2023-2024学年浙江省杭州市上城区开元中学九年级上学期期中数学试题

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1. 已知的半径为5，，则点在（ ）
A 圆内B. 圆上C. 圆外D. 不确定
2. 已知线段，，线段是线段、的比例中项，线段的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列事件中属于必然事件是（ ）
A. 等腰三角形的三条边都相等B. 两个偶数的和为偶数
C. 任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上D. 立定跳远运动员的成绩是
4. 已知点A，B，且，画经过，B两点且半径等于3的圆有（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 无数个
5. 对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下：②对称轴为直线；③顶点坐标为；④有最小值；其中正确结论的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
6. 如图，是由绕点顺时针旋转后得到的图形，若点恰好落在上，且，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知三点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（ ）
A B. C. D. 无法比较大小
8. 正六边形内接于圆，它的边所对的圆周角是( )
A 60°B. 120°C. 60°或120°D. 30°或150°
9. 如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E=22.5°，AB=4，则半径OB等于（ ）
A. B. 2C. 2D. 3
10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点（B在A左侧），交y轴于点C．且，分别以为边向外作正方形，正方形．记它们的面积分别为，面积记为，当时，b的值为（ ）
A. B. C. D.
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11. 已知，则的值为______．
12. 半径为5的圆中，的圆周角所对的弧长为______．
13. 在一个箱子里放有6个白球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同．某数学兴趣小组一共做了次摸球试验（每次摸一个球，记录后放回，搅匀），摸到白球的次数为次，估计这个箱子里红球有______个．
14. 如图，内接于，是的直径，，则______．
15. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0）．对于下列命题：①b-2a=0；②abc＜0；③a-2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有____________．
16. 如图，以为直径的半圆上，，点C是半圆弧上的任意点，点F是的中点，连接交于点E，平分交于点D，则_______度；当时，的长为______．
三、全面答一答（本题有8个小题，共66分）
17. 一只不透明袋子中装有4个球，其中2个白球和2个黑球，它们除颜色外都相同．
（1）求摸出一个球是白球的概率．
（2）摸出一个球，记下颜色后不放回，再摸出1个球，求两次摸到的求颜色相同的概率（要求画树状图或列表）．
18. 如图所示，以长为2的定线段为边作正方形，取的中点P，连接，在的延长线上取点F，使，以AF为边作正方形，点M在上．
（1）求的长；
（2）点M是的黄金分割点吗？为什么？
19. 如图，在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上
（1）请在图中标出的外接圆的圆心的位置，并填写圆心的坐标：______．
（2）尺规作图：画出，并作它的一个内接三角形，要求该三角形为等边三角形．
20. 如图，梯形中，，，．，，其中．作于点，将沿直线折叠，点落在处，交于点．
（1）用含有的代数式表示的长；
（2）设四边形的面积为，求与的函数关系式；
（3）当为何值时，有最大值，并求出这个最大值．
21. 如图，四边形内接于，为直径，过点作于点，，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，，求、与弧围成阴影面积部分的面积．
22. 已知二次函数（）
（1）求二次函数图象的对称轴；
（2）当时，y的最大值与最小值的差为2，求该二次函数的表达式；
（3）对于二次函数不想上的两点，，当，时，均满足，请结合函数图像，求的取值范围．
23. 根据背景素材，探索解决问题．
注：测量、计算时，都以“肘”为单位．
24. 如图1，四边形内接于，，点C在上，于点F．

（1）连接，求证：．
（2）设为x度，为y度，写出y关于x的函数表达式．
（3）如图2，作于点G，连接并延长交于点H．
①，，，求的长．
②若，求的长．
测算石拱桥拱圈的半径
素材1
某数学兴趣小组测算一座石拱桥拱圈的半径（如图1），石拱桥由矩形的花岗岩叠砌而成，上、下的花岗岩错缝连接（花岗岩的各个顶点落在上、下花岗岩各边的中点，如图2所示）．

素材2
通过观察发现A，B，C三个点都在拱圈上，A是拱圈的最高点，且在两块花岗岩的连接处，B，C两个点都是花岗岩的顶点（如图3）．

素材3
如果没有带测量工具，那么可以用身体的“尺子”来测，比如前臂长（包括手掌、手指）称为1肘（如图4），利用该方法测得一块花岗岩的长和宽（如图5）．

问题解决
任务1
获取数据
通过观察、计算B，C两点之间的水平距离及铅垂距离（高度差）．
任务2
分析计算
通过观察、计算石拱桥拱圈的半径．