，﹣1）C．（6，1）D．（2，﹣3）
【分析】将各选项坐标代入解析式可求解．
解：当x＝1时，y＝﹣6，故（1，6）不在反比例函数图象上；
当x＝﹣6时，y＝1，故（﹣6，﹣1）不在反比例函数图象上；
当x＝6时，y＝﹣1，故（6，1）不在反比例函数图象上；
当x＝2时，y＝﹣3，故（2，﹣3）在反比例函数图象上；
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握代入法是解题的关键．
4．半径为5的四个圆按如图所示位置摆放，若其中有一个圆的圆心到直线l的距离为4，则这个圆可以是（ ）
A．⊙O1B．⊙O2C．⊙O3D．⊙O4
【分析】根据直线与圆的位置关系解答即可．
解：∵⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4是四个半径为5的等圆，
∴圆心到直线l的距离为4是⊙O3，
故选：C．
【点评】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，解此题的关键是找出这个圆．
5．若M＝2x2﹣12x+15，N＝x2﹣8x+11，则M与N的大小关系为（ ）
A．M≥NB．M≤NC．M＝ND．不能确定
【分析】两个式子作差计算即可．
解：M﹣N＝2x2﹣12x+15﹣（x2﹣8x+11）
＝x2﹣4x+4
＝（x﹣2）2≥0，
∴M≥N，
故选：A．
【点评】本题考查了完全平方公式的应用和非负数的性质，解题时要注意配方的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值．
6．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线y＝2，与二次函数y＝x2，y＝ax2分别交于A、B和C、D，若CD＝2AB，则a为（ ）
A．4B．C．2D．
【分析】将y＝2分别代入y＝x2，y＝ax2求出AB，CD长度，根据CD＝2AB求解．
解：将y＝2代入y＝x2得2＝x2，
解得x1＝﹣，x2＝，
将y＝2代入y＝ax2得2＝ax2，
解得x3＝﹣，x4＝，
∴AB＝2，CD＝，
由题意得＝4，
解得a＝，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）
7．在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于原点对称的点的坐标是 （﹣2，1） ．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
解：点（2，﹣1）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，1），
故答案为：（﹣2，1）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
8．点A（1，m），B（4，n）是抛物线y＝（x﹣2）2上的两点，则m ＜ n．（填＜，＞或＝）
【分析】根据抛物线解析式得到开口向上，对称轴为直线x＝2，然后根据二次函数的对称性和增减性即可得到结论．
解：∵抛物线y＝（x﹣2）2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，
∵点A（1，m）关于对称轴的对称点为（3，m），且3＜4，
∴m＜n．
故答案为＜．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
9．一个不透明的袋中装有红、黄两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同，小旭通过多次摸球试验后，发现摸到黄球的频率稳定在0.35左右，则袋中红球可能有 26 个．
【分析】根据概率公式计算即可．
解：设袋子中黄球有x个，
根据题意，得：＝0.35，
解得：x＝14，
即布袋中黄球可能有14个，
红球的个数为40﹣14＝26（个），
故答案为：26．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
10．读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄．若设他去世时年龄的个位数为x，则根据题意可列出方程 x2＝10（x﹣3）+x ．
【分析】根据个位及十位数字间的关系，可得出他去世时年龄的十位数为x（x﹣3），结合个位数的平方等于他去世时的年龄，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：∵去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，他去世时年龄的个位数为x，
∴他去世时年龄的十位数为（x﹣3）．
根据题意得：x2＝10（x﹣3）+x．
故答案为：x2＝10（x﹣3）+x．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11．如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是 4 cm．
【分析】先利用弧长公式得到圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长＝4π，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为2，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高．
解：∵圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长＝＝4π，
∴圆锥的底面圆的周长为4π，
∴圆锥的底面圆的半径为2，
∴这个纸帽的高＝＝4（cm）．
故答案为4．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式和勾股定理．
12．如图，点在函数的图象上，过点A作AB∥x轴，交y轴于点B，若点P在函数的图象上，且∠PBA＝45°，则点P的横坐标是 1或2或 ．
【分析】先求出k的值，然后根据BD＝DP列式即可．
【解答】解过点P作PD⊥AB，垂足为D．
把点代入得：3＝，
∴k＝2，
∴y＝，
设P（x，），
∵AB∥x轴，
∴点D的横坐标与点P相同，都是x，
∴点D（x，3），
∵∠PAB＝45°，
∴∠APD＝∠PAB，
∴BD＝DP，
当点P在A的下方时，则有3﹣＝x
解得：x＝1或x＝2，
当点P在A的上方时，则有﹣3＝x，
解得：x＝或x＝（舍去），
经检验是原方程的解．
∴点P的横坐标是1或2或．
故答案为：1或2或．
【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的知识等，根据BD＝DP列出方程是解题的关键．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共计30分）
13．解下列一元二次方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）（x﹣4）2＝10（x﹣4）．
【分析】（1）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
x﹣5＝0或x+1＝0，
x1＝5，x2＝﹣1；
（2）（x﹣4）2＝10（x﹣4），
（x﹣4）2﹣10（x﹣4）＝0，
（x﹣4）（x﹣4﹣10）＝0，
x﹣4＝0或x﹣4﹣10＝0，
x1＝4，x2＝14．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
14．为了更好的感受中考考法，精准备考，学生L和学生H两位同学，分别从2020、2021、2022、2023四年的浙江中考真题中选择一套完成，四套题分别记为A、B、C、D，若他们两人选择哪一套题相互不受影响，且选择每一套题的几率均等．
（1）他们都选择“2023”的概率为 ；
（2）请用列表或画树状图的方法，求两人都不选择“2023”的概率．
【分析】（1）画树状图得出所有等可能的结果数以及他们都选择“2023”的结果数，再利用概率公式可得出答案；
（2）由树状图可得出所有等可能的结果数以及两人都不选择“2023”的结果数，再利用概率公式可得出答案；
解：（1）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中他们都选择D的结果有1种，
他们都选择“2023”的概率为，
故答案为：；
（2）由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们都不选择D的结果有9种，
∴两人都不选择“2023”的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
15．如图，在⊙O中，请仅用无刻度直尺作出A'B'，使得A'B'＝AB（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，已知AB是⊙O的一条弦；
（2）在图2中，已知点A在⊙O上，点B在⊙O外．
【分析】（1）根据圆的有关性质性质解全等三角形的性质作图；
（2）根据圆的有关性质性质解全等三角形的性质作图．
解：（1）如图1：A'B'即为所求；
（2）如图2：A'B'即为所求．
【点评】本题考查了复杂作图，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
16．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．
（1）求该圆的半径；
（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？
【分析】（1）作OD⊥AB于点E，根据垂径定理得AE＝3米，设圆的半径为r米，根据勾股定理得AE2+OE2＝OA2，即可求出答案；
（2）当AB＝8米时，AE＝4，根据勾股定理计算即可．
解：（1）如图，作OD⊥AB于点E，交圆于点D，
则AE＝AB＝3米，DE＝1米，
设圆的半径为r米，
在Rt△AOE中，AE2+OE2＝OA2，
∴32+（r﹣1）2＝r2，
解得r＝5，
∴该圆的半径为5米；
（2）如图，当AB＝8米时，AE＝AB＝4，
在Rt△AOE中，AE2+OE2＝OA2，
∴42+OE2＝52，
∴OE＝3米，
∴DE＝5﹣3＝2（米），
答：水面下盛水筒的最大深度为2米．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，垂径定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
17．将一副三角尺（∠C＝∠F＝90°，∠EDF＝∠E＝45°，∠A＝30°）进行放置，点D在AB边上，△ABC不动，将△DEF绕点D转动，使线段AC与DE相交，线段DF与BC相交．
（1）如图1，当DF∥AC时，∠1+∠2＝ 135 °；
（2）如图2，当DF与AC不平行时，求∠1+∠2的度数．
【分析】（1）由平行线的性质可得∠1＝∠EDF＝45°，∠2＝∠C＝90°，即可求解；
（2）由三角形内角和定理可得∠1+∠A+∠ADB+∠2+∠B+∠BDF＝360°，即可求解．
解：（1）∵DF∥AC，
∴∠1＝∠EDF＝45°，∠2＝∠C＝90°，
∴∠1+∠2＝45°+90°＝135°；
故答案为：135；
（2）∠1+∠2的度数不会变化，理由如下：
∵∠1+∠A+∠ADB＝180°，∠2+∠B+∠BDF＝180°，
∴∠1+∠A+∠ADB+∠2+∠B+∠BDF＝360°，
∴∠1+30°+∠ADE+∠2+60°+∠BDF＝360°，
∴∠1+∠2+∠ADE+∠BDF+90°＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣90°﹣（180°﹣45°）＝135°．
【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共计24分）
18．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长
【分析】（1）表示出方程根的判别式，判断其值大于等于0即可得证；
（2）分两种情况考虑：当b＝c时，求出方程的解，进而得到三角形周长；当a＝c或a＝b时，把x＝3代入方程求出k的值，进而求出周长即可．
【解答】（1）证明：∵关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0，
∴Δ＝（k+2）2﹣8k
＝k2+4k+4﹣8k
＝k2﹣4k+4
＝（k﹣2）2≥0，
则无论k取何实数值，方程总有实数根；
（2）解：当b＝c时，k＝2，方程为x2﹣4x+4＝0，
解得：x1＝x2＝2，
此时三边长为3，2，2，周长为3+2+2＝7；
当a＝b＝3或a＝c＝3时，把x＝3代入方程得：9﹣3（k+2）+2k＝0，
解得：k＝3，此时方程为：x2﹣5x+6＝0，
解得：x1＝2，x2＝3，
此时三边长为3，3，2，周长为3+3+2＝8，
综上所述，△ABC的周长为7或8．
【点评】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，三角形三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
19．图中是抛物线拱桥，点P处有一照明灯，水面OA宽4m，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，已知点P的坐标为（3，）．
（1）求抛物线解析式；
（2）当水面上升1m，水面宽是多少？
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）在所求函数解析式中求出y＝1时x的值即可得．
解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，
将点A（4，0）、P（3，）代入，得：
，
解得：，
所以抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x；
（2）当y＝1时，﹣x2+2x＝1，即x2﹣4x+2＝0，
解得：x＝2，
则水面的宽为2+﹣（2﹣）＝2（m）．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数的问题求解，并熟练掌握待定系数法求函数解析式．
20．如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，连接CD，使∠BCD＝∠A．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若∠ACD＝120°，CD＝2，求图中阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）．
【分析】（1）连接OC，由AB是直径，可得∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°，再证∠OCA＝∠A＝∠BCD，从而有∠BCD+∠OCB＝∠OCD＝90°，即可证明．
（2）由圆周角定理求得∠AOC＝2∠A＝60°，在Rt△OCD中，解直角三角形得OC＝2，然后利用三角形的面积公式和扇形的面积公式即可解答．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°，
∵OA＝OC，∠BCD＝∠A，
∴∠OCA＝∠A＝∠BCD，
∴∠BCD+∠OCB＝∠OCD＝90°，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线CD是⊙O的切线．
（2）解：∵∠ACD＝120°，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠BCD＝∠120°﹣90°＝30°，
∴∠BOC＝2∠A＝60°，
在Rt△OCD中，tan∠BOC＝＝tan60°，CD＝2，
∴，解得OC＝2，
∴阴影部分的面积＝S△OCD﹣S扇形BOC＝﹣＝2﹣．
【点评】本题主要考查圆周角定理，切线的判定，扇形的面积公式及解直角三角形，熟练掌握性质是解题关键．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共计18分）
21．为了预防某种流感病毒，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围；
（2）当室内每立方米空气中的含药量达到1毫克及以上时才能起有效的消毒作请问本次消毒过程中，有效的消毒作用时长为多少小时？
（3）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.5毫克以下时，学生方可室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？
【分析】（1）将点（1，4）代入正比例函数y＝kx得其解析式，代入反比例函数y＝得其解析式即可；
（2）将y＝1代入两个解析式，计算出时间段即可；
（3）将y＝0，5代入反比例函数解析式计算即可．
解：（1）由题意和图象可知：设正比例函数为y＝kx，点（1，4）代入得，k＝4，
∴正比例函数解析式为：y＝4t （0≤t≤1）；
将（1，4）代入y＝中，得a＝4，
∴反比例函数解析式为：y＝（t≥1）；
（2）当y＝1时，1＝4t，t＝；
1＝；t＝4；
4﹣＝3（小时），
（3）当y＝时，＝，
t＝8．
至少需要经过8小时后，学生才能进入教室．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，应用反比例函数解题时，特别要注意自变量的取值范围．
22．如图，抛物线过点O（0，0），E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设B（t，0），当t＝2时，BC＝4．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．
【分析】（1）由点E的坐标设抛物线的交点式，再把点C的坐标（2，﹣4）代入计算可得；
（2）由抛物线的对称性得AE＝OB＝t，据此知AB＝10﹣2t，再由x＝t时BC＝t2﹣t，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得；
（3）连接AC，BD相交于点P，连接OC，取OC的中点Q，连接PQ，根据直线GH平分矩形ABCD的面积，得到直线GH过点P，由平移的性质可知，四边形OCHG是平行四边形，根据平行四边形的性质得到PQ＝CH，根据矩形的性质得到点P是AC的中点，求得PQ＝OA，于是得到结论．
解：（1）设抛物线解析式为y＝ax（x﹣10），
∵当t＝2时，BC＝4，
∴点C的坐标为（2，﹣4），
∴将点C坐标代入解析式得2a（2﹣10）＝﹣4，
解得：a＝，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x；
（2）由抛物线的对称性得AE＝OB＝t，
∴AB＝10﹣2t，
当x＝t时，点C的纵坐标为t2﹣t，
∴矩形ABCD的周长＝2（AB+BC）
＝2[（10﹣2t）+（﹣t2+t）]
＝﹣t2+t+20
＝﹣（t﹣1）2+，
∵﹣＜0，
∴当t＝1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为；
（3）如图，连接AC，BD相交于点P，连接OC，取OC的中点Q，连接PQ，
∵t＝2，
∴B（2，0），
∴A（8，0），
∵BC＝4．
∴C（2，﹣4），
∵直线GH平分矩形ABCD的面积，
∴直线GH过点P，
由平移的性质可知，四边形OCHG是平行四边形，
∴PQ＝CH，
∵四边形ABCD是矩形，
∴点P是AC的中点，
∴P（5，﹣2），
∴PQ＝OA，
∵OA＝8，CH＝PQ＝OA＝4，
∴抛物线向右平移的距离是4个单位
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及平移变换的性质等知识点．
六、解答题（本大题共1小题，每小题12分，共计12分）
23．综合与实践
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
（1）发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系： BE＝CF ，∠BDC＝ 30 °；
（2）类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系： BF＝CF+2AM ．
【分析】（1）证明△BAE≌△CAF（SAS），则BE＝CF，∠ABE＝∠ACF，根据∠BDC＝180°﹣∠CBD﹣∠ACB﹣∠ACD＝180°﹣（∠CBD+∠ABD）﹣∠ACB，计算求解即可；
（2）同理（1）证明求解即可；
（3）同理（2）可证，△BAE≌△CAF（SAS），则BE＝CF，由等腰直角三角形△AEF，AM⊥BF，可得，则BF＝BE+EF＝CF+2AM，然后作答即可．
解：（1）∵∠BAC＝∠EAF＝30°，
∴∠BAC+∠CAE＝∠EAF+∠CAE，即∠BAE＝∠CAF，
∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAF，AE＝AF，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴BE＝CF，∠ABE＝∠ACF，
∴∠BDC＝180°﹣∠CBD﹣∠ACB﹣∠ACD＝180°﹣（∠CBD+∠ABD）﹣∠ACB＝30°，
故答案为：BE＝CF，30；
（2）BE＝CF，∠BDC＝60°，理由如下；
∵∠BAC＝∠EAF＝120°，
∴∠BAC﹣∠CAE＝∠EAF﹣∠CAE，即∠BAE＝∠CAF，
∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAF，AE＝AF，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴BE＝CF，∠ABE＝∠ACF，
∴∠BDC＝∠ACB+∠ACF﹣∠CBD＝∠ACB+（∠ABE﹣∠CBD）＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴BE＝CF，∠BDC＝60°；
（3）由题意知，同理（2）可证，△BAE≌△CAF（SAS），
∴BE＝CF，
∵等腰直角△AEF，AM⊥BF，
∴，
∴BF＝BE+EF＝CF+2AM，
故答案为：BF＝CF+2AM．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键．