2023-2024学年四川省泸州市泸县四中高一（上）期末数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年四川省泸州市泸县四中高一（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知命题p：“∀x≥0，x2−x+1≥0”，则它的否定为( )
A. ∀x<0，x2−x+1<0B. ∃x<0，x2−x+1<0
C. ∀x≥0，x2−x+1<0D. ∃x≥0，x2−x+1<0
2.设集合U={x|0A. {2,3,4}B. {2,3,4,6}C. {2,4,6,8}D. {2,3,4,6,8}
3.已知幂函数y=f(x)的图象过(2, 22)，则可以求出幂函数y=f(x)是( )
A. f(x)=x12B. f(x)=x2C. f(x)=x32D. f(x)=x−12
4.不等式x−3x−2≥0的解集为( )
A. {x|x≤2，或x≥3}B. {x|2≤x≤3}
C. {x|x<2，或x≥3}D. {x|25.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期是π，当x=π6时，函数f(x)取得最小值，则f(π)=( )
A. − 32B. −12C. 12D. 32
6.若x>0,y>0,且1x+9y=1，则x+y的最小值为( )
A. 6B. 12C. 16D. 24
7.中国茶文化博大精深，茶水口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感，已知室内的温度为25℃，设茶水温度从85℃开始，经过x分钟后的温度为y℃.y与x的函数关系式近似表示为y=60×0.923x+25，那么在25℃室温下，由此估计，刚泡好的茶水大约需要放置多少分钟才能达到最佳口感(参考数据：1n0.923≈−0.08，ln12−ln7≈0.54)( )
A. 8B. 7C. 6D. 5
8.已知f(x)是定义域为(−∞,+∞)的奇函数，满足f(1−x)=f(1+x)，若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2021)=( )
A. 50B. 2C. 0D. −50
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合A={2,3,a2−3}，B={3,2a}，若B⊆A，则实数a的值可以是( )
A. 1B. −1C. −3D. 3
10.关于x的不等式x2−ax+3>0对任意x∈R恒成立的充分不必要条件有( )
A. 0≤a≤2B. −1≤a≤3C. −1≤a≤4D. −411.将函数f(x)=sin(x+π6)的图象上所有点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，再将图象向右平移π4个单位，得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的是( )
A. g(0)= 32B. x=5π12是g(x)图象的一条对称轴
C. (−7π12,0)是g(x)图象的一个对称中心D. g(x)在(π2,5π6)上单调递减
12.定义在R上的函数f(x)满足f(x+4)=f(x)，函数f(x+1)为偶函数，且当x∈[1,3]时，f(x)=−x2+2x，则( )
A. f(x)的图象关于点(2,0)对称B. f(x)的图象关于直线x=2023对称
C. f(x)的值域为[−3,1]D. 3f(x)−x+2=0的实数根个数为6
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.扇形的圆心角为π3，它所对的弧长是π3cm，则此扇形的面积为______ cm2．
14.函数f(x)=2x,x≤0−x2+1,x>0的值域为______ ．
15.已知函数f(x)满足f(x)=−f(x+1)，当x∈(0,1)时，函数f(x)=3x，则f(lg1319)= ．
16.已知函数f(x)=x2+4a,x>01+lga|x−1|,x≤0(a>0且a≠1)在R上单调递增，且关于x的方程|f(x)|=x+3恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
求值：
①80.25×42+(2764)−13−(−2020)0；
②2lg32−lg3329+lg38．
18.(本小题12分)
已知sinα−csα3csα+2sinα=17．
(1)求tanα；
(2)求2sin2α−sinαcsα的值．
19.(本小题12分)
已知集合A={x|m−1≤x≤2m+3}，____．
(1)当m=1时，求A∪B，(∁RA)∩B；
(2)若A∩B=A，求实数m的取值范围.试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答．
①函数f(x)= −x2+4的定义域为集合B；
②不等式|x|≤2的解集为B．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20.(本小题12分)
定义在(0,+∞)上的函数y=f(x)，满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(13)=1，当x>1时，f(x)<0，
(1)求f(1)的值；
(2)证明f(x)在(0,+∞)上单调递减；
(3)解关于x的不等式f(x)+f(x−6)>−3．
21.(本小题12分)
已知某工厂要设计一个部件(如图阴影部分所示)，要求从圆形铁片上进行裁剪，部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为AD=y，CD=x(单位：cm)，且要求y> 312x，部件的面积是 39cm2．
(1)求y关于x的函数表达式，并求定义域；
(2)为了节省材料，请问x取何值时，所用到的圆形铁片面积最小，并求出最小值．
22.(本小题12分)
设函数f(x)=lga(2x+12x)(a>1)．
(1)判断函数的奇偶性；
(2)证明函数f(x)在(0,+∞)上是增函数；
(3)若g(x)=lga(2x+12x+1)(a>1)，是否存在常数m，n∈(0,+∞)，使函数g(x)在[m,n]上的值域为[1+mlga2,1+nlga2]，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．
利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．
【解答】
解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，
命题p：“∀x≥0，x2−x+1≥0”，
则它的否定为：∃x≥0，x2−x+1<0．
故答案选：D．
2.【答案】D
【解析】解：∵集合U={x|0∴B={2,3,4,6,8}．
故选D
列举出集合U的元素，根据A与B交集，得到元素2与3属于A，根据A与B补集的交集，得到1，5，7不属于B，再由A补集与B补集的交集得到9既不属于A又不属于B，即可确定出集合B．
此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：设幂函数的解析式为y=xa，
∵幂函数y=f(x)的图象过点(2, 22)，
∴ 22=2a，
解得a=−12
∴f(x)=x−12
故选：D．
设出函数的解析式，根据幂函数y=f(x)的图象过点(2, 22)，构造方程求出指数a的值，即可得到函数的解析式．
本题主要考查了函数解析式的求解及常用方法，其中对于已经知道函数类型求解析式的问题，要使用待定系数法，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：∵x−3x−2≥0⇔(x−3)(x−2)≥0x−2≠0⇔x≥3或x≤2x≠2，
∴不等式x−3x−2≥0的解集为{x|x<2或x≥3}．
故选：C．
利用分式不等式的解法即可求得x−3x−2≥0的解集．
本题考查分式不等式的解法，考查转化思想，属于中档题．
5.【答案】B
【解析】解：因为函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期是π，则ω=2ππ=2，则f(x)=sin(2x+φ)，
当x=π6时，函数f(x)取得最小值，则2×π6+φ=−π2+2kπ(k∈Z)⇒φ=−5π6+2kπ(k∈Z)，
所以f(x)=sin(2x−5π6+2kπ)=sin(2x−5π6)，其中k∈Z，
因此，f(π)=sin(2π−5π6)=sin7π6=−sinπ6=−12．
故选：B．
由函数f(x)的最小正周期可求得ω的值，由当x=π6时，函数f(x)取得最小值，可求出φ的值，可得出函数f(x)的解析式，然后代值计算可得
f(π)的值．
本题考查了三角函属求值，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：∵1x+9y=1，
∴x+y
=(1x+9y)(x+y)
=10+9xy+yx
≥10+2 9xy⋅yx
=10+6=16
当且仅当9xy=yx时，取等号．
故选：C．
x+y等于x+y乘以1x+9y，展开，利用基本不等式；注意等号成立的条件．
本题考查当一个整数式子与一个分式式子在一个题中出现时，求一个式子的最值，常将两个式子乘起，展开，利用基本不等式．考查利用基本不等式求最值要注意：一正、二定、三相等．
7.【答案】B
【解析】解：由题意降至60°C时口感最佳，即y=60，带入函数关系式即得60=60×0.923x+25，
即0.923x=712，两边同时取对数，得xln0.923=ln7−ln12，
所以x=ln7−ln12ln0.923≈≈7，
故选：B．
根据题意带入数据，列出等量关系式，利用对数的运算性质化简即可求得．
本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：∵f(x)是定义域为(−∞,+∞)的奇函数，∴f(x)的图象关于原点对称，
∵f(1−x)=f(1+x)，∴f(x)的图象关于x=1对称，
∴f(x)是以4为周期的周期函数，
又∵f(1)=2，f(2)=f(0)=0，f(3)=f(−1)=−f(1)=−2，f(4)=f(0)=0，
∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2021)=505×(f(1)+f(2)+f(3)+f(4))+f(1)=0+2=2，
故选：B．
根据条件可判断函数f(x)是以4为周期的周期函数，从而求得．
本题考查了函数的性质的判断与应用，注意记住周期性的结论，属于基础题．
9.【答案】ABD
【解析】解：因为集合A={2,3,a2−3}，B={3,2a}，
若B⊆A，则2a=2或2a=a2−3，
解得a=1或a=−1或a=3，
经检验均符合题意．
故选：ABD．
由已知结合结合的包含关系即可求解．
本题主要考查了集合与集合关系的应用，属于基础题．
10.【答案】AB
【解析】解：当不等式x2−ax+3>0对任意x∈R恒成立时，有Δ=a2−4×3<0，解得−2 3记A=(−2 3,2 3)，由题意，原不等式恒成立的充分不必要条件，对应的集合为A的真子集，
对照各个选项，可知A、B两项符合条件．
故选：AB．
根据题意，先求出不等式x2−ax+3>0对任意x∈R恒成立的充要条件，再由充分不必要条件的性质，得出正确答案．
本题主要考查一元二次不等式恒成立、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
11.【答案】BD
【解析】解：将函数f(x)=sin(x+π6)的图象上所有点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，
可得y=sin(2x+π6)的图象；
再将图象向右平移π4个单位，得到函数g(x)=sin(2x−π3)的图象，
所以，g(0)=sin(−π3)=− 32，故A项错误；
因为g(5π12)=sinπ2=1，所以x=5π12是g(x)图象的一条对称轴，故B项正确；
因为g(−7π12)=sin(−3π2)=1，故(−7π12,0)不是g(x)图象的对称中心，故C项错误．
当x∈(π2,5π6)时，2x−π3∈(2π3,4π3)，因为y=sinx在(2π3,4π3)上单调递减，
所以，g(x)在(π2,5π6)上单调递减，D项正确，
故选：BD．
由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，注意判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
12.【答案】BC
【解析】解：由题意可知当x∈[1,3]时，f(x)=−x2+2x，
故f(1)=−12+2×1=1，f(3)=−32+2×3=−3，则f(3)≠−f(1)，
即f(x)的图象不关于点(2,0)对称，A错误；
由于函数f(x)满足f(x+4)=f(x)，故4为函数的周期；
函数f(x+1)为偶函数，则f(x)的图象关于直线x=1对称，即有f(2−x)=f(x)，
则f(x+4)=f(2−x)，∴f(4+x)=f(2−x)，故f(x)的图象也关于直线x=3对称，
由于4为函数的周期，故x=1+4k，k∈Z和x=3+4k，k∈Z皆为f(x)的图象的对称轴，
当k=505时，x=3+4k=2023，故B正确；
由函数性质作出函数的图象如图，可知函数值域为[−3,1]，C正确；
方程3f(x)−x+2=0的根，即y=f(x)与 y=13(x−2)的图象的交点的横坐标，
因为当x=−5时，y=13(−5−2)=−73>−3，
当x=−7时，y=13(−9−2)=−3，当x=5时，y=13(5−2)=1，
所以y=f(x)与y=13(x−2)的图象共有7个交点，
即方程3f(x)−x+2=0的实数根个数为7，故D错误，
故选：BC．
利用f(3)≠−f(1)可判断A；根据函数满足的性质推得x=1+4k，k∈Z和x=3+4k，k∈Z皆为f(x)的图象的对称轴，可判断B；数形结合判断C；数形结合，将3f(x)−x+2=0的实数根个数问题转化为函数图象的交点问题，判断D．
本题考查抽象函数的奇偶性以对称性结合问题，考查数形结合及运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】π6
【解析】解：设扇形的半径为R，弧长为l，面积为S，则：
l=|α|R，即π3=π3×R，所以R=1，
所以S=12lR=π6．
故答案为：π6．
根据弧长公式算出半径，再利用扇形的面积公式求解．
本题考查扇形的面积公式、弧长公式等，属于基础题．
14.【答案】(−∞,1]
【解析】解：∵x≤0，
∴0∵x>0，
∴f(x)=−x2+1<1，
综上所述，f(x)≤1，
故答案为：(−∞,1]．
按分段函数分段求f(x)的取值范围，从而解得．
本题考查了分段函数的应用及分类讨论的思想应用．
15.【答案】−2719
【解析】【分析】
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
推导出f(x+2)=−f(x+1)=f(x)，由此利用x∈(0,1)时，函数f(x)=3x，得到f(lg1319)=−f(lg1319+3)，由此能求出结果．
【解答】
解：∵函数f(x)满足f(x)=−f(x+1)，
∴f(x+2)=−f(x+1)=f(x)，
当x∈(0,1)时，函数f(x)=3x，
∴f(lg1319)=f(lg1319+2)
=−f(lg1319+3)
=−3lg1319×33
=−2719．
故答案为：−2719．
16.【答案】[14,34]∪{1316}
【解析】解：∵f(x)是R上的单调递增函数，
∴y=1+lga|x−1|在(−∞,0]上单调递增，
可得0且0+4a≥1+0，即14≤a<1，
作出y=|f(x)|和y=x+3的函数示意图如图所示：
由图象可知|f(x)|=x+3在(0,+∞)上有且只有一解，
可得4a≤3，或x2+4a=x+3，即有Δ=1−4(4a−3)=0，
即有14≤a≤34或a=1316；
由1+lga|x−1|=0，解得x=1−1a≤−3，即x≤0时，有且只有一解．
则a的范围是[14,34]∪{1316}.
故答案为：[14,34]∪{1316}.
由题意可知f(x)在两段上均为增函数，且f(x)在(0,+∞)上的最小值大于或等于f(0)，作出|f(x)|和y=x+3的图象，根据交点个数判断4a与3的大小关系，以及直线和抛物线相切的条件，列出不等式组解出．
本题考查分段函数的单调性，函数零点的个数判断，结合函数图象判断端点值的大小是关键，属于中档题．
17.【答案】解：①80.25×42+(2764)−13−(−2020)0=234×214+(43)3×13−1=2+43−1=73．
②2lg32−lg3329+lg38=lg322×8329=lg39=2，
【解析】①利用有理数指数幂的运算性质求解．
②利用对数的运算性质求解．
本题主要考查了有理数指数幂的运算性质和对数的运算性质，属于基础题．
18.【答案】解：(1)∵sinα−csα3csα+2sinα=tanα−13+2tanα=17，
∴7(tanα−1)=3+2tanα，
解得tanα=2．
(2)2sin2α−sinαcsα=2sin2α−sinαcsαsin2α+cs2α=2tan2α−tanαtan2α+1=2×22−222+1=65．
【解析】(1)上下同除csα，将正余弦化成正切，计算得解；
(2)借助sin2α+cs2α=1，将原式化为齐次分式后上下同除cs2α，将正余弦化成正切后，借助tanα的值即可得解．
本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握同角三角函数的基本关系是解题的关键，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)m=1时，集合A={x|0≤x≤5}，
若选①，则B={x|−x2+4≥0}={x|−2≤x≤2}，
所以A∪B={x|0≤x≤2}，
∁RA={x|x<0或x>5}，所以(∁RA)∩B={x|−2≤x<0}；
若选②，则B={x||x|≤2}={x|−2≤x≤2}，
所以A∪B={x|0≤x≤2}，
∁RA={x|x<0或x>5}，所以(∁RA)∩B={x|−2≤x<0}；
(2)若A∩B=A，则A⊆B，
当A=⌀时，有m−1>2m+3，解可得m<−4，
当A≠⌀时，必有m−1≤2m+3m−1≥−22m+3≤2，解得−1≤m≤−12，
综上可得：m的取值范围是：(−∞,−4)∪[−1，−12].
【解析】(1)m=1时集合A={x|0≤x≤5}，化简集合B，计算A∪B和(∁RA)∩B即可；
(2)由A∩B=A得出A⊆B，讨论A=⌀和A≠⌀时，即可求出m的取值范围．
本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
20.【答案】解：(1)∵f(xy)=f(x)+f(y)，
令x=y=1，则f(1)=2f(1)，解得f(1)=0；
(2)证明：对任意x1，x2∈(0,+∞)且x1>x2，则x1x2>1，则f(x1)=f(x1x2⋅x2)=f(x1x2)+f(x2)，
∴f(x1)−f(x2)=f(x1x2)，
又x>1时f(x)<0，所以f(x1)−f(x2)=f(x1x2)<0，
故f(x)在(0,+∞)上单调递减；
(3)∵f(xy)=f(x)+f(y)，f(13)=1，
∴f(1)=f(3⋅13)=f(3)+f(13)，解得f(3)=−1，即−3=f(3)+f(3)+f(3)=f(27)，
不等式f(x)+f(x−6)>−3，转化为f(x)+f(x−6)>f(27)，
即f[x(x−6)]>f(27)，
由(2)得f(x)是(0,+∞)上的减函数，
∴x(x−6)<27x>0x−6>0，解得6故不等式的解集为(6,9)．
【解析】(1)利用赋值法，令x=y=1，即可得出答案；
(2)对任意x1，x2∈(0,+∞)且x1>x2，则x1x2>1，得到f(x1)−f(x2)=f(x1x2)<0，即可证明结论；
(3)计算f(27)=−3，题意转化为f[x(x−6)]>f(27)，由(2)得f(x)在(0,+∞)上单调递减，根据函数的单调性结合定义域列出关于x的不等式组，求解即可得出答案．
本题考查抽象函数问题和函数的单调性的应用，考查转化思想，考查赋值法和构造法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)∵S=3⋅xy+ 34x2= 39，
∴y=4 13−x24 3x，
由y> 312x得0∴函数的定义域为{x|0(2)设圆形铁片半径为R，则面积S=πR2，
过圆心O作CD的垂线，垂足为E，交AB于点F，连结OD，则DE=x2,OF=x2 3，
∴R2=OD2=(x2)2+(y+x2 3)2=x24+( 13 3x+x4 3)2
=1348x2+133x2+ 136，
∵x2>0，由基本不等式得：∴R2=OD2=1348x2+133x2+ 136≥2 1348x2⋅133x2+ 136=13+ 136，
当且仅当1348x2=133x2，即x=2∈(0, 2 13)时，取“=”．
∴圆形铁片的最小面积为13+ 136π(cm2)，
答：当x=2时，所用圆形贴片的面积最小，最小面积为13+ 136π(cm2).
【解析】(1)利用已知条件求出y=4 13−x24 3x，然后求解函数的定义域即可．
(2)设圆形铁片半径为R，则面积S=πR2，过圆心O作CD的垂线，垂足为E，交AB于点F，连结OD，则DE=x2,OF=x2 3，求出R的表达式，然后利用基本不等式求解最小值即可．
本题考查函数的实际应用，列出函数的解析式，通过基本不等式求解最小值是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．
22.【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=lga(2x+12x)(a>1)，其定义域为R，
有f(−x)=lga(12x+2x)=f(x)，
则函数f(x)为偶函数；
(2)证明：设u(x)=2x+12x，则y=lga[u(x)]，
设0则有u(x1)−u(x2)=2x1+12x1−2x2−12x2=2x1−2x2+12x1−12x2=(2x1−2x2)(1−12x12x2)，
又由00，
则u(x1)−u(x2)<0，
即函数u(x)在(0,+∞)上是增函数，
而y=lgax在(0,+∞)上是增函数，
故函数f(x)在(0,+∞)上是增函数；
(3)假设存在常数m，n∈(0,+∞)，符合题意，
又由函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，则有lga(2m+12m+1)=1+mlga2lga(2n+12n+1)=1+nlga2，变形可得2m+12m+1=a⋅2m2n+12n+1=a⋅2n，
故m、n是方程2x+12x+1=a⋅2x的两个根，
对于方程2x+12x+1=a⋅2x，变形可得(a−1)(2x)2−2x−1=0，
设t=2x，若x>0，则t>1，
故(a−1)t2−2t−1=0有两个大于1的不等实数根，
又由a>1，则方程(a−1)t2−2t−1=0的两个根异号，故假设不成立，
则不存在常数m，n∈(0,+∞)，使函数g(x)在[m,n]上的值域为[1+mlga2,1+nlga2]．
【解析】(1)根据题意，先分析函数的定义域，再分析f(−x)与f(x)的关系，由函数奇偶性的判断方法分析可得结论；
(2)根据题意，设u(x)=2x+12x，利用作差法分析u(x)的单调性，又由复合函数单调性的判断方法分析可得结论；
(3)假设存在常数m，n∈(0,+∞)，符合题意，结合函数的单调性可得lga(2m+12m+1)=1+mlga2lga(2n+12n+1)=1+nlga2，变形可得2m+12m+1=a⋅2m2n+12n+1=a⋅2n，由此可得m、n是方程2x+12x+1=a⋅2x的两个根，分析方程方程2x+12x+1=a⋅2x的两个根的情况，即可得结论．
本题考查函数与方程的关系，涉及复合函数的单调性，属于中档题．