2023-2024学年浙江省温州市实验中学九年级上学期期中数学试题

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1. 已知⊙O的半径为5，若点P在⊙O内，则OP的长可以是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】根据点与圆的位置关系可得，由此即可得出答案．
【详解】解：的半径为5，点在内，
，
观察四个选项可知，只有选项A符合，
故选：A．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系（圆内、圆上、圆外）是解题关键．
2. 抛物线的顶点坐标为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数顶点式特点即可解答，熟练掌握抛物线的顶点坐标为是解此题的关键．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的顶点坐标为，
故选：A．
3. 如图，在中，点分别在边上，，若，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例，得到，根据比例的性质，即可得到答案.
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故选：B.
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，以及比例的性质，解题的关键是掌握平行线分线段成比例，以及比例的性质进行解题.
4. 在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中白球可能有（ ）
A. 15个B. 20个C. 30个D. 35个
【答案】D
【解析】
【分析】利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，根据概率公式计算即可．求出黄球的个数，即可求解．
【详解】解：∵摸到黄球的频率稳定在左右
∴黄球的个数为
∴布袋中白球可能有
故选：D
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
5. 如图，点、、、在上，，，则等于（ ）
A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握“圆内接四边形的对角互补”是解题的关键.
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
6. 抛物线与x轴的交点个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数与轴的交点问题．根据根的判别式即可求出答案．
【详解】解：
∴抛物线与轴的交点有两个，
故选：C．
7. 如图，在正方形网格上有两个相似三角形和，则的度数为（ ）
A. 135°B. 90°C. 60°D. 45°
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似三角形的对应角相等和三角形内角和等于180°，即可得出．
【详解】解：∵△ABC∽△EDF，
∴∠BAC＝∠DEF，
又∵∠DEF＝90°+45°＝135°，
∴∠BAC＝135°，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是找到相似三角形中的对应关系．
8. 利用圆的等分，在半径为的圆中作出六角星图案，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 6B. C. 12D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查正多边形与圆，掌握正六边形的性质以及面积的计算方法是正确解答的关键，根据对称性得到阴影部分的面积和等于正六边形的面积，再根据正六边形的面积进行计算即可．
【详解】解：如图，由题意可知，阴影部分的面积和等于正六边形的面积，
，
由对称性可知，，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
9. 一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查垂径定理以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长．
【详解】解：如图，，过圆心O，连接，，
，
，纸条的宽为，，，
，
，，
设，
，
，，
，
，
，
，
，
纸杯的直径为．
故选：B．
10. 已知抛物线经过点和点，则t的最小值是（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的对称性和增减性，根据抛物线的对称轴以及对称轴公式确定，即可得到，由抛物线经过点和点得到，结合即可确定的最小值．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线经过点和点，
∴点和点关于对称轴对称，，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴时，t有最小值为：．
故选：A．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则的值是_______．
【答案】9
【解析】
【分析】本题主要考查了成比例线段，先根据比例线段的定义得到，然后利用比例的性质可求出d的值．
【详解】解：∵线段a，b，c，d成比例线段，
∴，
即，
解得．
故答案为：9．
12. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________.
【答案】8
【解析】
【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用可求得边数．
【详解】解：多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是，
即该正多边形的边数是8，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了多边形外角和以及多边形的边数，解题的关键是掌握正多边形的各个内角相等，各个外角也相等．
13. 如图，将绕直角顶点C逆时针旋转，使得点B落在斜边AB上的处得，若，则的度数为_______．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等边对等角，根据旋转的性质可得，即是等腰三角形，由，可得，即可求得．
【详解】解：根据旋转的性质可得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，是外接圆的直径，，则的度数为_______．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，等腰三角形的性质，本题根据圆周角定理即可得到，再结合等腰三角形的性质可得结论．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15. 如图，抛物线与x轴交于点O，E，矩形的边在线段上，点在点A的左侧，点C，D在抛物线上，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，则抛物线平移的距离为_______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查矩形的性质，二次函数的性质，平移变换，掌握相关图形的性质和平移的性质是解题的关键．
连接，交于点P，连接，取的中点Q，连接，根据直线平分矩形的面积，得到直线过点P，由平移的性质可知，四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，根据矩形的性质得到点P是的中点，求得，于是得到结论．
【详解】解：如图，连接，交于点P，连接，取的中点Q，连接，
，抛物线的对称轴为直线，
，
当时，，
，
直线平分矩形的面积，
直线过点P，
由平移的性质可知，四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
点P是的中点，
，
，
，，
抛物线向右平移的距离是3个单位．
故答案为：3．
16. 如图，在正方形的右下角有一个正方形，以点为顶点向左构造正方形，使点分别落在边上，当三点共线时，则的值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】作延长线于点，作于点，设正方形的边长为，，证，得，，由及梯形的面积公式列出关于的等式，整理后得出x与y的关键，进而得出与x的关系，据此解答．
【详解】解：如图，作的延长线于点，作于点，
设正方形的边长为，，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴（同角的余角相等），
∴，
同理可证，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
又∵
∴，
∴，
整理得，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
三、解答题（本题有7小题，共66分．解答需写出必要文字说明、演算步骤或证明过程）
17. 小明同学报名参加学校运动会，有以下4个项目可供选择：
径赛项目：100m，200m，分别用、、表示；
田赛项目：立定跳远用B表示．
小明从4个项目中任选一个，恰好是径赛项目的概率为______；
小明从4个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】直接根据概率公式求解；
先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出一个田赛项目和一个径赛项目的结果数，然后根据概率公式计算即可．
【详解】小明从4个项目中任选一个，恰好是径赛项目的概率．
故答案为．
画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中一个田赛项目和一个径赛项目的结果数为6，所以恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
18. 如图，点E是矩形边上的一点，于点F．
（1）求证：．
（2）若，，，求的长度．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查是相似三角形的判定与性质以及垂直的性质和矩形的性质：
（1）根据四边形是矩形可得出，再根据相似三角形的判定定理可得出，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（2）由矩形的性质可得出的长及，利用勾股定理可求出的长，由垂直的定义可得出，利用同角的余角相等可得出，进而可得出，再利用相似三角形的性质可求出的长度．
【小问1详解】
解：证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
【小问2详解】
∵四边形是矩形，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴，．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
即的长度为．
19. 设二次函数（，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示：
（1）求二次函数的表达式．
（2）若点是抛物线上一点，且，则n的取值范围是 ．
【答案】19.
20.
【解析】
【分析】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键．
（1）把，；，；，代入二次函数，得到关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可；
（2）把点M的坐标代入二次函数的解析式，把n用m表示出来，根据m的取值范围，求出n的取值范围即可．
【小问1详解】
解：把，；，；，代入二次函数得：
，解得：，
二次函数的表达式为：；
【小问2详解】
解：把点代入得：
，
当时，，
当时，，
当时,
当时，的取值范围为：，
故答案为：．
20. 我们把顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形．在如下的方格中已给出格点三角形和格点，请根据下列要求在方格中画图．
（1）在图1中，将绕点顺时针旋转，画出旋转后得到的；
（2）在图2中，作与相似的格点．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图—旋转变换、相似变换，熟练掌握旋转的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键．
（1）根据旋转的性质作图即可；
（2）根据相似三角形的性质，将各边缩小倍，使，且相似比为．
【小问1详解】
解：如图1，即为所求，
；
【小问2详解】
解：如图2，即为所求，
．
21. 如图，是的直径．菱形交于点C，点E．
（1）连结，求证：．
（2）连结，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）7
【解析】
【分析】（1）连接，如图，先根据菱形的性质得到平分，即，然后根据圆周角定理得到；
（2）连接，如图，先根据圆周角定理得到，再根据垂径定理得到，，所以，接着利用勾股定理得到，然后解方程求出，从而得到的长．
【小问1详解】
证明：连接，如图，
∵四边形为菱形，
平分，
即，
；
【小问2详解】
连接交于点F，如图，
是的直径，
，
，
，
，
为的中位线，
，
在中，，
在中，，
，
解得，
．
【点睛】本题考查了菱形的性质，圆周角定理，垂径定理，中位线的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题关键．
22. 图1是张带智能发球机的乒乓球桌，它可以自定义设置球的落点、速度、弧度及旋转方式，能更真实地模拟实战．图2是发球机从中线OB的端点O的正上方处的A点发球，球呈抛物线在正上方飞行，当飞行的水平距离为时，达到最高点M，其高度为．以O为原点，，所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系．

（1）求图2中抛物线的表达式．
（2）记图2中的落球点为点E，则的长为多少？
（3）图3是为了更好地模拟与人对打，将出球方向改变，调整成两跳球的方式，即球从点A落到点D，再反弹过网落下，反弹后球呈抛物线飞行，且形状与图2中的抛物线形状保持不变，但反弹后的最高高度变为．若最后球也落在点E，则的长为多少？
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）令，即可求解；
（3）由，即可求解.
【小问1详解】
解：建立如图2、3所示的直角坐标系，

则点A、M的坐标分别为、，
设抛物线的表达式为：，
将点A的坐标代入上式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
【小问2详解】
解：令，
解得：（舍去）或，
即；
【小问3详解】
解：设点，
由（2）知点，
设抛物线的表达式为：，
则，
解得：（不合题意的值已舍去），
即长为.
23. 如图，是的直径，点D在外，平分交于点C，于点D，连结交于点E．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
（3）当是直角三角形时，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）3
（3）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定，直径所对的圆周角是直角，关键是辅助线的连接．
（1）用“两角对应相等两三角形相似”证明相似．
（2）中，，，，求出，再利用（1）得出的相似，得比例线段，求出．
（3）是直角三角形分两种可能，①，②．
【小问1详解】
证明：是的直径，
∴，
∵于点D，
∴，
∴，
∵，
∴．
【小问2详解】
中，，，，
∴，．
∵．
∴，
∴，
∴．
所以的长是3．
【小问3详解】
解：①当时，过点O作于点M，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
，
，
∴，
∴，
∴
∵．
∴四边形是矩形．
∴．
∴．
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
②
当时，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
所以的值为：或1．x
…
0
1
2
3
…
y
…
6
0
0
…