江苏版高考物理一轮复习第4章素养4绳(杆)端速度分解模型课时学案

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2．思路与方法
(1)合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线
(2)分速度→eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(其一：沿绳杆的速度v1,其二：与绳杆垂直的分速度v2))
(3)方法：v1与v2的合成遵循平行四边形定则。
3．解题的原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。
甲 乙
丙 丁
[示例] 一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(均可视为质点)。将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成θ＝30°角，B球的速度大小为v2，则( )
A．v2＝eq \f(1,2)v1 B．v2＝2v1
C．v2＝v1 D．v2＝eq \r(3)v1
思路点拨：(1)两个小球的速度都可分解为沿杆方向和垂直杆方向的两个分速度。
(2)杆的长度不变，两小球在沿杆方向的速度相等。
C [因球A与球形容器球心等高，则此时其速度方向竖直向下，将速度v1分解如图所示。
由图可知：v11＝v1sin 30°＝eq \f(1,2)v1，
对球B分析知，球B此时速度方向与杆所在直线夹角为α＝60°，如图所示，将球B的速度v2分解。由图可知v21＝v2cs 60°＝eq \f(1,2)v2。
又沿杆方向两球分速度相等，即v21＝v11，解得v2＝v1，选项C正确。]
绳(杆)牵连物体的分析技巧
(1)先确定合速度的方向(物体实际运动方向)。
(2)分析合运动所产生的实际效果：一方面使绳或杆伸缩；另一方面使绳或杆转动。
(3)确定两个分速度的方向：沿绳或杆方向的分速度和垂直绳或杆方向的分速度，沿绳或杆方向的分速度大小相同。
[即时训练]
1.(绳关联速度的分解)如图所示，水平光滑长杆上套有一物块Q，跨过悬挂于O点的轻小光滑圆环的轻绳一端连接Q，另一端悬挂一物块P。设轻绳的左边部分与水平方向的夹角为θ，初始时θ很小。现将P、Q由静止同时释放，关于P、Q以后的运动，下列说法正确的是( )
A．当θ＝60°时，P、Q的速度之比是eq \r(3)∶2
B．当θ＝90°时，Q的速度最大
C．当θ＝90°时，Q的速度为零
D．当θ向90°增大的过程中Q的合力一直增大
B [P、Q用同一根绳连接，则Q沿绳子方向的速度与P的速度大小相等，则当θ＝60°时，Q沿绳子方向的分速度vQcs 60°＝vP，解得eq \f(vP,vQ)＝eq \f(1,2)，故选项A错误；当θ＝90°时，即Q到达O点正下方，垂直Q运动方向上的分速度为0，即vP＝0，此时Q的速度最大，故选项B正确，C错误；当θ向90°增大的过程中Q的合力逐渐减小，当θ＝90°时，Q的速度最大，加速度最小，合力最小，故选项D错误。]
2．(杆关联速度的分解)(2023·丹阳市高级中学模拟)曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功用是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动。其结构示意图如图所示，活塞可沿水平方向往复运动。曲轴可绕固定的O点自由转动，连杆两端分别连接曲轴上的A点和活塞上的B点，若曲轴绕O点做匀速圆周运动，则( )
A．曲轴和活塞运动周期不相等
B．活塞运动速度大小不变
C．A点和B点的速度始终相等
D．当OA与AB共线时，B点的速度为零
D [曲轴转一周，活塞运动一个来回，即一个周期，所以它们的运动周期相等，故A错误；A、B点的速度分解为沿AB杆和垂直于杆方向，两速度与杆AB的夹角分别为α、β，如图所示：
根据平行四边形定则得两点速度沿杆方向的速度分量相等，即vAcs α＝vBcs β，故vB＝eq \f(cs α,cs β)vA，由于曲轴转动时，α、β都在变化，vA是圆周运动的线速度大小不变，活塞速度大小不断变化，A点和B点的速度不可能始终相等，故B、C错误；由以上分析可知，当OA与AB共线时，α＝90°，A点速度大小不变，B点速度为零，故D正确。]
课时分层作业(十) 曲线运动、运动的合成与分解
(对应学生用书第409页)
题组一 曲线运动条件与轨迹分析
1.(2023·扬州中学质检)如图所示，乒乓球从斜面上滚下，以一定的速度沿直线匀速运动。在与乒乓球路径相垂直的方向上放一个纸筒(纸筒的直径略大于乒乓球的直径)，当乒乓球经过筒口的正前方时，对着球横向吹气，则关于乒乓球的运动，下列说法中正确的是( )
A．乒乓球将保持原有的动能继续前进
B．乒乓球一定能沿吹气方向进入纸筒
C．乒乓球将偏离原来的运动方向，但不会进入纸筒
D．只有用力吹气，乒乓球才能沿吹气方向进入纸筒
C [当乒乓球经过筒口的正前方时，对着球横向吹气，兵乓球会获得一个横向的速度，此速度与乒乓球原有的速度的合速度方向斜向左下方，因此，乒乓球将偏离原来的运动方向，向左下方运动，不会进入纸筒。故选C。]
2.如图所示是物体做匀变速曲线运动的轨迹的示意图，箭头表示物体在该点的速度方向。已知物体在B点的加速度方向与速度方向垂直，则下列说法正确的是( )
A．C点的速率小于B点的速率
B．A点的加速度比C点的加速度大
C．C点的速率大于B点的速率
D．从A点到C点加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小，速率是先减小后增大
C [物体做匀变速曲线运动，B点到C点的加速度方向与速度方向夹角小于90°，C点的速率大于B点的速率，故选项A错误，C正确；物体做匀变速曲线运动，则加速度大小不变，所以物体经过C点时的加速度与A点相同，故选项B错误；物体运动到B点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则有A点速度方向与加速度方向夹角大于90°，C点的加速度方向与速度方向夹角小于90°，所以从A点到C点加速度方向与速度方向的夹角一直减小，物体的速率先减小后增大，故选项D错误。]
题组二 运动的合成与分解
3.人用绳子通过定滑轮拉物体A，A穿在光滑的竖直杆上，当以速度v0匀速地拉绳使物体A到达如图所示位置时，绳与竖直杆的夹角为θ，则物体A实际运动的速度是( )
A．v0sin θB．eq \f(v0,sin θ)
C．v0cs θ D．eq \f(v0,cs θ)
D [
由运动的合成与分解可知，物体A参与这样的两个分运动，一个是沿着与它相连接的绳子方向的运动，另一个是垂直于绳子斜向上的运动。而物体A实际运动轨迹是沿着竖直杆向上的，这一轨迹所对应的运动就是物体A的合运动。它们之间的关系如图所示。由三角函数知识可得vA＝eq \f(v0,cs θ)，所以D选项是正确的。]
4．一热气球在匀加速竖直向上运动的同时随着水平气流向右匀速运动，若设竖直向上为y轴正方向，水平向右为x轴正方向，则热气球实际运动的轨迹可能是( )
A B
C D
B [气球水平向右做匀速运动，竖直向上做匀加速运动，则合加速度竖直向上，所受合力竖直向上，由合力方向指向轨迹的凹侧可知轨迹向上弯曲，故选B。]
5．民族运动会上有一骑射项目，运动员骑在奔跑的马上，弯弓放箭射击侧向的固定目标。假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的箭速度为v2，跑道离固定目标的最近距离为d。要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则 ( )
A．运动员放箭处离目标的距离为eq \f(dv2,v1)
B．运动员放箭处离目标的距离为eq \f(dv1,v2)
C．箭射到固定目标的最短时间为eq \f(d,v2)
D．箭射到固定目标的最短时间为eq \f(d,\r(v\\al(2,2)－v\\al(2,1)))
C [要想使箭在空中飞行的时间最短的情况下击中目标，v2必须垂直于v1，并且v1、v2的合速度方向指向目标，如图所示，故箭射到目标的最短时间为eq \f(d,v2)，C正确，D错误；运动员放箭处离目标的距离为eq \r(d2＋x2)，又x＝v1t＝v1·eq \f(d,v2)，故eq \r(d2＋x2)＝eq \r(d2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(v1d,v2)))2)＝eq \f(d\r(v\\al(2,1)＋v\\al(2,2)),v2)，A、B错误。]
题组三 小船渡河问题
6.(2023·江苏盐城中学高三月考)如图所示，一小船横渡一条两岸平行的河流，vs 表示水流速度，与河岸平行，vc 表示小船在静水中的速度，速度方向与上游成θ角，小船恰好能够沿直线到达正对岸的A点。若vs变小，要保证小船仍到达正对岸且时间不变，则下列方法可行的是( )
A．θ变小，vc变小 B．θ变大，vc变小
C．θ变大，vc变大 D．θ变小，vc变大
B [要保证小船仍到达正对岸且时间不变，则vc沿垂直河岸方向的速度不变，因vs变小，则vc沿河岸方向的分速度减小，可知θ变大，vc变小，故选B。]
7．(2023·江淮十校第二次联考)一艘船以vA的速度用最短的时间渡河，另一艘船以vB的速度从同一地点以最短的路程过河，两船轨迹恰好重合(设河水速度保持不变)，则两船过河所用的时间之比是( )
A．vA∶vB B．vB∶vA
C．veq \\al(2,A)∶veq \\al(2,B) D．veq \\al(2,B)∶veq \\al(2,A)
D [两船抵达的地点相同，知合速度方向相同，A船静水速度垂直于河岸，B船的静水速度与合速度垂直，如图所示，两船的合位移相等，则渡河所用时间之比等于两船合速度之反比，则：eq \f(t1,t2)＝eq \f(vB合,vA合)＝eq \f(\f(vB,tan θ),\f(vA,sin θ))＝eq \f(v\\al(2,B),v\\al(2,A))，故选项D正确，A、B、C错误。]
8.(2023·扬州市江都区大桥高级中学高三月考)某人划船渡河，河宽为d，船在静水中划行速度大小为v1，船头方向与河岸间夹角为θ(θ<90°)，水流动速度大小为v2，如图所示，下列说法正确的是( )
A．若水流的速度增大，渡河时间变长
B．若水流的速度增大，渡河时间变短
C．改变θ，可使渡河的最短时间为eq \f(d,v1)
D．无论船速v1多大，通过改变θ，可使小船到达正对岸O点
C [船的运动分解为沿河岸方向和垂直于河岸方向，可得两个方向上的分速度，则有渡河所需的时间为t＝eq \f(d,v1sin θ)，因此渡河时间与水流速度无关，故A、B错误；当θ＝90°时，渡河时间最短且为tmin＝eq \f(d,v1)，故C正确；当船在静水中划行速度v1大于水流动速度v2时，无论船速v1多大，通过改变θ都能使小船到达正对岸O点；而当船在静水中划行速度v1小于水流动速度v2时，不论如何改变夹角，都不能到达正对岸，故D错误。]
9．一物体在以xOy为直角坐标系的平面内运动，其运动规律为x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t(式中的物理量单位均为国际单位)。关于物体的运动，下列说法正确的是( )
A．物体在x轴方向上做匀减速直线运动
B．物体在y轴方向上做匀减速直线运动
C．物体运动的轨迹是一条直线
D．物体运动的轨迹是一条曲线
C [对应位移—时间公式x＝v0t＋eq \f(1,2)at2，可得初速度v0x＝－4 m/s，v0y＝6 m/s，加速度ax＝－4 m/s2，ay＝6 m/s2，物体在x轴上分运动的初速度和加速度同方向，做匀加速直线运动，故A错误；物体在y轴方向的初速度和加速度同方向，做匀加速直线运动，故B错误；题中分运动的初速度和加速度数值完全相同，故合运动的初速度方向与加速度方向相同，故合运动一定是匀加速直线运动，故C正确，D错误。]
10．玻璃生产线的最后工序有一台切割机，能将宽度一定但很长的原始玻璃板按需要的长度切成矩形。假设送入切割机的原始玻璃板的宽度L＝2 m，其沿切割机的轨道与玻璃板的两侧边平行，以v1＝0.15 m/s 的速度水平向右匀速移动；已知割刀相对玻璃的切割速度v2＝0.2 m/s，为了确保割下来的玻璃板是矩形，则相对地面参考系不正确的是( )
A．割刀运动的轨迹是一段直线
B．割刀完成一次切割的时间为10 s
C．割刀运动的实际速度为0.05eq \r(7) m/s
D．割刀完成一次切割的时间内，玻璃板的位移是1.5 m
C [为了使切割下来的玻璃板都成规定尺寸的矩形，割刀相对玻璃板的运动速度方向应垂直于玻璃板两侧边。割刀实际参与两个分运动，即沿玻璃板长边的运动和垂直于玻璃板两侧边的运动。两个分运动都是匀速直线运动，则割刀的合运动为匀速直线运动，故A正确；割刀切割玻璃板的速度为垂直于玻璃板两侧边的运动速度，则其完成一次切割的时间为t＝eq \f(L,v2)＝eq \f(2,0.2) s＝10 s，故B正确；根据运动的合成与分解可知，割刀运动的实际速度为v＝eq \r(v\\al(2,1)＋v\\al(2,2))＝eq \r(0.152＋0.202) m/s＝0.25 m/s，故C错误；10 s内玻璃板的位移x＝v1t＝1.5 m，故D正确。]
11.(2023·江苏无锡高三月考)如图所示，A物体套在光滑的竖直杆上，B物体放置在粗糙水平桌面上，用一细绳连接。初始时细绳经过定滑轮呈水平，A、B物体质量均为m。A物体从P点由静止释放，下落到Q点时，速度为v，此时连接A物体的细绳与水平方向夹角为θ，此过程中，下列说法正确的是( )
A．A物体做匀加速直线运动
B．A物体到Q点时，B物体的速度为vsin θ
C．B物体做匀加速直线运动
D．细绳对B的拉力等于水平桌面对B的摩擦力
B [滑块A下滑时，竖直方向受重力和细绳拉力的竖直分量，因细绳拉力的竖直分量是变化的，则滑块A所受的合力不是恒力，则A的加速度不是恒量，即A不是匀加速下滑，故A错误；
滑块A下落到Q点时的速度为v，则由速度的分解可知，滑块B的速度为vsin θ，故B正确；因B所受绳的拉力是变化的，则滑块B不可能做匀加速直线运动，故C错误；由于B不是匀速运动，则细绳对B的拉力不等于水平桌面对B的摩擦力，故D错误。]
12．(2023·如东高级中学月考)质量为m＝2 kg的物体(可视为质点)静止在光滑水平面上的直角坐标系的原点处，先用沿x轴正方向的力F1＝8 N作用2 s，然后撤去F1；再用沿y轴正方向的力F2＝10 N作用2 s。则物体在这4 s内的轨迹为( )
A B
C D
D [物体在F1的作用下由静止开始从坐标系原点沿x轴正方向做匀加速直线运动，加速度a1＝eq \f(F1,m)＝4 m/s2，末速度为v1＝a1t1＝8 m/s，对应位移x1＝eq \f(1,2)a1teq \\al(2,1)＝8 m，到2 s末撤去F1再受到沿y轴正方向的力F2的作用，物体在x轴正方向做匀速运动，x2＝v1t2＝16 m,4 s内的位移x＝x1＋x2＝24 m；在y轴正方向做匀加速运动，y轴正方向的加速度a2＝eq \f(F2,m)＝5 m/s2，对应的位移y＝eq \f(1,2)a2teq \\al(2,2)＝10 m，物体做曲线运动。再根据曲线运动的加速度方向大致指向轨迹的凹侧，可知选项A、B、C均错误，D正确。]
13.(2023·江苏通州中学月考)光滑平面上一运动质点以速度v通过原点O，v与x轴正方向成α角(如图所示)，与此同时对质点加上沿x轴正方向的恒力Fx和沿y轴正方向的恒力Fy，则( )
A．因为有Fx，质点一定做曲线运动
B．如果Fy>Fx，质点向y轴一侧做曲线运动
C．质点不可能做直线运动
D．如果Fx>Fyct α，质点向x轴一侧做曲线运动
D [若Fx＝Fyct α，则合力方向与速度方向在同一条直线上，物体做直线运动，选项A、C错误；因为不确定ct α的大小，所以无法通过比较Fy与Fx的大小来确定质点向哪一侧做曲线运动，选项B错误；若Fx>Fyct α，则合力方向与速度方向不在同一条直线上，合力偏向于速度方向下侧，质点向x轴一侧做曲线运动，故D正确。]
14.(2023·江苏姜堰中学高三月考)如图所示，长为l的轻杆，一端固定一个质量为m的小球，另一端有固定转动轴O，杆可在竖直面内绕转动轴O无摩擦转动。质量为m的物块放置在光滑水平面上。开始时，使小球靠在物块的光滑侧面上，轻杆与水平面夹角为45°，用手控制物块静止。然后释放物块，在之后球与物块运动的过程中，下列说法正确的是( )
A．球与物块分离前，球与物块速度相等
B．球与物块分离前，物块速度逐渐减小
C．球与物块分离前，杆上弹力逐渐增大
D．球与物块分离时，球加速度等于重力加速度g
D [设球的速度为v，根据题意得物块与球的水平速度相等，设杆与地面夹角为θ，由运动的分解：vx＝vsin θ，所以分离前，球与物块速度不相等，A错误；由于地面光滑，球水平方向只受到杆对球的弹力，所以分离前，物块受力即加速度始终向左，一直加速，B错误；对小球和物块整体受力分析，受重力，杆的弹力F，地面的支持力FN，在水平方向运用牛顿第二定律得：Fcs θ＝(M＋m)ax，根据题意知，水平方向加速度逐渐变小，所以弹力变小，当恰好分离时，水平加速度为零，弹力为零，球只受重力，加速度为g，C错误，D正确。]
15.如图所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A点和B点后，立即沿原路线返回到O点，OA、OB分别与水流方向平行和垂直，且eq \x\t(OA)＝eq \x\t(OB)。若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t甲、t乙的大小关系为( )
A．t甲C．t甲>t乙 D．无法确定
C [设水速为v0，人在静水中的速度为v，eq \x\t(OA)＝eq \x\t(OB)＝x。对甲，O→A阶段人对地的速度为(v＋v0)，所用时间t1＝eq \f(x,v＋v0)；A→O阶段人对地的速度为(v－v0)，所用时间t2＝eq \f(x,v－v0)。所以甲所用时间t甲＝t1＋t2＝eq \f(x,v＋v0)＋eq \f(x,v－v0)＝eq \f(2vx,v2－v\\al(2,0))。对乙，O→B阶段和B→O阶段的实际速度v′为v和v0的合成，如图所示。由几何关系得，实际速度v′＝eq \r(v2－v\\al(2,0))，故乙所用时间t乙＝eq \f(2x,\r(v2－v\\al(2,0)))。eq \f(t甲,t乙)＝eq \f(v,\r(v2－v\\al(2,0)))>1，即t甲>t乙，故C正确。]