第16章 二次根式 章节复习 初中数学人教版八年级下册名师教学设计

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人教版初中数学八年级下册第十六章 二次根式 章节复习 教学设计一、教学目标：1.掌握二次根式的概念和性质; 2.理解最简二次根式的概念; 3.掌握二次根式的四则运算; 4.利用二次根式解决一些综合性的数学问题. 二、教学重、难点：重点：掌握二次根式的概念和性质;掌握二次根式的四则运算.难点：利用二次根式解决一些综合性的数学问题三、教学过程：知识网络知识梳理一、二次根式的概念一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号.1.表示a的算术平方根；2.a可以是数，也可以是式；3.形式上含有二次根号；4.a≥0，≥0 (双重非负性)；5.既可表示开方运算，也可表示运算的结果.二、二次根式的有意义的条件1.单个二次根式如有意义的条件：A≥02.多个二次根式相加如有意义的条件：3.二次根式作为分式的分母如或有意义的条件：A＞04.二次根式与分式的和如或有意义的条件：A≥0且B≠0三、二次根式的性质性质一：一般地，(a≥0)即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式有意义的前提条件.性质二：一般地，根据算术平方根的意义， (a≥0)，(a＜0)即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 即：任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.四、代数式及其写法回顾我们学过的式子，如5，a，a+b，-ab，，-x3，， (a≥0)，它们都是用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.代数式书写格式注意事项：1.表示数的字母相乘时，可用“· ”代替乘号或省略不写.如：a×b 通常写作a·b或ab.2.数和字母相乘时，数字应写在字母前面.如： a×2通常写作2a.3.带分数与字母相乘时，应把带分数化成假分数.如：×a通常写作a.4.含有字母的除式中用分数线代替除号.如：3÷y 通常写作: .5.最后一步是加、减运算时，如果有单位，要用括号把代数式括起来.如：温度由2℃上升t℃后是(2+t)℃.六、二次根式的乘法1.二次根式的乘法法则：•=(a≥0，b≥0)即：二次根式相乘，________不变，________相乘.语言表述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.2.积的算术平方根的性质：（a≥0，b≥0）语言表述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.应用范围：我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.七、二次根式的除法1.二次根式的除法法则：(a≥0，b＞0)即：二次根式相除，________不变，________相除.语言表述：算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得2.二次根式的商的算术平方根的性质:语言表述：商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商.我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.八、最简二次根式(1) 被开方数不含分母；(2) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.九、二次根式的加减1.同类二次根式:化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式.2.二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式(同类二次根式)进行合并.加减法的运算步骤：(1)化—将非最简二次根式的二次根式化简； (2)找—找出被开方数相同的二次根式； (3)并—把被开方数相同的二次根式合并. “一化简二判断三合并”十、二次根式的混合运算1.二次根式的混合运算：二次根式的混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的.2.二次根式与乘法公式的综合运用：二次根式中单乘多、多乘多、多除单与整式乘法非常相似，均可以运用整式乘法法则与整式乘法公式进行计算.运用的乘法公式主要是：平方差公式与完全平方公式.考点梳理考点解析考点1：二次根式的相关概念有意义的条件例1.下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？分析：二次根式有：(1)(4)(5)(7)(9)例2.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解（1）由题意得x-1＞0，∴x＞1.（2）∵被开方数需大于或等于零，∴3+x≥0，∴x≥-3.∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1.∴x≥-3 且x≠1.【点睛】要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.例3.已知,求3x+2y的算术平方根.解：由题意得 ∴x=3，y=8，∴3x+2y=25.∵25的算术平方根为5，∴3x+2y的算术平方根为5．【点睛】若，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.【迁移应用】【1-1】下列式子：①13；②1-2；③x2+1；④327；⑤-42，是二次根式的有（  ）A．①③⑤ B．①③ C．①②③ D．①②③⑤【1-2】使式子有意义的x的取值范围在数轴上表示为（  ）【1-3】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，求此三角形的周长．解：由题意得∴a=3，∴b=4.当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．考点2：二次根式的性质及其应用例4.若，求a-b+c的值.解：因为由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4.所以a-b+c=2-3+4=3.【点睛】多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.例5.已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示,化简a2+(a+b)2+(b-a)2．解：由数轴可得：a>0，a+b<0，b-a<0，∴原式=a+a+b+b-a=a-a+b-b-a=a-a-b-b+a=a-2b．【点睛】利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号.例6.已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：(a+b+c)2+(a-b-c)2+(b-a-c)2+(c-b-a)2.解：∵a，b，c为△ABC的三边长，∴a+b+c>0,a-b-c<0,b-a-c<0,c-b-a>0, ∴(a+b+c)2+(a-b-c)2+(b-a-c)2+(c-b-a)2=a+b+c-(a-b-c)-(b-a-c)-(c-b-a) =a+b+c-a+b+c-b+a+c-c+b+a =2a+2b+2c【迁移应用】【2-1】下列计算正确的是（  ）A．4=±2 B．-32=-3 C．-32=3 D．-32=-3【2-1】(3-x)2=x-3成立的条件是（　 ）A．x≥3 B．x＞3 C．x≤3 D．x＜3【2-3】若1≤a≤2，则化简a2-2a+1+a-2的结果是（  ）A．2-a2 B．-a C．3-2a D．1【2-4】如图，实数a，b，c是数轴上A，B，C三点所对应的数，化简3c3+|c-b|-(a-b)2+|a+c|．解：由数轴可知，ba，∴c-b>0，a-b>0，a+c>0，∴3c3 +c-b- (a-b)2 +a+c=c+c-b-a-b+a+c=c+c-b-a+b+a+c=3c．考点3：二次根式的运算及典型应用例7.计算： 解：【点睛】二次根式的混合运算的运算顺序与整式的运算顺序一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，在具体运算中可灵活运用运算律和乘法公式简化运算.例8.计算： 解：(1)原式 (2)原式 【点睛】有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数.例9.已知m=15+2，n=15-2，求m2-mn+n2的值．解：∵m=15+2=5-25+25-2=5-25-4=5-2，n=15-2=5+25-25+2=5+25-4=5+2，∴m2-mn+n2=m-n2+mn=5-2-5-22+5-25+2=16+5-4=17．例10.化简求值：(x+2xy+yx+y+1x-y)÷x-y+1x  ，其中x=2+3 ，y=2-3．解：原式＝(x+y)2x+y+x+yx-y×xx-y+1＝(x+y)(x-y+1)x-y×xx-y+1＝x+xyx-y；把x=2+3 ，y=2-3代入，得：原式＝3+12．【迁移应用】【3-1】下列各式计算正确的是（  ）A．6÷3+2=63+62=2+3B．4-232=16-232=4C．2+3÷2+3=1D．35+2=5+25-25+2=5-2【3-2】计算：(1)5-32+11-311+3； (2)48÷3-12×12-24;解:（1）原式=5-65+9+11-9=16-65；（2）原式=48÷3-12×12-26=4-6-26=4-3.【3-3】先化简，再求值：,其中 解：原式当时，原式考点4：二次根式的实际应用例11.把两张面积都为18的正方形纸片各剪去一个面积为2的正方形，并把这两张正方形纸片按照如图所示叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体纸盒．求这个纸盒的侧面积（接缝忽略不计）．解：例12.某居民小区有块形状为矩形ABCD的绿地，长BC为128米，宽AB为50米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为13+1米，宽为13-1米．(1)求矩形ABCD的周长．（结果化为最简二次根式）(2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（1）解：矩形ABCD的长BC为128米，宽AB为50米，∴矩形ABCD的周长为2×128+50=2×82+52=262（米）．答：矩形ABCD的周长为262米．（2）解：通道的面积为128×50-2×13+113-1=82×52-2×(13-1)=80-2×12=56（平方米），则购买地砖需要花费56×6=336（元）．答：购买地砖需要花费336元．【迁移应用】【4-1】如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成一个面积是125的正方形ABCD，AE=35，图中空白部分是一个小正方形，求这个小正方形的周长．解：∵正方形ABCD的面积是125，∴AB=125=55，∵AE=35，∴BE=AB-AE=25，∴空白部分的小正方形的边长为35-25=5，∴这个小正方形的周长为45．【4-2】已知a,b,c满足.(1)求a,b,c的值；(2)以a,b,c为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，求出其周长；若不能，请说明理由.分析：(1)若几个非负数的和为零，则这几个非负数必须为零；(2)根据三角形的三边关系来判断.解：(1)由题意得；(2)能.理由如下：∵，即a＜c＜b，又∵ ∴ a+c＞b，∴能够成三角形，周长为【4-3】为了表示对老师的敬意，张昊同学特地做了两张大小不同的正方形的画送给老师，其中一张面积为800cm2，另一张面积为450cm2.他想：如果再用金色细彩带把画的边镶上会更漂亮．他手上现有1.2m长的金色细彩带．请你帮他算一算，他的金色细彩带够用吗？如果不够用，还需买多少厘米的金色细彩带？(2≈1.414，结果保留整数)解：镶壁画所用的金色彩带的长为：4×（800+450）=4×（202+152）=1402≈197.96（cm），因为1.2m=120cm＜197.96cm，所以小号的金色彩带不够用.197.96-120=77.96≈78（cm），即还需买78cm的金色彩带．考点5：二次根式中的规律性问题例13.观察下列等式：①13+1=3-1(3+1)(3-1)=3-12；②15+3=5-3(5+3)(5-3)=5-32；③17+5=7-5(7+5)(7-5)=7-52…回答下列问题：（1）利用你观察到的规律，化简：15+23（2）计算：11+3+13+5+15+7+…+1311+101 ．【答案】（1）5-232；（2）12(101-1)【详解】试题分析：根据分母有理化的性质，由各式的特点，结合平方差公式化简计算即可.试题解析：（1）15+23=5-23(5+23)(5-23) =5-232 ；（2）11+3+13+5+15+7+…+1311+101=3-1(3+1)(3-1)+5-3(5+3)(5-3)+7-5(7+5)(7-5)+…+101-311(101+311)(101-311) =12（101-1)．【迁移应用】【5-1】将一组数2，2，6，22，10，…，251按图中的方法排列：若32的位置记为（2，3），27的位置记为（3，2），则这组数中最大数的位置记为______．【答案】（17,6）【详解】观察、分析这组数据可发现：第一个数是2×1的积；第二个数是2×2的积；第三个数是2×3的积，⋯ 2×102的积.∵这组数据中最大的数：251=4×51=2×102=2×102，∴251是这组数据中的第102个数.∵每一行排列了6个数，而102÷6=17∴251是第17行第6个数，∴这组数据中最大的一个数应记为（17，6）.点睛：（1）这组数据组中的第n个数为2⋅n；（2）该组数据是按从左到右，从小到大，每行6个数进行排列的；（3）n÷6的商是数据2⋅n所在的行数，n÷6的余数是数据2⋅n所在的列数.【5-2】观察下列等式：第1个等式：a1=11+2=2-1，第2个等式：a2=12+3=3-2，第3个等式：a3=13+2=2-3，第4个等式：a4=12+5=5-2，…按上述规律,回答以下问题：(1)请写出第n个等式：an=__________.(2)a1+a2+a3+…+an=_________【答案】     1n+n+1=n+1-n     n+1-1【分析】（1）由题意，找出规律，即可得到答案；（2）由题意，通过拆项合并，然后进行计算，即可得到答案．【详解】解：∵第1个等式：a1=11+2=2-1，第2个等式：a2=12+3=3-2，第3个等式：a3=13+2=2-3，第4个等式：a4=12+5=5-2，……∴第n个等式：1n+n+1=n+1-n；故答案为：1n+n+1=n+1-n；（2）a1+a2+a3+⋯an=(2-1)+(3-2)+(2-3)+⋯+(n+1-n)=2-1+3-2+2-3+⋯+n+1-n=n+1-1；故答案为：n+1-1．【点睛】本题考查了二次根式的加减混合运算，以及数字规律问题，解题的关键是掌握题目中的规律，从而进行解题．【5-3】观察下列各式及证明过程：①12-13=1223；②1213-14=1338；③1314-15=14415．验证：12-13=12×3=222×3=1223；12×13-14=12×3×4=32×32×4=133813×14-15=13×4×5=43×42×5=14415．（1）按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想1415-16的变形结果，并进行验证；（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为正整数，且n≥1）表示的等式．【答案】（1）1415-16=15524，验证见解析；（2）1n1n+1+1n+2=1n+1n+1nn+2（n为正整数，n≥1）．【分析】（1）应用二次根式对根式进行变形，总结规律，三个连续自然数的倒数，第一个乘以后两个的差，结果等于中间数作结果的系数，中间数的分母作结果中被开方数的分子，另两个数的分母的乘积作被开方数的分母，即可得到结果；（2）根据（1）即可得到等式．【详解】解：（1）猜想：1415-16=15524验证：1415-16=14×5×6=54×52×6=15524；（2）1n1n+1+1n+2=1n+1n+1nn+2（n为正整数，n≥1）．【点睛】本题考查二次根式的化简，同时考查学生归纳总结的能力，特别注意写用含n的式子表示时一定要写上相应的n的取值范围．