2024八年级数学下学期期中测试题（附答案人教版）

这是一份2024八年级数学下学期期中测试题（附答案人教版），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．若代数式 eq \f(\r(3－2x),x－2) 有意义，则x的取值范围是(D)
A．x＞ eq \f(3,2) B．x＜ eq \f(3,2)
C．x≥ eq \f(3,2) 且x≠2 D．x≤ eq \f(3,2)
2．下列计算正确的是(C)
A．( eq \r(5) )－1＝ eq \r(5) B． eq \r(15) ÷ eq \r(5) ＝3
C． eq \r(3) × eq \r(6) ＝3 eq \r(2) D．( eq \r(3) －1)2＝2
3．下列命题是真命题的是(A)
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
4．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，AD边的垂直平分线交AC于点N，若△CND的周长是10，则AC的长为(A)
A．6 B．8 C．10 D．12
eq \(\s\up7(),\s\d5(第4题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第5题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第6题图))
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为CA，CB的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若AC＝2 eq \r(5) ，BC＝4，则DF的长为(B)
A． eq \f(1,2) B．1 C． eq \f(3,2) D．2
6．如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处，若∠ACB＝30°，AB＝4，则△ADE的周长为(D)
A．12 B．16 C．20 D．24
7．如图，在▱ABCD中，E，F分别为BC，AD边的中点，连接EF，且AE⊥DE，若AE＝6，DE＝8，则AB的长为(C)
A．3 B．4 C．5 D．6
eq \(\s\up7(),\s\d5(第7题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第8题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第9题图))
8．如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上的一点，F是CB延长线上的一点，连接CE，EF，AF.若DE＝DC，EF＝EC，则∠BAF的度数为(B)
A．20° B．22.5° C．30° D．32°
9．如图，在菱形ABCD中，∠A＝100°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC的度数为(B)
A．45° B．50° C．55° D．60°
10．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AG平分∠BAC交BD于点G，DE⊥AG于点H.下列结论：①AD＝2AE；②DF＝AG；③CF＝CD；④四边形FGEA是菱形．其中正确的有(C)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∠BAC＝∠ADB＝45°.∵AG平分∠BAC，∴∠BAG＝∠CAG＝22.5°.∵AG⊥ED，∴∠AHE＝∠EHG＝90°，∴∠AED＝90°－∠BAG＝90°－22.5°＝67.5°，∴∠ADE＝90°－∠AED＝22.5°.又∵∠ADB＝45°，∴∠EDG＝22.5°＝∠ADE.又∵∠AHD＝∠GHD＝90°，∴∠DAG＝∠DGA，∴AD＝DG，AH＝GH，∴ED是AG的垂直平分线，∴AE＝EG，∴∠AGE＝∠EAG＝22.5°，∴∠BEG＝∠AGE＋∠EAG＝45°＝∠ABG，∴∠BGE＝90°，∴AE＝EG2AE，故①不正确；②∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAF＝∠ABG＝45°.又∵∠ADF＝∠BAG＝22.5°，∴△DAF≌△ABG(ASA)，∴DF＝AG，故②正确；③∵∠CDF＝∠BDC＋∠BDE＝45°＋22.5°＝67.5°，∠CFD＝∠AFE＝90°－∠CAG＝90°－22.5°＝67.5°，∴∠CDF＝∠CFD，∴CF＝CD，故③正确；④∵∠EAH＝∠FAH，∠AHE＝∠AHF＝90°，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，∴EH＝FH，∵AH＝GH，AG⊥EF，∴四边形FGEA是菱形，故④正确．综上所述，本题正确的结论有②③④，共3个．
eq \(\s\up7(),\s\d5(第10题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第13题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第14题图))
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．计算： eq \r(2) ( eq \r(2) － eq \r(3) )＋ eq \r(6) ＝__2__．
12．已知△ABC的三边长a，b，c满足 eq \r(a－1) ＋|b－ eq \r(3) |＋(c－2)2＝0，则△ABC一定是__直角__三角形．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝4，则斜边AB上的中线CD的长为__ eq \r(5) __．
14．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AD，CD的中点，若BD＝4，EF＝3，则菱形ABCD的面积为__12__.
15．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为(2，3)，则点F的坐标为__(－1，5)__．
eq \(\s\up7(),\s\d5(第15题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第17题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第18题图))
16．设一个三角形的三边长分别为a，b，c，p＝ eq \f(1,2) (a＋b＋c)，则有下面的面积公式：
S＝ eq \r(p（p－a）（p－b）（p－c）) (海伦公式)，
S＝ eq \r(\f(1,4)[a2b2－（\f(a2＋b2－c2,2)）2]) (泰九韶公式).
若一个三角形的三边长依次为5，6，7，则这个三角形的面积为__6 eq \r(6) __．
17．如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，交BC于点E，CF⊥DE于点F，G是AD的中点，连接AE，GF，若AE＝4，则GF＝__2__．
18．如图①，Rt△ABC的三边a，b，c满足a2＋b2＝c2的关系，利用这个关系，探究下面的问题：如图②，△OAB是腰长为1的等腰直角三角形，∠OAB＝90°，延长OA至点B1，使AB1＝OA，以OB1为底，在△OAB外侧作等腰直角三角形OA1B1，再延长OA1至点B2，使A1B2＝OA1，以OB2为底，在△OA1B1外侧作等腰直角三角形OA2B2，…，按此规律作等腰直角三角形OAnBn(n≥1，n为正整数)，则A4B4的长为__4__，△OA2 023B2 023的面积是__22_022__．
三、解答题(共66分)
19．(8分)计算：
(1)(3 eq \r(12) －2 eq \r(\f(1,3)) ＋ eq \r(48) )÷2 eq \r(3) ；
解：原式＝(6 eq \r(3) － eq \f(2\r(3),3) ＋4 eq \r(3) )÷2 eq \r(3) ＝ eq \f(28\r(3),3) ÷2 eq \r(3) ＝ eq \f(14,3)
(2)( eq \r(5) ＋3)( eq \r(5) －3)－( eq \r(3) －1)2.
解：原式＝5－9－(3＋1－2 eq \r(3) )
＝－8＋2 eq \r(3)
20．(8分)已知x＝1＋ eq \r(2) ，求代数式(3－2 eq \r(2) )x2＋(1－ eq \r(2) )x＋ eq \r(2) 的值．
解：原式＝(3－2 eq \r(2) )(1＋ eq \r(2) )2＋(1－ eq \r(2) )(1＋ eq \r(2) )＋ eq \r(2) ＝(3－2 eq \r(2) )(3＋2 eq \r(2) )＋(1－2)＋ eq \r(2) ＝9－8＋1－2＋ eq \r(2) ＝ eq \r(2)
21．(9分)一个岛屿的平面图如图①所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图②所示，其中∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝15千米，CD＝3 eq \r(2) 千米，求该岛的面积(结果保留整数，参考数据： eq \r(2) ≈1.41， eq \r(3) ≈1.73， eq \r(6) ≈2.45)．
解：连接AC，∵AB＝BC＝15千米，∠B＝90°，∴AC＝15 eq \r(2) 千米．又∵∠D＝90°，∴AD＝ eq \r(AC2－CD2) ＝ eq \r(（15\r(2)）2－（3\r(2)）2) ＝12 eq \r(3) (千米)，∴该岛的面积为S△ABC＋S△ACD＝ eq \f(1,2) AB·BC＋ eq \f(1,2) AD·CD＝ eq \f(1,2) ×15×15＋ eq \f(1,2) ×12 eq \r(3) ×3 eq \r(2) ＝(112.5＋18 eq \r(6) )(平方千米)≈157(平方千米)
22．(9分)如图，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，分别将△ABD，△ACD沿AB，AC对折，得到△ABE，△ACF，延长EB，FC相交于点G.求证：四边形AEGF是正方形．
证明：由题意可得△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，∴AE＝AD＝AF，∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC.又∵∠BAC＝45°，∴∠EAF＝90°.又∵AD⊥BC，∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°，∴四边形AEGF是矩形．又∵AE＝AF，∴矩形AEGF是正方形
23．(10分)某居民小区有一块形状为矩形ABCD的绿地，其长BC为 eq \r(128) 米，宽AB为 eq \r(50) 米，现要在矩形绿地中修建两个形状大小相同的矩形花坛(即图中阴影部分)，每个矩形花坛的长为( eq \r(13) ＋1)米，宽为( eq \r(13) －1)米．
(1)求矩形ABCD的周长(结果化为最简二次根式)；
(2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
解：(1)( eq \r(128) ＋ eq \r(50) )×2＝(8 eq \r(2) ＋5 eq \r(2) )×2＝13 eq \r(2) ×2＝26 eq \r(2) (米)，答：矩形ABCD的周长为26 eq \r(2) 米
(2) eq \r(128) × eq \r(50) －2×( eq \r(13) ＋1)×( eq \r(13) －1)＝8 eq \r(2) ×5 eq \r(2) －2×(13－1)＝80－24＝56(平方米)，6×56＝336(元)，答：购买地砖需要花费336元
24．(10分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF.
(1)求证：四边形ADFE是矩形；
(2)连接OE，若AD＝5，EC＝2，求OE的长度．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴AD∥EF.又∵BE＝CF，∴BC＝EF，∴AD＝EF，∴四边形ADFE是平行四边形．又∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴▱ADFE是矩形
(2)∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，AB＝BC＝AD＝5，∴BE＝BC－EC＝5－2＝3，∴在Rt△ABE中，AE＝ eq \r(AB2－BE2) ＝ eq \r(52－32) ＝4，∴在Rt△AEC中，AC＝ eq \r(AE2＋EC2) ＝ eq \r(42＋22) ＝2 eq \r(5) .又∵OA＝OC，AE⊥BC，∴OE＝ eq \f(1,2) AC＝ eq \r(5)
25．(12分)【获取新知】如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是AB，CD的中点，连接EF，则EF＝ eq \f(1,2) (AD＋BC).获取这一结论，可以连接AF并延长，交BC的延长线于点G，从而转化为三角形的中位线解决，请你完成这个结论的证明过程；
【旧知铺垫】如图②，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边向外作正方形ACDE，正方形ABFG，连接DF，点M是DF的中点，MN⊥BC于点N.若AC＝4，AB＝5，求MN的长；
【新知应用】如图③，在△ABC中，∠ACB＝60°，分别以AC，AB为边向外作正方形ACDE，正方形ABFG，连接DF，点M是DF的中点，MN⊥BC于点N.若AC＝4，AB＝5，求MN的长．
解：【获取新知】如图①，连接AF并延长，交BC的延长线于点G，∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠G，∠ADF＝∠GCF.又∵F是CD的中点，∴DF＝FC，∴△ADF≌△GCF(AAS)，∴AF＝FG，AD＝CG.又∵点E是AB的中点，∴EF＝ eq \f(1,2) BG＝ eq \f(1,2) (BC＋CG)＝ eq \f(1,2) (BC＋AD)
【旧知铺垫】如图②，过点F作FH⊥BC交CB的延长线于点H，连接MH，则∠ACB＝∠BHF＝90°，∴∠CAB＋∠ABC＝90°.∵四边形ABFG是正方形，∴AB＝BF，∠ABF＝90°，∴∠ABC＋∠FBH＝90°，∴∠CAB＝∠FBH，∴△ABC≌△BFH(AAS)，∴FH＝BC＝ eq \r(AB2－AC2) ＝ eq \r(52－42) ＝3.∵点M为DF的中点，FH⊥DH，∴DM＝MH.又∵MN⊥BC，∴DN＝NH，即点N为DH的中点，∴MN＝ eq \f(1,2) FH＝ eq \f(3,2)
【新知应用】如图③，过点A作AH⊥BC于点H，过点D作DP⊥BC交BC的延长线于点P，过点F作FQ⊥BC交CB的延长线于点Q，连接PM并延长交QF的延长线于点R，连接MQ，则DP∥FQ，同【旧知铺垫】可证得△DPC≌△CHA(AAS)，△BFQ≌△ABH，∴DP＝CH，FQ＝BH.在Rt△AHC中，∵∠ACB＝60°，AC＝4，∴DP＝CH＝ eq \f(1,2) AC＝2，∴AH＝ eq \r(AC2－CH2) ＝ eq \r(42－22) ＝2 eq \r(3) ，∴FQ＝BH＝ eq \r(AB2－AH2) ＝ eq \r(52－（2\r(3)）2) ＝ eq \r(13) .又∵DP∥FQ，∴∠PDM＝∠RFM，∠DPM＝∠R.又∵点M为DF的中点，∴DM＝MF，∴△PDM≌△RFM(AAS)，∴PM＝MR.又∵RQ⊥PQ，∴PM＝MQ.又∵MN⊥PQ，∴PN＝QN，即点N为PQ的中点，∴由【获取新知】可知MN＝ eq \f(1,2) (DP＋FQ)＝ eq \f(1,2) ×(2＋ eq \r(13) )＝1＋ eq \f(\r(13),2)