2022-2023学年江西省南昌二十八中教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江西省南昌二十八中教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江西省南昌二十八中教育集团八年级（下）期中数学试卷
一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≥5 B．x＞5 C．x≤5 D．x＜5
2．下列给出的四组数中，能构成直角三角形三边的一组是（　　）
A．5，12，14 B．6，8，9 C．7，24，25 D．8，13，15
3．下列计算正确的是（　　）
A．a4+a6＝a10 B． C． D．
4．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（　　）
A．当∠ABC＝90°时，它是矩形
B．当AB＝BC时，它是菱形
C．当AC⊥BD时，它是菱形
D．当AC＝BD时，它是正方形
5．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点A，B，C都在网格的格点上，则下列结论错误的是（　　）

A． B．AC＝5 C． D．∠ACB＝30°
6．如图，已知正方形ABCD边长是6，点P是线段BC上一动点，过点D作DE⊥AP于点E．连接EC，若CE＝CD，则△CDE的面积是（　　）

A．18 B． C．14.4 D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．将化为最简根式是 　 　．
8．已知﹣1＜x＜3，化简：＝　 　．
9．已知a，b，c是△ABC的三边长且c＝5，a，b满足关系式，则△ABC的最大内角为 　 　．
10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD的交点为O，矩形的长、宽分别为7cm、4cm，EF过点O分别交AB、CD于E、F，那么图中阴影部分面积为　 　cm2．

11．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝30，大正方形的面积为16，则小正方形的面积为 　 　．

12．如图，点P在x轴上，且，点M也在x轴上，在OA上找点N，以P、M、N为顶点作正方形，则ON＝　 　（如结果中有根号，请保留根号）．

三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）计算：；
（2）计算：．
14．设，．
（1）求a﹣b，ab的值；
（2）求a2+b2﹣5ab的值．
15．我市某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠B＝90°，AB＝6m，BC＝8m，CD＝24m，AD＝26m．
（1）求出空地ABCD的面积；
（2）若每种植1平方米草皮需要350元，问总共需投入多少元？

16．如图，在菱形ABCD中，点E为AB的中点，请只用无刻度的直尺作图
（1）如图1，在CD上找点F，使点F是CD的中点；
（2）如图2，在AD上找点G，使点G是AD的中点．

17．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F．
（1）求证CD＝BE；
（2）若点F为DC的中点，DG⊥AE于G，且DG＝3，AB＝10，求AE的长．

四、解答题（本大题共3小题，每小题8分
18．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．

19．如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．

（1）求证：∠DAC＝∠BCE；
（2）如果AC＝BC．
①求证：CD＝BE；
②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．

20．如图1，某中学的校门是伸缩电动门，安装驱动器的门柱EFGH是宽度为30cm的矩形，伸缩电动门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30cm，当每个菱形的内角度数为60°（如图2）时，校门打开了5m．

（1）求该中学校门的总宽度是多少m．
（2）当每个菱形的内角度数为90°时，校门打开了多少m？
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．规定（a，b）表示一对数对，给出如下定义：，（a＞0，b＞0）．将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的一对“对称数对”．
例如：数对（4，1）的一对“对称数对为（）与（1，）．
（1）数对（9，3）的一对“对称数对”是 　 　．
（2）若数对（3，y）的一对“对称数”相同，则y的值是多少？
（3）若数对（x，2）的一个“对称数对是（，1），则x的值是多少？若数对（a，b）一个“对称数对”是（，3），求a，b的值．
22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，AB＝8cm，BC＝26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动．
（1）当运动时间为t秒时，用含t的代数式表示以下线段的长：AP＝　 　BQ＝　 　；
（2）当运动时间为多少秒时，四边形PQCD为平行四边形？
（3）当运动时间为多少秒时，四边形ABQP为矩形？

六、解答题（本大题共1小题，共12分
23．综合与实践
数学活动：数学活动课上，老师提出如下数学问题：
已知四边形ABCD与四边形BEFG都为正方形，P为DF的中点，连接AP，EP，如图1，当点E在AB上时，求证：AP＝PE．
独立思考：（1）请你证明老师提出的问题；
合作交流：（2）解决完上述问题后，“翱翔”小组的同学受此启发，把正方形BEFG绕点B顺时针旋转，当点F落在对角线BD上时（如图2），他们认为老师提出的结论仍然成立．请你予以证明；
问题解决：（3）解决完上述问题后，“善思”小组提出如下问题，把正方形BEFG绕点B顺时针旋转（如图3），当点D，E，F在同一条直线上时，DE与BC交于点H．若，BG＝1，请直接写出HC的值．
​



参考答案
一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≥5 B．x＞5 C．x≤5 D．x＜5
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
解：∵x﹣5≥0，
∴x≥5．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2．下列给出的四组数中，能构成直角三角形三边的一组是（　　）
A．5，12，14 B．6，8，9 C．7，24，25 D．8，13，15
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．
解：A、52+122≠142，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、62+82≠92，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、72+242＝252，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
D、82+132≠152，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3．下列计算正确的是（　　）
A．a4+a6＝a10 B． C． D．
【分析】根据合并同类项法则、二次根式的性质、二次根式的加法运算即可求出答案．
解：A、a4与a6不是同类项，故不能合并，故A不符合题意．
B、原式＝3，故B不符合题意．
C、原式＝4，故C符合题意．
D、与不是同类二次根式，故不能合并，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查合并同类项法则、二次根式的性质、二次根式的加法运算，本题属于基础题型．熟练掌握这些知识点是解题的关键．
4．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（　　）
A．当∠ABC＝90°时，它是矩形
B．当AB＝BC时，它是菱形
C．当AC⊥BD时，它是菱形
D．当AC＝BD时，它是正方形
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．
解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中．
5．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点A，B，C都在网格的格点上，则下列结论错误的是（　　）

A． B．AC＝5 C． D．∠ACB＝30°
【分析】首先根据勾股定理求出AB，AC，BC的长度即可判断A，B，C选项，然后利用勾股定理逆定理得到∠ABC＝90°，最后根据30°度角直角三角形的性质即可判断D选项．
解：根据勾股定理可得，，故A选项正确，不符合题意；
根据勾股定理可得，，故B选项正确，不符合题意；
根据勾股定理可得，，故C选项正确，不符合题意；
∵AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∵AC≠2AB，
∴∠ACB≠30°，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了勾股定理和网格的性质，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
6．如图，已知正方形ABCD边长是6，点P是线段BC上一动点，过点D作DE⊥AP于点E．连接EC，若CE＝CD，则△CDE的面积是（　　）

A．18 B． C．14.4 D．
【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定可以得到△ADE和△DCF全等，然后即可得到CF和DE的关系，根据等腰三角形的性质可以得到DF和DE的关系，再根据勾股定理可以得到DF2的值，然后即可计算出△CDE的面积．
解：作CF⊥ED于点F，如右图所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠CDA＝90°，
∴∠ADE+∠FDC＝90°，
∵CF⊥DE，CD＝CE，
∴EF＝DF＝DE，∠CFD＝90°，
∴∠FDC+∠DCF＝90°，
∴∠ADE＝∠DCF，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（AAS），
∴DE＝CF，
∴DF＝CF，
∵∠CFD＝90°，CD＝6，
∴DF2+CF2＝CD2，
即DF2+（2DF）2＝62，
解得DF2＝7.2，
∴S△CDE＝＝＝2DF2＝2×7.2＝14.4，
故选：C．

【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是求出DF2的值．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．将化为最简根式是 　3　．
【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答．
解：＝＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
8．已知﹣1＜x＜3，化简：＝　4　．
【分析】由﹣1＜x＜3知x﹣3＜0、x+1＞0，据此再根据二次根式的性质2和绝对值的性质化简可得．
解：∵1＜x＜3，
∴x﹣3＜0、x+1＞0，
则原式＝|x﹣3|+|x+1|
＝3﹣x+x+1
＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和绝对值的性质．
9．已知a，b，c是△ABC的三边长且c＝5，a，b满足关系式，则△ABC的最大内角为 　90°　．
【分析】根据算术平方根和平方式的非负性求得a和b值，再根据勾股定理的逆定理判断即可．
解：由得：a﹣4＝0，b﹣3＝0，
解得：a＝4，b＝3，
∵c＝5，
∴c2＝b2+a2，
∴△ABC的形状为直角三角形，且∠C＝90°，
故答案为：90°．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理、算术平方根和平方式的非负性，熟练掌握勾股定理的逆定理，正确求出a和b值是解答的关键．
10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD的交点为O，矩形的长、宽分别为7cm、4cm，EF过点O分别交AB、CD于E、F，那么图中阴影部分面积为　14　cm2．

【分析】根据矩形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AB＝DC，AD＝BC，AB∥DC，证△AOD≌△COB推出△AOD的面积和△BOC面积相等，证△AEO≌△CFO推出△AEO和△CFO的面积相等，同理得出△BEO和△DFO的面积相等，即可得出阴影部分的面积等于矩形ABCD的面积的一半．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AB＝DC，AD＝BC，AB∥DC，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（SSS），
∴△AOD的面积和△BOC面积相等，
∵AB∥CD，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴△AEO和△CFO的面积相等，
同理△BEO和△DFO的面积相等，
∴阴影部分的面积等于矩形ABCD的面积的一半，即是×7cm×4cm＝14cm2，
故答案为：14．
【点评】本题考查了矩形的性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的面积相等．
11．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝30，大正方形的面积为16，则小正方形的面积为 　2　．

【分析】观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2＝30，大正方形的面积为16，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．
解：由题意可知：每个直角三角形面积为，则四个直角三角形面积为2ab，大正方形面积为a2+b2＝16，小正方形面积为16﹣2ab，
∵（a+b）2＝30，
∴a2+2ab+b2＝30，
∵大正方形的面积为16，
∴2ab＝30﹣16＝14，
∴小正方形的面积为16﹣14＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理解大正方形面积为a2+b2＝16是解题关键．
12．如图，点P在x轴上，且，点M也在x轴上，在OA上找点N，以P、M、N为顶点作正方形，则ON＝　2或3﹣或3+　（如结果中有根号，请保留根号）．

【分析】根据题意，因为PN是边还是对角线没有明确，所以分①PN是正方形的边长，②PN是正方形的对角线，且∠OPN＝45°与∠OPN＝135°两种情况进行讨论，设出ON的长度是2x，然后表示出正方形的边长与OP的长度，再根据OP的长度列式求解．
解：设ON＝2x，
①如图1，当PN是正方形的边长时，

∵∠AOP＝30°，
∴OP＝2x•cos30°＝2x×＝x，
又∵OP＝，
∴x＝1，
∴ON＝2x＝2；

②如图2，PN是正方形的对角线，且∠OPN＝45°时

∵∠AOP＝30°，
∴OM＝2x•cos30°＝2x×＝x，
MP＝MN＝ON•sin30°＝2x×＝x，
又∵OP＝，
∴x+x＝，
解得x＝，
∴ON＝2x＝3﹣；

③如图3，PN是正方形的对角线，且∠OPN＝135°时，

∵∠AOP＝30°，
∴OM＝2x•cos30°＝2x×＝x
MP＝MN＝ON•sin30°＝2x×＝x，
又∵OP＝，
∴x﹣x＝，
解得x＝，
∴ON＝2x＝3+．
综上所述，ON的值为：2或3﹣或3+．
故答案为：2或3﹣或3+．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，坐标与图形的性质，利用了正方形的性质，30°角的正弦与余弦，难度不是很大，但要注意分情况讨论，容易漏解而导致出错．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）计算：；
（2）计算：．
【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
（2）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答．
解：（1）
＝
＝0；
（2）
＝6+3
＝6+3
＝9．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14．设，．
（1）求a﹣b，ab的值；
（2）求a2+b2﹣5ab的值．
【分析】（1）将a，b的数值直接代入计算即可；
（2）将a2+b2﹣5ab拆分组合成完全平方公式，然后代入数值即可．
解：（1）
＝
＝；

＝
＝1；
（2）a2+b2﹣5ab＝a2+b2﹣2ab﹣3ab；
＝（a﹣b）2﹣3ab
＝
＝9．
【点评】本题考查了二次根式的计算，相关知识点有：完全平方公式，熟记运算法则是解题关键．
15．我市某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠B＝90°，AB＝6m，BC＝8m，CD＝24m，AD＝26m．
（1）求出空地ABCD的面积；
（2）若每种植1平方米草皮需要350元，问总共需投入多少元？

【分析】（1）直接利用勾股定理AC，再用勾股定理的逆定理得出∠ACD＝90°，进而得出答案；
（2）利用（1）中所求得出所需费用．
解：（1）连接AC
∵∠B＝90°，AB＝6m，BC＝8m，
∴，
∵CD＝24m，AD＝26m，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝＝＝144（m2）；
即空地ABCD的面积为144m2．

（2）144×350＝50400元，
即总共需投入50400元．
【点评】此题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，将四边形化为三角形后，正确用勾股定理及其逆定理是解题关键．
16．如图，在菱形ABCD中，点E为AB的中点，请只用无刻度的直尺作图
（1）如图1，在CD上找点F，使点F是CD的中点；
（2）如图2，在AD上找点G，使点G是AD的中点．

【分析】（1）先连接对角线AC和BD，相交于点O，再连接EO并延长交CD于F；
（2）先连接AC和ED相交于点O，再连接BO并延长交AD于点G．
解：
（1）如图所示：

（2）如图所示：

【点评】本题考查的是作图的应用，掌握菱形的性质和三角形中位线定理、正确作出图形是解题的关键．
17．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F．
（1）求证CD＝BE；
（2）若点F为DC的中点，DG⊥AE于G，且DG＝3，AB＝10，求AE的长．

【分析】（1）由平行四边形的性质和角平分线证出∠BAE＝∠E．得出AB＝BE，即可得出结论；
（2）同（1）证出DA＝DF，由F为DC中点，AB＝CD，求出AD与DF的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由三角形ADF与三角形ECF全等，得出AF＝EF，即可求出AE的长．
【解答】（1）证明：∵AE为∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD＝AB．
∴∠DAE＝∠E．
∴∠BAE＝∠E．
∴AB＝BE．
∴CD＝BE．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠BAF＝∠DFA．
∴∠DAF＝∠DFA．
∴DA＝DF．
∵F为DC的中点，AB＝10，
∴DF＝CF＝DA＝5．
∵DG⊥AE，DG＝3，
∴AG＝GF．
∴AG＝＝4．
∴AF＝2AG＝8．
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS）．
∴AF＝EF，
∴AE＝2AF＝16．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题（2）的关键．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分
18．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．

【分析】（1）由三角形中位线定理得DE∥BC，且BC＝2DE，再证四边形BCFE是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的性质得∠BEF＝∠BCF＝120°，∠BCE＝∠BEC＝60°．再证△EBC是等边三角形．得BE＝BC＝CE＝4．过点E作EG⊥BC于点G．则BG＝BC＝2．然后由勾股定理求出EG的长，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，且BC＝2DE，
∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形，
又∵BE＝FE，
∴平行四边形BCFE是菱形；
（2）解：∵四边形BCFE是菱形，
∴∠BEF＝∠BCF＝120°，
∴∠BCE＝∠BEC＝×120°＝60°．
∴△EBC是等边三角形．
∴BE＝BC＝CE＝4．
过点E作EG⊥BC于点G，
∴BG＝BC＝2．
∴EG＝＝＝2，
∴S菱形BCFE＝BC•EG＝4×2＝8．

【点评】本题考查了菱形判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
19．如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．

（1）求证：∠DAC＝∠BCE；
（2）如果AC＝BC．
①求证：CD＝BE；
②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．

【分析】（1）根据直角三角形的定义和垂直的定义，可以证明结论成立；
（2）①根据AAS可以证明结论成立；
②根据S梯形ADEB＝S△ADC+S△ACB+S△CEB，代入字母计算即可证明结论成立．
【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠ADC+∠BCE＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE；
（2）①∵AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
由（1）知：∠DAC＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CD＝BE；
②由图可知：
S梯形ADEB＝S△ADC+S△ACB+S△CEB，
∴＝，
化简，得：a2+b2＝c2．
【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．如图1，某中学的校门是伸缩电动门，安装驱动器的门柱EFGH是宽度为30cm的矩形，伸缩电动门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30cm，当每个菱形的内角度数为60°（如图2）时，校门打开了5m．

（1）求该中学校门的总宽度是多少m．
（2）当每个菱形的内角度数为90°时，校门打开了多少m？
【分析】（1）如图，连接BD．根据菱形和等边三角形的性质即可得到结论；
（2）根据正方形的判定定理得到四边形ABCD是正方形，如图，连接BD，根据正方形的性质即可得到结论．
解：（1）如图，连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
又∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，BD＝AB＝30cm＝0.3m，
0.3×21+5＝11.3（m），
所以，该中学校门的总宽度是11.3m．
（2）当菱形的∠A＝90°时，
∵AB＝BC＝CD＝DA，
∴四边形ABCD是正方形，
如图，连接BD，
则，，
所以，当每个菱形的内角为90°时，校门打开了．

【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的性质以及等边三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．规定（a，b）表示一对数对，给出如下定义：，（a＞0，b＞0）．将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的一对“对称数对”．
例如：数对（4，1）的一对“对称数对为（）与（1，）．
（1）数对（9，3）的一对“对称数对”是 　（，）与（，）　．
（2）若数对（3，y）的一对“对称数”相同，则y的值是多少？
（3）若数对（x，2）的一个“对称数对是（，1），则x的值是多少？若数对（a，b）一个“对称数对”是（，3），求a，b的值．
【分析】（1）根据新定义即可得出结论；
（2）根据新定义，列等于＝，解方程进而得出结论；
（3）根据新定义，列等于＝1，解方程进而得出结论；根据新定义，列方程组，解出进而得出结论．
解：（1）∵＝，
∴数对（9，3）的一对“对称数对”是（，）与（，）；
故答案为：（，）与（，）；
（2）∵数对（3，y）的一对“对称数对”相同，
∴＝，
∴y＝，
答：y的值为；
（3）∵数对（x，2）的一个“对称数对”是（，1），
∴＝1，
∴x＝1，
∵数对（a，b）的一个“对称数对”是（，3），
∴①或②，
∴或．
【点评】此题主要考查了新定义，解方程组，解方程，理解和应用新定义是解本题的关键．
22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，AB＝8cm，BC＝26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动．
（1）当运动时间为t秒时，用含t的代数式表示以下线段的长：AP＝　t　BQ＝　26﹣3t　；
（2）当运动时间为多少秒时，四边形PQCD为平行四边形？
（3）当运动时间为多少秒时，四边形ABQP为矩形？

【分析】（1）根据题意可直接得出；
（2）由在梯形ABCD中，AD∥BC，可得当PD＝CQ时，四边形PQCD是平行四边形，即可得方程：24﹣t＝3t，解此方程即可求得答案；
（3）由在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，可得当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形，即可得方程：t＝26﹣3t，解此方程即可求得答案．
解：（1）由题意知AP＝t，BQ＝26﹣3t，
故答案为：t，26﹣3t；

（2）由题意可得：PD＝AD﹣AP＝24﹣t，QC＝3t，
∵AD∥BC，
∴PD∥QC，
设当运动时间为t秒时PD＝QC，此时四边形PQCD为平行四边形．
由PD＝QC得，24﹣t＝3t，
解得t＝6，
∴当运动时间为6秒时，四边形PQCD为平行四边形．

（3）∵AD∥BC，
∴AP∥BQ，
设当运动时间为t秒时AP＝BQ，四边形ABQP为平行四边形．
由AP＝BQ得：t＝26﹣3t，
解得：t＝，
又∵∠B＝90°
∴平行四边形ABQP为矩形．
∴当运动时间为秒时，四边形ABQP为矩形．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
六、解答题（本大题共1小题，共12分
23．综合与实践
数学活动：数学活动课上，老师提出如下数学问题：
已知四边形ABCD与四边形BEFG都为正方形，P为DF的中点，连接AP，EP，如图1，当点E在AB上时，求证：AP＝PE．
独立思考：（1）请你证明老师提出的问题；
合作交流：（2）解决完上述问题后，“翱翔”小组的同学受此启发，把正方形BEFG绕点B顺时针旋转，当点F落在对角线BD上时（如图2），他们认为老师提出的结论仍然成立．请你予以证明；
问题解决：（3）解决完上述问题后，“善思”小组提出如下问题，把正方形BEFG绕点B顺时针旋转（如图3），当点D，E，F在同一条直线上时，DE与BC交于点H．若，BG＝1，请直接写出HC的值．
​

【分析】（1）延长EP交AD于M，证明△DPM≌△FPE（ASA），由全等三角形的性质得出EP＝MP＝EM，由直角三角形的性质得出AP＝EM，则可得出结论；
（2）连接PC，过点P作PN⊥BC于N，证出PN∥CD∥EF，则，证出PF＝PD，可得出EN＝NC，由垂直平分线的性质得出PE＝PC，则可得出结论；
（3）延长AP至M，使AP＝PM，连接FM，EM，AE，证明△ABE≌△MFE（SAS），由全等三角形的性质得出AE＝EM，∠AEB＝∠FEM，证出△AEM为等腰直角三角形，得出AP＝PE，AP⊥PE，设DP＝PF＝x，则AP＝x+1，由勾股定理得出（x+1）2+x2＝（）2，解方程求出x，求出DP和AP的长，证明△APD∽△DCH，由相似三角形的性质得出，则可求出答案．
【解答】（1）证明：延长EP交AD于M，

∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，
∴EF∥CB，AD∥BC，
∴AD∥EF，
∴∠PDM＝∠EFP，
∵点P是线段DF的中点，
∴FP＝DP，
又∵∠DPM＝∠FPE，
∴△DPM≌△FPE（ASA），
∴EP＝MP＝EM，
又∵∠EAM＝90°，PE＝PM，
∴AP＝EM，
∴AP＝PE；
（2）证明：连接PC，过点P作PN⊥BC于N，

∵四边形ABCD是正方形，
∴点A，C关于BD对称，
∴PA＝PC，
∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，
∴∠BCD＝∠BEF＝90°，
∴CD∥EF，
∵PN⊥BC，
∴∠PNE＝90°，
∴∠PNE＝∠BCD，
∴PN∥CD，
∴PN∥CD∥EF，
∴，
∵P是DF的中点，
∴PF＝PD，
∴EN＝NC，
∴PN垂直平分EC，
∴PE＝PC，
∴AP＝PE；
（3）解：延长AP至M，使AP＝PM，连接FM，EM，AE，

∵PD＝PF，∠APD＝∠FPM，AP＝PM，
∴△APD≌△MPF（SAS），
∴AD+FM，∠DAP＝∠PMF，
∴AD∥FM，
∵AD∥BC，
∴FM∥BC，
∴∠EFM＝∠BHF，
∵∠BHF＝∠HBE+∠BEH＝∠HBE+90°，∠ABE＝∠ABC+∠HBE＝90°+∠HBE，
∴∠BHF＝∠ABE，
∴∠EFM＝∠ABE，
∵四边形BEFG是正方形，
∴BG＝EF，
∵AB＝AD，AD＝FM，
∴AB＝FM，
∴△ABE≌△MFE（SAS），
∴AE＝EM，∠AEB＝∠FEM，
∴∠AEM＝∠AED+∠FEM＝∠AED+∠AEB＝90°，
∴△AEM为等腰直角三角形，
又∵AP＝PM，
∴AP＝PE，AP⊥PE，
设DP＝PF＝x，则AP＝x+1，
∵AP2+DP2＝AD2，
∴（x+1）2+x2＝（）2，
∴x＝1（x＝﹣2舍去），
∴DP＝PF＝1，
∴PE＝PF+EF＝1+1＝2，
∴AP＝2，
∵∠ADP+∠HDC＝90°，∠HDC+∠DHC＝90°，
∴∠ADP＝∠DHC，
∵∠APD＝∠C＝90°，
∴△APD∽△DCH，
∴，
∴，
∴HC＝．



【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．