备考2024届高考数学一轮复习分层练习第四章三角函数第3讲两角和与差的正弦余弦正切公式与二倍角公式

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1.已知cs x＝－14，x为第二象限角，则sin 2x＝（ C ）
A.－154B.154C.－158D.158
解析 因为cs x＝－14，x为第二象限角，所以sin x＝154，所以sin 2x＝2sin xcsx＝2×154×（－14）＝－158，故选C.
2.[2024重庆渝北中学模拟]sin 47°sin 103°＋sin 43°·cs 77°＝（ B ）
A.－32B.32C.－12D.1
解析 sin 47°sin 103°＋sin 43°cs 77°＝cs 43°sin 77°＋sin 43°·cs 77°＝sin（77°＋43°）＝sin 120°＝32.
3.[2024河北石家庄模拟]若tan θ＝5，则cs 2θ＝（ B ）
A.－35B.－23C.35D.23
解析 cs 2θ＝cs2θ－sin2θ＝cs2θ－sin2θcs2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1+tan2θ＝1－51+5＝－23.故选B.
4.已知sin 2α＝23，则cs2（α＋π4）＝（ A ）
A.16B.13C.12D.23
解析 解法一 cs2（α＋π4）＝12[1＋cs（2α＋π2）]＝12（1－sin 2α）＝16.
解法二 cs（α＋π4）＝22cs α－22sin α，所以cs2（α＋π4）＝12（cs α－sin α）2＝
12（1－2sin αcs α）＝12（1－sin 2α）＝16.
5.[2024厦门大学附属科技中学模拟]已知sin（α＋π6）－cs α＝45，则sin（2α＋π6）＝（ A ）
A.－725B.725C.－2425D.2425
解析 由已知sin（α＋π6）－cs α＝sin αcsπ6＋cs α·sinπ6－cs α＝32sin α－12cs α＝sin（α－π6）＝45，则sin（2α＋π6）＝cs（2α－π3）＝1－2sin2（α－π6）＝1－2×（45）2＝－725，故选A.
6.[2024安徽六校联考]已知cs（α＋β）＝13，tan α·tan β＝13，则cs（α－β）＝（ D ）
A.－16B.16C.－23D.23
解析 因为tan αtan β＝13＝sinαsinβcsαcsβ，所以cs αcs β＝3sin αsin β，又cs（α＋β）＝13＝
cs αcs β－sin αsin β，所以sin αsin β＝16，cs αcs β＝12，所以cs（α－β）＝cs αcs β＋sin αsin β＝23.故选D.
7.已知α，β为锐角，且tan α＝17，cs（α＋β）＝255，则cs 2β＝（ C ）
A.35B.23C.45D.7210
解析 由已知α为锐角，且tan α＝17，得到sin α＝210，cs α＝7210.由cs（α＋β）＝255且α，β为锐角，得到sin（α＋β）＝55，所以cs β＝cs[（α＋β）－α]＝cs（α＋β）cs α＋sin（α＋β）sin α＝255×7210＋55×210＝31010，所以cs 2β＝2cs2β－1＝2×910－1＝45.
8.[2023高三名校联考]已知π4≤α≤π，π≤β≤3π2，sin 2α＝45，cs（α＋β）＝－210，则β－α＝（ C ）
A.π4或3π4B.π4C.3π4D.5π4
解析 解法一 因为π4≤α≤π，所以π2≤2α≤2π，又sin 2α＝45＞0，所以π2≤2α≤π，可得π4≤α≤π2，所以cs 2α＝－1－sin22α＝－35.
因为π≤β≤3π2，所以π2≤β－α≤5π4，5π4≤α＋β≤2π，所以sin（α＋β）＝－1－cs2（α＋β）＝－7210，
所以sin（β－α）＝sin[（α＋β）－2α]＝sin（α＋β）cs 2α－cs（α＋β）sin 2α＝－7210×（－35）－（－210）×45＝22，所以β－α＝3π4，故选C.
解法二 由题意，易得2α∈（π2，π），α＋β∈（5π4，2π），β－α∈（0，5π4），（提示：由sin 2α＝45，π4≤α≤π，知α∈（π4，π2））
得β－α＝（α＋β）－2α∈（π4，3π2），所以β－α∈（π4，5π4），结合选项可知选C.
9.[2023东北三省三校联考]若sin（2α＋π6）＋cs 2α＝3，则tan α＝（ C ）
A.33B.1C.2－3D.2＋3
解析 由sin（2α＋π6）＋cs 2α＝3，可得sin 2αcsπ6＋cs 2αsinπ6＋cs 2α＝3，所以3（12sin 2α＋32cs 2α）＝3，即sin（2α＋π3）＝1，解得2α＋π3＝π2＋2kπ，k∈Z，即α＝π12＋kπ，k∈Z，则tan α＝tan（π12＋kπ）＝tanπ12＝tan（π3－π4）＝tanπ3－tanπ41+tanπ3·tanπ4＝3－11+3＝2－3.故选C.
10.[2024山东泰安模拟]锐角α，β满足tan α＝csβ1－sinβ，则（ B ）
A.2α＋β＝π2B.2α－β＝π2
C.2α＋β＝3π4D.2α－β＝－π2
解析 tan α＝csβ1－sinβ＝cs2β2－sin2β2cs2β2＋sin2β2－2sin β2·cs β2＝（cs β2－sin β2)(cs β2＋sin β2）（cs β2－sin β2）2＝csβ2＋sin β2cs β2－sin β2＝1+tan β21－tan β2＝tanπ4＋tan β21－tan π4·tan β2＝tan（π4＋β2），又∵α，β是锐角，∴π4＜π4＋β2＜π2，而y＝tan x在（0，π2）单调递增，故α＝π4＋β2，因此2α－β＝π2.故选B.
11.[2024陕西咸阳模拟]已知a＝2sin13，b＝3sin14，c＝4sin16，则（ B ）
A.a＜c，a＋c＞2bB.a＜c，a＋c＜2b
C.a＞c，a＋c＞2bD.a＞c，a＋c＜2b
解析 ∵0＜16＜π2，∴0＜cs16＜1，∴2sin13＝2sin（2×16）＝4sin16cs16＜4sin16，∴a＜c；
∵0＜112＜16＜13＜π2，∴0＜cs112＜1，sin16＜sin13，即sin16－sin13＜0，∴a＋c＝2sin13＋4sin16＝3sin13＋3sin16＋（sin16－sin13）＜3sin13＋3sin16＝3sin（14＋112）＋3sin（14－112）＝6sin14cs112＜6sin14＝2b，∴a＋c＜2b.故选B.
12.点P0（45，35）为锐角α的终边与单位圆的交点，OP0（O为坐标原点）逆时针旋转π3得OP1，则点P1的横坐标为 4－3310 .
解析 根据三角函数的定义可得sin α＝35，cs α＝45.由于OP0逆时针旋转π3得OP1，所以点P1的横坐标为cs（α＋π3）＝cs αcsπ3－sin αsinπ3＝45×12－35×32＝4－3310.
13.如图1，正方形ABCD的边长为2，点M为线段CD的中点，现把正方形纸按照图2进行折叠，使点A与点M重合，折痕与AD交于点E，与BC交于点F.记∠MEF＝θ，则
sin（θ＋π4）＝ 31010 .
图1 图2
解析 设DE＝x，则DM＝1，EM＝EA＝2－x，在Rt△DEM中，∠D＝90°，∴DE2＋DM2＝EM2，即x2＋12＝（2－x）2，x＝34，∴EM＝54，∴在Rt△DEM中，sin∠DEM＝DMEM＝45，则sin 2θ＝sin（π－∠DEM）＝sin∠DEM＝45，sin θ＋cs θ＝（sinθ＋csθ）2＝1+2sinθcsθ＝1+sin2θ＝355，∴sin（θ＋π4）＝sin θcsπ4＋cs θsinπ4＝22（sin θ＋
cs θ）＝22×355＝31010.
14.[条件创新]设函数y＝cs 2x（x≥0）和函数y＝cs 10x（x≥0）的图象公共点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，…，xn，若tan（x3－α）＝cs x4，则tan 2α的值为（ B ）
A.13B.34C.43D.3
解析 令cs 2x＝cs 10x（x≥0），则有10x＝2x＋2kπ或10x＋2x＝2nπ，k，n∈N，解得x＝kπ4或x＝nπ6，k，n∈N，又函数y＝cs 2x（x≥0）和函数y＝cs 10x（x≥0）的图象的公共点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，…，xn，所以x＝0，π6，π4，π3，π2，2π3，…，故x3＝π4，x4＝π3，所以tan（x3－α）＝cs x4，即tan（π4－α）＝csπ3＝12，即1－tanα1+tanα＝12，所以tan α＝13，所以tan 2α＝2tanα1－tan2α＝34.
15.[角度创新]已知函数f（x）＝2cs（x＋π4）cs（x－π4）＋sin x，若对任意的实数x，恒有f（α1）≤f（x）≤f（α2），则cs（α1－α2）＝ －14 .
解析 因为f（x）＝2（22cs x－22sin x）（22cs x＋22sin x）＋sin x＝2（12cs2x－12sin2x）＋sin x＝1－2sin2x＋sin x＝－2（sin x－14）2＋98，且f（x）对任意实数x恒有f（α1）≤
f（x）≤f（α2），所以sin α1＝－1，sin α2＝14.则cs α1＝0，cs（α1－α2）＝
cs α1cs α2＋sin α1sin α2＝－sin α2＝－14.