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2022高考物理一轮复习学案 022竖直面内圆周运动之绳”模型和“杆”模型及其临界问题
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这是一份2022高考物理一轮复习学案 022竖直面内圆周运动之绳”模型和“杆”模型及其临界问题，共11页。
一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的物体等)，称为“绳(环)约束模型”；
二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”。
2．绳、杆模型涉及的临界问题
3.竖直面内圆周运动问题的解题思路
二. 杆—球模型经典例题讲解与对点演练
（一）例题
例1：一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B．小球过最高点的最小速度是eq \r(gR)
C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
答案 A
解析 当小球在最高点所受的弹力为零时，有mg＝meq \f(v2,R)，解得v＝eq \r(gR)，即当速度v＝eq \r(gR)时，轻杆所受的弹力为零，所以A正确．小球通过最高点的最小速度为零，所以B错误．小球在最高点，若veq \r(gR)，则有：mg＋F＝meq \f(v2,R)，轻杆的作用力随着速度增大而增大，所以C、D错误．
（二）杆—球模型对点演练：
1.如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力．忽略空气阻力，重力加速度为g，则球B在最高点时( )
A．球B的速度为零
B．球A的速度大小为eq \r(2gL)
C．水平转轴对杆的作用力为1.5mg
D．水平转轴对杆的作用力为2.5mg
答案 C
解析 球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，则有mg＝meq \f(v\\al(B2,),2L)，解得vB＝eq \r(2gL)，故A错误；由于A、B两球的角速度相等，则球A的速度大小vA＝eq \f(1,2)eq \r(2gL)，故B错误；B球在最高点时，对杆无弹力，此时A球受到的重力和拉力的合力提供向心力，有F－mg＝meq \f(v\\al(A2,),L)，解得：F＝1.5mg，根据牛顿第三定律可知，C正确，D错误．
2.(2020·全国卷Ⅰ)如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长约为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计。当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为( )
A．200 N B.400 N
C．600 N D.800 N
答案 B
解析 当该同学荡到秋千支架的正下方时，根据牛顿第二定律，有2T－mg＝eq \f(mv2,r)，解得T＝410 N，即此时每根绳子平均承受的拉力约为400 N，故B正确。
3.(2019·江苏高考)(多选)如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动。座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱( )
A．运动周期为eq \f(2πR,ω)
B．线速度的大小为ωR
C．受摩天轮作用力的大小始终为mg
D．所受合力的大小始终为mω2R
答案 BD
解析 座舱的运动周期T＝eq \f(2πR,v)＝eq \f(2π,ω)，A错误；根据线速度与角速度的关系，可知座舱的线速度大小为v＝ωR，B正确；座舱做匀速圆周运动，摩天轮对座舱的作用力与座舱的重力大小不相等，其合力提供向心力，合力大小为F合＝mω2R，C错误，D正确。
4.一质量为m的汽车以2v的速度经过拱形桥面顶端时对桥面的压力为零，重力加速度为g。则该汽车以速度v经过顶端时对桥面的压力F为( )
A．0.25mg
C．0.75mg D.mg
答案 C
解析 由题意，汽车速度为2v时，其重力恰好充当向心力，则有mg＝meq \f(2v2,R)，当汽车速度变为v时，向心力减小，桥面对汽车有向上的支持力F′，则有mg－F′＝meq \f(v2,R)，联立解得F′＝0.75mg，根据牛顿第三定律可知，汽车对桥面的压力F＝0.75mg，故C正确，A、B、D错误。
5．(2020·广东省汕头市高三第一次模拟)如图甲，固定在竖直面内的光滑圆形管道内有一小球在做圆周运动，小球直径略小于管道内径，管道最低处N装有连着数字计时器的光电门，可测球经过N点时的速率vN，最高处M装有力传感器，可测出球经过M点时对管道的作用力F(竖直向上为正)。用同一小球以不同的初速度重复试验，得到F与veq \\al(2,N)的关系图像如图乙，c为图像与横轴交点的横坐标，b为图像延长线与纵轴交点的纵坐标，重力加速度为g，则下列说法中正确的是( )
A．若小球经过N点时满足veq \\al(2,N)＝c，则经过M点时对管道壁无压力
B．若小球经过N点时满足veq \\al(2,N)＝eq \r(2)c，则经过M点时对内管道壁有压力
C．小球做圆周运动的半径为eq \f(c,5g)
D．F＝－b时小球经过N点的速度等于0
答案 AC
解析 由图乙可知，若小球经过N点时满足veq \\al(2,N)＝c，则经过M点时对管道壁无压力，A正确；当小球经过N点时满足veq \\al(2,N)＝eq \r(2)c>c，则经过M点时对管道壁的压力为正值，可知此时小球对外管道壁有压力，B错误；若小球经过N点时满足veq \\al(2,N)＝c，则经过M点时满足mg＝meq \f(v\\al(2,M),R)，由机械能守恒定律可得eq \f(1,2)mveq \\al(2,N)＝mg·2R＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,M)，联立解得R＝eq \f(c,5g)，C正确；由图乙可知，F＝－b时veq \\al(2,N)>c，小球经过N点的速度大于0，D错误。
6．一水平放置的木板上放有砝码，砝码与木板间的摩擦因数为μ，如果让木板在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，假如运动中木板始终保持水平，砝码始终没有离开木板，那么下列说法正确的是 ( )
A．在通过轨道最高点时砝码处于超重状态
B．在经过轨道最低点时砝码所需静摩擦力最大
C．匀速圆周运动的速度小于eq \r(μgR)
D．在通过轨道最低点和最高点时，砝码对木板的压力之差为砝码重力的6倍
答案：C
[解析] 在通过轨道最高点时，向心加速度竖直向下，是失重，故A项错误；木板和砝码在竖直平面内做匀速圆周运动，则所受合外力提供向心力，砝码受到重力G，木板支持力FN和静摩擦力Ff，由于重力G和支持力FN在竖直方向上，因此只有当砝码所需向心力在水平方向上时静摩擦力有最大值，此位置是当木板和砝码运动到与圆心在同一水平面上时的位置，最大静摩擦力必须大于或等于砝码所需的向心力，即μFN≥meq \f(v2,R)，此时在竖直方向上FN＝mg，故v≤eq \r(μgR)，故B项错误，C项正确；在最低点，FN1－mg＝meq \f(v2,R)，在最高点，mg－FN2＝meq \f(v2,R)，则FN1－FN2＝2meq \f(v2,R)，故D项错误。
三. 绳—球模型经典例题讲解与对点演练
（一）例题
例2:(多选)如图所示，一个小球沿竖直放置的光滑圆环形轨道做圆周运动，圆环的半径为R，关于小球的运动情况，以下说法正确的是( )
A．小球在最高点对轨道的压力为零
B．小球在最低点对轨道的压力最大
C．如果小球恰好通过最高点，圆环的半径越大，小球在最低点对轨道的压力越大
D．如果小球恰好通过最高点，圆环半径的大小与在最低点对轨道的压力无关
答案 BD
解析 小球在最高点若只有重力提供向心力，则小球在最高点对轨道的压力为零，其他情况压力都不为零，故A错误；小球在最低点时速度最大，受到的支持力最大，对轨道的压力最大，故B正确；如果小球恰好通过最高点，则满足mg＝meq \f(v\\al(2,0),R)，从最高点到最低点的过程由动能定理得mg·2R＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，小球在最低点满足F－mg＝meq \f(v2,R)，联立解得F＝6mg，根据牛顿第三定律，小球在最低点对轨道的压力为6mg，与圆环半径无关，故C错误，D正确。
例3：如图甲所示，小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点时的速度大小为v，此时绳子的拉力大小为FT，拉力FT与速度的平方v2的关系如图乙所示，图象中的数据a和b包括重力加速度g都为已知量，以下说法正确的是( )
A．数据a与小球的质量有关
B．数据b与圆周轨道半径有关
C．比值eq \f(b,a)只与小球的质量有关，与圆周轨道半径无关
D．利用数据a、b和g能够求出小球的质量和圆周轨道半径
答案 D
解析 在最高点对小球受力分析，由牛顿第二定律有FT＋mg＝meq \f(v2,R)，可得图线的函数表达式为FT＝meq \f(v2,R)－mg，题图乙中横轴截距为a，则有0＝meq \f(a,R)－mg，得a＝gR，A错误；图线过点(2a，b)，则b＝meq \f(2a,R)－mg，可得b＝mg，B错误；eq \f(b,a)＝eq \f(m,R)，C错误；由b＝mg得m＝eq \f(b,g)，由a＝gR得R＝eq \f(a,g)，则D正确．
（二）绳—球模型对点演练：
1. 如图甲所示，轻绳一端固定在O点，另一端固定一小球(可看成质点)，让小球在竖直平面内做圆周运动．改变小球通过最高点时的速度大小v，测得相应的轻绳弹力大小F，得到F－v2图象如图乙所示，已知图线的延长线与纵轴交点坐标为(0，－b)，斜率为k.不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．该小球的质量为bg
B．小球运动的轨迹半径为eq \f(b,kg)
C．图线与横轴的交点表示小球所受的合外力为零
D．当v2＝a时，小球的向心加速度为g
答案 B
解析 小球在最高点时受到的拉力为F，则有：
F＋mg＝eq \f(mv2,R)，
解得：F＝meq \f(v2,R)－mg
结合题图乙可知：mg＝b，即m＝eq \f(b,g)，斜率为k＝eq \f(m,R)＝eq \f(2b,a)
解得：R＝eq \f(m,k)＝eq \f(b,kg)，故A错误，B正确；
图线与横轴的交点表示小球所受的拉力为零，即合外力等于重力时的情况，故C错误；根据向心加速度公式可知a′＝eq \f(v2,R)＝eq \f(a,\f(b,kg))＝eq \f(akg,b)＝2g，故D错误．
2. 如图所示，用长为L的轻绳把一个小铁球挂在离水平地面高为3L的O点，小铁球以O为圆心在竖直面内做圆周运动且恰好能到达最高点A处，不计空气阻力，重力加速度为g，若运动到最高点时轻绳被切断，则小铁球落到地面时速度的大小为( )
A.eq \r(3gL) B.eq \r(6gL)
C.4eq \r(gL) D.3eq \r(gL)
答案 D
解析 小铁球刚好到达最高点时，绳的拉力为零，小铁球的重力提供向心力，有mg＝meq \f(v\\al(2,1),L)，在最高点切断轻绳后，小铁球做平抛运动落地，对这一过程由动能定理有：mg·4L＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,2)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)，联立可得小铁球落地速度大小：v2＝3eq \r(gL)，故A、B、C错误，D正确。
3．(2016·全国卷Ⅱ)小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短。将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示。将两球由静止释放。在各自轨迹的最低点 ( )
A．P球的速度一定大于Q球的速度
B．P球的动能一定小于Q球的动能
C．P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力
D．P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度
答案：C
[解析] 小球从释放到最低点的过程中，只有重力做功，由机械能守恒定律可得，mgL＝eq \f(1,2)mv2，v＝eq \r(2gL)，绳长L越长，小球到最低点时的速度越大，A项错误；由于P球的质量大于Q球的质量，由Ek＝eq \f(1,2)mv2可知，不能确定两球动能的大小关系，B项错误；在最低点，根据牛顿第二定律可知，F－mg＝meq \f(v2,L)，求得F＝3mg，由于P球的质量大于Q球的质量，因此C项正确；由a＝eq \f(v2,L)＝2g可知，两球在最低点的向心加速度相等，D项错误。
4．如图所示，长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为L。重力加速度大小为g。现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，两根轻绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v时，每根轻绳的拉力大小为( )
A．eq \r(3)mg B．eq \f(4,3)eq \r(3)mg C．3mg D．2eq \r(3)mg
答案：A
解析：小球在运动过程中，A、B两点与小球所在位置构成等边三角形，由此可知，小球圆周运动的半径R＝L·sin 60°＝eq \f(\r(3),2)L，两绳与小球运动半径方向间的夹角为30°，由题意，小球在最高点的速率为v时，mg＝meq \f(v2,R)，当小球在最高点的速率为2v时，应有：F＋mg＝meq \f(2v2,R)，可解得：F＝3mg。由2FTcs 30°＝F，可得两绳的拉力大小均为FT＝eq \r(3)mg，A项正确。
5．如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是( )
A．过山车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来
B．人在最高点时对座位不可能产生大小为mg的压力
C．人在最低点时对座位的压力等于mg
D．人在最低点时对座位的压力大于mg
答案：D
解析：人过最高点时，FN＋mg＝meq \f(v2,R)，当v≥eq \r(gR)时，不用保险带，人也不会掉下来，当v＝eq \r(2gR)时，人在最高点时对座位产生的压力为mg，A、B均错误；人在最低点具有竖直向上的加速度，处于超重状态，故人此时对座位的压力大于mg，C错误，D正确。
6．(2017·江苏高考)如图所示，一小物块被夹子夹紧，夹子通过轻绳悬挂在小环上，小环套在水平光滑细杆上。物块质量为M，到小环的距离为L，其两侧面与夹子间的最大静摩擦力均为F。小环和物块以速度v向右匀速运动，小环碰到杆上的钉子P后立刻停止，物块向上摆动。整个过程中，物块在夹子中没有滑动。小环和夹子的质量均不计，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．物块向右匀速运动时，绳中的张力等于2F
B．小环碰到钉子P时，绳中的张力大于2F
C．物块上升的最大高度为eq \f(2v2,g)
D．速度v不能超过 eq \r(\f(2F－MgL,M))
答案 D
解析 物块受到的摩擦力小于等于最大静摩擦力，即Mg≤2F。物块向右匀速运动时，物块处于平衡状态，绳子中的张力T＝Mg≤2F，A错误；小环碰到钉子时，物块做圆周运动，根据牛顿第二定律和向心力公式有：T－Mg＝eq \f(Mv2,L)，T＝Mg＋eq \f(Mv2,L)，所以绳子中的张力与2F大小关系不确定，B错误；物块运动到达最高点，根据动能定理有－Mgh＝0－eq \f(1,2)Mv2，则最大高度h＝eq \f(v2,2g)，C错误；环碰到钉子后，物块做圆周运动，在最低点，物块与夹子间的静摩擦力达到最大值时速度最大，由牛顿第二定律知：2F－Mg＝eq \f(Mv2,L)，故最大速度v＝ eq \r(\f(2F－MgL,M))，D正确。
7.(人教版必修第二册·P30·T4改编)质量为m的小球，用长为l的细线悬挂在O点，在O点的正下方eq \f(l,2)处有一光滑的钉子P，把小球拉到与钉子P等高的位置，细线被钉子挡住。如图让小球从静止释放，当小球第一次经过最低点时( )
A．小球运动的线速度突然减小
B．小球的角速度突然减小
C．小球的向心加速度突然增大
D．悬线的拉力突然增大
答案 B
解析 当小球第一次经过最低点时，由于重力与悬线的拉力都与速度垂直，所以小球的线速度大小不变，故A错误；根据v＝rω，可知线速度大小不变，小球做圆周运动的半径变大，则角速度变小，故B正确；根据向心加速度公式an＝eq \f(v2,r)可得，线速度大小不变，轨迹半径变大，则向心加速度变小，故C错误；悬线拉力F＝mg＋meq \f(v2,r)＝mg＋man，故悬线的拉力突然减小，D错误。
8．如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，有一根长为L＝0.8 m 的轻杆，一端固定在O点，另一端系一质量为m＝0.2 kg的小球，沿斜面做圆周运动，取g＝10 m/s2，若要小球能通过最高点A，则小球在最低点B的最小速度是 ( )
A．4 m/s B．2eq \r(10) m/s
C．2eq \r(5) m/s D．2eq \r(2) m/s
答案：A
解析：小球受轻杆控制，在A点的最小速度为零，由2mgLsin α＝eq \f(1,2)mvB2，可得vB＝4 m/s，A正确。绳模型
杆模型
常见
类型
均是没有支撑的小球
均是有支撑的小球
受力
特征
除重力外，物体受到的弹力向下或等于零
除重力外，物体受到的弹力向下、等于零或向上
受力
示意图
过最高
点的临
界条件
由mg＝meq \f(v2,r)得v临＝eq \r(gr)
由小球恰能做圆周运动得v临＝0
讨论
分析
(1)过最高点时，v≥eq \r(gr)，FN＋mg＝meq \f(v2,r)，绳、圆轨道对球产生弹力FN
(2)不能过最高点时，v(1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心
(2)当0(3)当v＝eq \r(gr)时，FN＝0
(4)当v>eq \r(gr)时，FN＋mg＝meq \f(v2,r)，FN指向圆心，并随v的增大而增大
一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的物体等)，称为“绳(环)约束模型”；
二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”。
2．绳、杆模型涉及的临界问题
3.竖直面内圆周运动问题的解题思路
二. 杆—球模型经典例题讲解与对点演练
（一）例题
例1：一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B．小球过最高点的最小速度是eq \r(gR)
C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
答案 A
解析 当小球在最高点所受的弹力为零时，有mg＝meq \f(v2,R)，解得v＝eq \r(gR)，即当速度v＝eq \r(gR)时，轻杆所受的弹力为零，所以A正确．小球通过最高点的最小速度为零，所以B错误．小球在最高点，若v
（二）杆—球模型对点演练：
1.如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力．忽略空气阻力，重力加速度为g，则球B在最高点时( )
A．球B的速度为零
B．球A的速度大小为eq \r(2gL)
C．水平转轴对杆的作用力为1.5mg
D．水平转轴对杆的作用力为2.5mg
答案 C
解析 球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，则有mg＝meq \f(v\\al(B2,),2L)，解得vB＝eq \r(2gL)，故A错误；由于A、B两球的角速度相等，则球A的速度大小vA＝eq \f(1,2)eq \r(2gL)，故B错误；B球在最高点时，对杆无弹力，此时A球受到的重力和拉力的合力提供向心力，有F－mg＝meq \f(v\\al(A2,),L)，解得：F＝1.5mg，根据牛顿第三定律可知，C正确，D错误．
2.(2020·全国卷Ⅰ)如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长约为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计。当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为( )
A．200 N B.400 N
C．600 N D.800 N
答案 B
解析 当该同学荡到秋千支架的正下方时，根据牛顿第二定律，有2T－mg＝eq \f(mv2,r)，解得T＝410 N，即此时每根绳子平均承受的拉力约为400 N，故B正确。
3.(2019·江苏高考)(多选)如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动。座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱( )
A．运动周期为eq \f(2πR,ω)
B．线速度的大小为ωR
C．受摩天轮作用力的大小始终为mg
D．所受合力的大小始终为mω2R
答案 BD
解析 座舱的运动周期T＝eq \f(2πR,v)＝eq \f(2π,ω)，A错误；根据线速度与角速度的关系，可知座舱的线速度大小为v＝ωR，B正确；座舱做匀速圆周运动，摩天轮对座舱的作用力与座舱的重力大小不相等，其合力提供向心力，合力大小为F合＝mω2R，C错误，D正确。
4.一质量为m的汽车以2v的速度经过拱形桥面顶端时对桥面的压力为零，重力加速度为g。则该汽车以速度v经过顶端时对桥面的压力F为( )
A．0.25mg
C．0.75mg D.mg
答案 C
解析 由题意，汽车速度为2v时，其重力恰好充当向心力，则有mg＝meq \f(2v2,R)，当汽车速度变为v时，向心力减小，桥面对汽车有向上的支持力F′，则有mg－F′＝meq \f(v2,R)，联立解得F′＝0.75mg，根据牛顿第三定律可知，汽车对桥面的压力F＝0.75mg，故C正确，A、B、D错误。
5．(2020·广东省汕头市高三第一次模拟)如图甲，固定在竖直面内的光滑圆形管道内有一小球在做圆周运动，小球直径略小于管道内径，管道最低处N装有连着数字计时器的光电门，可测球经过N点时的速率vN，最高处M装有力传感器，可测出球经过M点时对管道的作用力F(竖直向上为正)。用同一小球以不同的初速度重复试验，得到F与veq \\al(2,N)的关系图像如图乙，c为图像与横轴交点的横坐标，b为图像延长线与纵轴交点的纵坐标，重力加速度为g，则下列说法中正确的是( )
A．若小球经过N点时满足veq \\al(2,N)＝c，则经过M点时对管道壁无压力
B．若小球经过N点时满足veq \\al(2,N)＝eq \r(2)c，则经过M点时对内管道壁有压力
C．小球做圆周运动的半径为eq \f(c,5g)
D．F＝－b时小球经过N点的速度等于0
答案 AC
解析 由图乙可知，若小球经过N点时满足veq \\al(2,N)＝c，则经过M点时对管道壁无压力，A正确；当小球经过N点时满足veq \\al(2,N)＝eq \r(2)c>c，则经过M点时对管道壁的压力为正值，可知此时小球对外管道壁有压力，B错误；若小球经过N点时满足veq \\al(2,N)＝c，则经过M点时满足mg＝meq \f(v\\al(2,M),R)，由机械能守恒定律可得eq \f(1,2)mveq \\al(2,N)＝mg·2R＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,M)，联立解得R＝eq \f(c,5g)，C正确；由图乙可知，F＝－b时veq \\al(2,N)>c，小球经过N点的速度大于0，D错误。
6．一水平放置的木板上放有砝码，砝码与木板间的摩擦因数为μ，如果让木板在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，假如运动中木板始终保持水平，砝码始终没有离开木板，那么下列说法正确的是 ( )
A．在通过轨道最高点时砝码处于超重状态
B．在经过轨道最低点时砝码所需静摩擦力最大
C．匀速圆周运动的速度小于eq \r(μgR)
D．在通过轨道最低点和最高点时，砝码对木板的压力之差为砝码重力的6倍
答案：C
[解析] 在通过轨道最高点时，向心加速度竖直向下，是失重，故A项错误；木板和砝码在竖直平面内做匀速圆周运动，则所受合外力提供向心力，砝码受到重力G，木板支持力FN和静摩擦力Ff，由于重力G和支持力FN在竖直方向上，因此只有当砝码所需向心力在水平方向上时静摩擦力有最大值，此位置是当木板和砝码运动到与圆心在同一水平面上时的位置，最大静摩擦力必须大于或等于砝码所需的向心力，即μFN≥meq \f(v2,R)，此时在竖直方向上FN＝mg，故v≤eq \r(μgR)，故B项错误，C项正确；在最低点，FN1－mg＝meq \f(v2,R)，在最高点，mg－FN2＝meq \f(v2,R)，则FN1－FN2＝2meq \f(v2,R)，故D项错误。
三. 绳—球模型经典例题讲解与对点演练
（一）例题
例2:(多选)如图所示，一个小球沿竖直放置的光滑圆环形轨道做圆周运动，圆环的半径为R，关于小球的运动情况，以下说法正确的是( )
A．小球在最高点对轨道的压力为零
B．小球在最低点对轨道的压力最大
C．如果小球恰好通过最高点，圆环的半径越大，小球在最低点对轨道的压力越大
D．如果小球恰好通过最高点，圆环半径的大小与在最低点对轨道的压力无关
答案 BD
解析 小球在最高点若只有重力提供向心力，则小球在最高点对轨道的压力为零，其他情况压力都不为零，故A错误；小球在最低点时速度最大，受到的支持力最大，对轨道的压力最大，故B正确；如果小球恰好通过最高点，则满足mg＝meq \f(v\\al(2,0),R)，从最高点到最低点的过程由动能定理得mg·2R＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，小球在最低点满足F－mg＝meq \f(v2,R)，联立解得F＝6mg，根据牛顿第三定律，小球在最低点对轨道的压力为6mg，与圆环半径无关，故C错误，D正确。
例3：如图甲所示，小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点时的速度大小为v，此时绳子的拉力大小为FT，拉力FT与速度的平方v2的关系如图乙所示，图象中的数据a和b包括重力加速度g都为已知量，以下说法正确的是( )
A．数据a与小球的质量有关
B．数据b与圆周轨道半径有关
C．比值eq \f(b,a)只与小球的质量有关，与圆周轨道半径无关
D．利用数据a、b和g能够求出小球的质量和圆周轨道半径
答案 D
解析 在最高点对小球受力分析，由牛顿第二定律有FT＋mg＝meq \f(v2,R)，可得图线的函数表达式为FT＝meq \f(v2,R)－mg，题图乙中横轴截距为a，则有0＝meq \f(a,R)－mg，得a＝gR，A错误；图线过点(2a，b)，则b＝meq \f(2a,R)－mg，可得b＝mg，B错误；eq \f(b,a)＝eq \f(m,R)，C错误；由b＝mg得m＝eq \f(b,g)，由a＝gR得R＝eq \f(a,g)，则D正确．
（二）绳—球模型对点演练：
1. 如图甲所示，轻绳一端固定在O点，另一端固定一小球(可看成质点)，让小球在竖直平面内做圆周运动．改变小球通过最高点时的速度大小v，测得相应的轻绳弹力大小F，得到F－v2图象如图乙所示，已知图线的延长线与纵轴交点坐标为(0，－b)，斜率为k.不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．该小球的质量为bg
B．小球运动的轨迹半径为eq \f(b,kg)
C．图线与横轴的交点表示小球所受的合外力为零
D．当v2＝a时，小球的向心加速度为g
答案 B
解析 小球在最高点时受到的拉力为F，则有：
F＋mg＝eq \f(mv2,R)，
解得：F＝meq \f(v2,R)－mg
结合题图乙可知：mg＝b，即m＝eq \f(b,g)，斜率为k＝eq \f(m,R)＝eq \f(2b,a)
解得：R＝eq \f(m,k)＝eq \f(b,kg)，故A错误，B正确；
图线与横轴的交点表示小球所受的拉力为零，即合外力等于重力时的情况，故C错误；根据向心加速度公式可知a′＝eq \f(v2,R)＝eq \f(a,\f(b,kg))＝eq \f(akg,b)＝2g，故D错误．
2. 如图所示，用长为L的轻绳把一个小铁球挂在离水平地面高为3L的O点，小铁球以O为圆心在竖直面内做圆周运动且恰好能到达最高点A处，不计空气阻力，重力加速度为g，若运动到最高点时轻绳被切断，则小铁球落到地面时速度的大小为( )
A.eq \r(3gL) B.eq \r(6gL)
C.4eq \r(gL) D.3eq \r(gL)
答案 D
解析 小铁球刚好到达最高点时，绳的拉力为零，小铁球的重力提供向心力，有mg＝meq \f(v\\al(2,1),L)，在最高点切断轻绳后，小铁球做平抛运动落地，对这一过程由动能定理有：mg·4L＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,2)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)，联立可得小铁球落地速度大小：v2＝3eq \r(gL)，故A、B、C错误，D正确。
3．(2016·全国卷Ⅱ)小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短。将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示。将两球由静止释放。在各自轨迹的最低点 ( )
A．P球的速度一定大于Q球的速度
B．P球的动能一定小于Q球的动能
C．P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力
D．P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度
答案：C
[解析] 小球从释放到最低点的过程中，只有重力做功，由机械能守恒定律可得，mgL＝eq \f(1,2)mv2，v＝eq \r(2gL)，绳长L越长，小球到最低点时的速度越大，A项错误；由于P球的质量大于Q球的质量，由Ek＝eq \f(1,2)mv2可知，不能确定两球动能的大小关系，B项错误；在最低点，根据牛顿第二定律可知，F－mg＝meq \f(v2,L)，求得F＝3mg，由于P球的质量大于Q球的质量，因此C项正确；由a＝eq \f(v2,L)＝2g可知，两球在最低点的向心加速度相等，D项错误。
4．如图所示，长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为L。重力加速度大小为g。现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，两根轻绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v时，每根轻绳的拉力大小为( )
A．eq \r(3)mg B．eq \f(4,3)eq \r(3)mg C．3mg D．2eq \r(3)mg
答案：A
解析：小球在运动过程中，A、B两点与小球所在位置构成等边三角形，由此可知，小球圆周运动的半径R＝L·sin 60°＝eq \f(\r(3),2)L，两绳与小球运动半径方向间的夹角为30°，由题意，小球在最高点的速率为v时，mg＝meq \f(v2,R)，当小球在最高点的速率为2v时，应有：F＋mg＝meq \f(2v2,R)，可解得：F＝3mg。由2FTcs 30°＝F，可得两绳的拉力大小均为FT＝eq \r(3)mg，A项正确。
5．如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是( )
A．过山车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来
B．人在最高点时对座位不可能产生大小为mg的压力
C．人在最低点时对座位的压力等于mg
D．人在最低点时对座位的压力大于mg
答案：D
解析：人过最高点时，FN＋mg＝meq \f(v2,R)，当v≥eq \r(gR)时，不用保险带，人也不会掉下来，当v＝eq \r(2gR)时，人在最高点时对座位产生的压力为mg，A、B均错误；人在最低点具有竖直向上的加速度，处于超重状态，故人此时对座位的压力大于mg，C错误，D正确。
6．(2017·江苏高考)如图所示，一小物块被夹子夹紧，夹子通过轻绳悬挂在小环上，小环套在水平光滑细杆上。物块质量为M，到小环的距离为L，其两侧面与夹子间的最大静摩擦力均为F。小环和物块以速度v向右匀速运动，小环碰到杆上的钉子P后立刻停止，物块向上摆动。整个过程中，物块在夹子中没有滑动。小环和夹子的质量均不计，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．物块向右匀速运动时，绳中的张力等于2F
B．小环碰到钉子P时，绳中的张力大于2F
C．物块上升的最大高度为eq \f(2v2,g)
D．速度v不能超过 eq \r(\f(2F－MgL,M))
答案 D
解析 物块受到的摩擦力小于等于最大静摩擦力，即Mg≤2F。物块向右匀速运动时，物块处于平衡状态，绳子中的张力T＝Mg≤2F，A错误；小环碰到钉子时，物块做圆周运动，根据牛顿第二定律和向心力公式有：T－Mg＝eq \f(Mv2,L)，T＝Mg＋eq \f(Mv2,L)，所以绳子中的张力与2F大小关系不确定，B错误；物块运动到达最高点，根据动能定理有－Mgh＝0－eq \f(1,2)Mv2，则最大高度h＝eq \f(v2,2g)，C错误；环碰到钉子后，物块做圆周运动，在最低点，物块与夹子间的静摩擦力达到最大值时速度最大，由牛顿第二定律知：2F－Mg＝eq \f(Mv2,L)，故最大速度v＝ eq \r(\f(2F－MgL,M))，D正确。
7.(人教版必修第二册·P30·T4改编)质量为m的小球，用长为l的细线悬挂在O点，在O点的正下方eq \f(l,2)处有一光滑的钉子P，把小球拉到与钉子P等高的位置，细线被钉子挡住。如图让小球从静止释放，当小球第一次经过最低点时( )
A．小球运动的线速度突然减小
B．小球的角速度突然减小
C．小球的向心加速度突然增大
D．悬线的拉力突然增大
答案 B
解析 当小球第一次经过最低点时，由于重力与悬线的拉力都与速度垂直，所以小球的线速度大小不变，故A错误；根据v＝rω，可知线速度大小不变，小球做圆周运动的半径变大，则角速度变小，故B正确；根据向心加速度公式an＝eq \f(v2,r)可得，线速度大小不变，轨迹半径变大，则向心加速度变小，故C错误；悬线拉力F＝mg＋meq \f(v2,r)＝mg＋man，故悬线的拉力突然减小，D错误。
8．如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，有一根长为L＝0.8 m 的轻杆，一端固定在O点，另一端系一质量为m＝0.2 kg的小球，沿斜面做圆周运动，取g＝10 m/s2，若要小球能通过最高点A，则小球在最低点B的最小速度是 ( )
A．4 m/s B．2eq \r(10) m/s
C．2eq \r(5) m/s D．2eq \r(2) m/s
答案：A
解析：小球受轻杆控制，在A点的最小速度为零，由2mgLsin α＝eq \f(1,2)mvB2，可得vB＝4 m/s，A正确。绳模型
杆模型
常见
类型
均是没有支撑的小球
均是有支撑的小球
受力
特征
除重力外，物体受到的弹力向下或等于零
除重力外，物体受到的弹力向下、等于零或向上
受力
示意图
过最高
点的临
界条件
由mg＝meq \f(v2,r)得v临＝eq \r(gr)
由小球恰能做圆周运动得v临＝0
讨论
分析
(1)过最高点时，v≥eq \r(gr)，FN＋mg＝meq \f(v2,r)，绳、圆轨道对球产生弹力FN
(2)不能过最高点时，v
(2)当0
(4)当v>eq \r(gr)时，FN＋mg＝meq \f(v2,r)，FN指向圆心，并随v的增大而增大
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