2023-2024学年江西省南昌市青山湖区雷式学校九年级（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年江西省南昌市青山湖区雷式学校九年级（上）期末数学试卷，共7页。
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分)每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡上.
1．如图是由6个棱长均为1的正方体组成的几何体，该几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
2．下列事件是不可能事件的是（ ）
A．太阳从东方升起B．三条线段组成一个三角形
C．（为实数）D．购买一张大乐透，中奖500万
3．如图，△ABC内接于，是的直径，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知点E(−4，2)，F(−1，−1)．以原点O为位似中心，把△EFO扩大到原来的2倍，则点E的对应点E′的坐标为（ ）
A．(−8，4)B．(8，−4) C．(8，4)或(−8，−4) D．(−8，4)或(8，−4)
第5题
第4题
第3题
5．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形)．若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠，且组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
6．用绘图软件绘制出函数的图象，如图，则根据你学习函数图象的经验，下列对a，b大小的判断，正确的是（ ）
A．a＞0，b＜0 B．a＞0，b＞0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分)
7．已知A（1，）、B（m，n）两点，若A、B两点关于原点对称，则 ．
8．一个不透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球，将口袋中的球摇匀，从中任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复上述试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，由此估计口袋中共有小球 个.
9．“南昌之星”摩天轮，位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园，摩天轮高160m（最高点到地面的距离）．如图，点O是摩天轮的圆心，AB是其垂直于地面的直径，小贤在地面点C处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为45°，测得圆心O的仰角为30°，则摩天轮的半径为 m．（结果保留根号）
第9题
第10题
10．如图，在矩形中，E是边上一点，且与相交于点F，若△DEF的面积是3，则的面积是 ．
11．如图，直角坐标系原点为斜边的中点，，A点坐标为
（，0），且，反比例函数经过点C，则k的值为 ．
第12题
第11题
12．如图，在半径为1的⊙O中，直线l为⊙O的切线，点A为切点，弦AB=1，点P在直线l上运动，若△PAB为等腰三角形，则线段OP的长为 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分)
13．（1）计算：
（2）如图，，，，，
求AC的长．
14．如图，在△OAB中，，，将△OAB绕点逆时针旋转角得到，连接，．
(1)当时，求的长度；
(2)当时，求的度数．
15．如图，已知反比例函数，的图象与直线交于点，A，B两点分别在轴和轴的正半轴上，B为的中点，．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求直线的表达式和的值．
16．为了响应国家中小学生“课后服务”的政策．江西某学校结合学校实际课后情况开设了四门课程供学生选择．四门课程分别是A：快乐阅读；B：趣味数学；C：轻松英语；D：开心书法．学生需要从中选两门课程．
(1)七年级学生小真第一次选择了课程A，如果她从其他三门学科中再选择一门课程，则她抽到课程C的概率是 ；
(2)七年级学生小美从四门课程中抽取两门课程进行学习，请用树状图法，求恰好选中B和D两门课程的概率．
17．如图，点C是以AB为直径的半圆O内任意一点，连接AC，BC，点D在AC上，且AD＝CD，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
(1)在图（1）中，画出△ABC的中线AE；
(2)在图（2）中，画出△ABC的角平分线AF．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分)
18．盒中有枚黑棋和枚白棋，这些棋子除颜色外无其他区别．
（1）从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，写出表示和关系的表达式．
（2）往盒中再放进10枚黑棋，取得黑棋的概率变为，求和的值．
19．如图，直线与反比例函数的图象交于点A，与轴，轴依次交于点B，点C．
(1)当时，求的值；
(2)判定与的比值能否与相等？若有，求线段的长度；若没有，请说明理由．
20．如图，在中，，，是上的动点，以为圆心， 的长为半径作圆交于点，分别是上的点，将沿折叠，点与点恰好重合．
(1)如图1，若，证明与直线相切；
(2)如图2，若经过点，连接．
①的长是 ；
②判断四边形的形状，并证明．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分)
21．图1是一款厨房常用的防烫取盘器，图2是其侧面示意图．经测量：支架
AB=AC=19cm，托盘器外沿BD=CE=3cm．支架AB，AC可绕点A转动，BD⊥AB，CE⊥AC．经调研发现，当45°≤∠BAC≤75°时，操作人员手势自然．
备用图
图2
图1

（1）当点D和点E重合时，求∠BAC的度数；
（2）若一圆形盘盘口的直径为24cm，请判断此时操作人员用该取盘器手势是否自然；
（3）当∠BAC=50°时，请计算点A到DE的距离．
（参考数据：sin9°0.16，cs9°0.98，tan9°0.16，sin25°0.42，cs25°0.9，tan25°0.49，sin39°0.63，cs39°0.77，tan39°0.84）
22．课本再现
(1)如图1，∠ACD是△ABC的一个外角，写出∠ACD与∠A，∠B的数量关系
类比探究
(2)如图2，BC是△ACB与△ECB的公共边.∠ACB=∠BCE=α，∠ABE=180°a.
①∠ACE与∠ABE的数量关系是 ；
②求证：
拓展应用
(3)如图3，点D是正方形ABCO内一点，且在以O 为圆心，OA 为半径的圆弧上，若∠ADB= 90°，AB=，直接写出线段DC的长.
图1
图2
图3
六、解答题（本大题共1小题，共12分)
23．【特例感知】如图1，点是正方形ABCD对角线AC上一点，于点，于点.
（1）求证：四边形是正方形；
（2）= .
【规律探究】将正方形绕点A旋转得到图2，连接，，.
（3）的比值是否会发生变化？说明理由.
【拓展应用】如图3，在图2的基础上，点，，分别是，，的中点.
（4）四边形是否是正方形?说明理由.
图1
图3
图2
九年级数学参考答案及评分意见
选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．D 2．C 3．A 4．D 5．C 6．A
填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7． 8．20 9． 10．27 11． 12．或或2
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分)
13．（1）
解原式=1+-1-1+2×
=1+-1-1+1
=；
（2）∵，，，，，
∴，即，
∴BC=10，
∴AC=AB+BC=5+10=15．
14．（1）解：∵，，
∴，
由旋转可知，∴为等边三角形，
∴．
（2）∵，，，
∴，
∴，即．
15．（1）解：过点作轴于点
，两点分别在轴和轴的正半轴上，为的中点，
，
∴
，两点的坐标分别为，
∴，
∴．
把代入中，得．
∴反比例函数的解析式为；
（2）设直线的表达式为
直线过点，，两点的坐标分别为，，，，
，即
即直线的表达式为，
由（1）知．，
在Rt△COD中，由勾股定理，得,
在Rt△COD中，,
．
16．（1）解：∵小真第一次选择了课程A，开设了四门课程供学生选择
∴她从其他三门学科中再选择一门课程，则她抽到课程C的概率是
（2）画树状图如下，

共有12种等可能的结果，恰好选中B和D两门课程的结果有2种，
∴恰好选中B和D两门课程的概率．
17．（1）解：如图（1），线段AE即为△ABC的中线；
；
（2）解：如图（2），线段AF即为△ABC的角平分线；
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．解：（1）∵盒中有枚黑棋和枚白棋，
∴袋中共有（）枚棋子．
∵从盒中随机取出一枚棋子，黑棋的概率是，
∴；（其他形式正确同样给满分）
（2）∵往盒中再放进10枚黑棋，取得黑棋的概率变为，
∴．
联立方程组解得：，．
19．（1）解：过点A作轴于D点，则．
∵．
又．
∴．
∴，．
∵直线与y轴，x轴依次交于点B，点C，
∴，．
∴．
∴．
（2）解：不能．理由如下：
过点A作轴于D点，
∵，，
∴．
∴，
假设，
∵，
∴，，
∴，．
∴，
把代入，得，
∴．
∴，．
又，
故与的比值不能与相等．
20．（1）证明：过点作的延长线于点，
则，
，
，
，
，
，
在Rt△BDH中，，
，，
，
与直线相切；
（2）解：①若经过点，则，
，
，
，
的长是；
故答案为：；
②四边形为菱形，
证明如下：
由折叠可知，，
，，
，，
，
四边形为平行四边形，
又，
四边形为菱形．
五、（本大题2小题，每小题9分，共18分）
21．解：（1）在Rt△ABD中，tan∠BAD =
∴∠BAD =9°，
∴∠BAD =18°；
（2）连接BC，过点A作AH⊥BC于点H
∵AB=AC，
∴，
∴sin∠BAH=，
∴∠BAH =39°，
∴∠BAC =78°＞75°，∴此时操作人员用该取盘器手势不自然；
（3）过点D作DF⊥BC于点F，过点A作AG⊥BC于点G，
∵AB=AC，
∴∠BAG=25°，
∴AG=ABcs25°=190.9=17.1cm，
∵∠ABD=90°，
∴∠DBF=25°，
∴DF=BDsin25°=30.42=1.26cm，
∴点A到DE的距离为18.36cm..
22．解（1）∠ACD=∠A+∠B；
（2）①∠ACE=2∠ABE；
②证明：∵∠ABE=∠ABC+∠EBC=180°ɑ，∠ABC+∠A=180°ɑ，
∴∠A=∠EBC．
∵∠ACB=∠BCE，
∴△ACB∽△BCE．
∴
（2）
六、（本大题共12分）
23．解：（1）∵四边形ABCD为正方形；
∴AC平分∠BAD，∠BAD=90°；
∵，；
∴四边形为矩形，；
∴四边形为正方形；
（2）1：：1；
（3）不变
理由：连接AC，；
∵四边形ABCD，四边形都是正方形；
∴=90°；
∴；
∵AB=AD，；
∴；
∴；
∵；
∴；
∵；
∴；
∴；
∴
（4）是
连接AC，，；
由（3）可知；
∴，；
∵为的中点，为的中点；
∴；
∵；
∴△≌△；
∴；
∴90°；
由（3）可知
∴；
∵为的中点，为的中点，
∴；，
∴
∴，；
∴45°，
∴；
∴；
∴，；
∴四边形为平行四边形；
∵，=90°；
∴四边形为正方形.