2023-2024学年四川省泸州市泸县重点中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省泸州市泸县重点中学高二（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线y=−x−1的倾斜角为( )
A. π6B. π4C. π2D. 3π4
2.若直线ax+(1−a)y=3与(a−1)x+(2a+3)y=2互相垂直，则a等于( )
A. 3B. 1C. 0或−32D. 1或−3
3.离心率为2的双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程是( )
A. 5x±y=0B. x±y=0C. x± 3y=0D. 3x±y=0
4.如图，OABC是四面体，G是△ABC的重心，G2是OG上一点，且OG=3OG1，则( )
A. OG1=OA+OB+OCB. OG1=19OA+19OB+19OC
C. OG1=13OA+13OB+13OCD. OG1=34OA+34OB+34OC
5.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个素数(质数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题．它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都取得了相当好的成绩．若将14拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为素数的概率为( )
A. 313B. 513C. 27D. 37
6.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1，则点C到平面AEC1F的距离为( )
A. 22
B. 3 22
C. 4 3311
D. 3311
7.已知点P(x,y)是直线l：kx−y+4=0(k>0)上的动点，过点P作圆C：x2+y2+2y=0的切线PA，A为切点，若|PA|最小为2时，圆M：x2+y2−my=0与圆C外切，且与直线l相切，则m的值为( )
A. −2B. 2 5−2C. 4D. 6+2
8.已知数列{an}的首项a1=1，且满足an+1−an=(−12)n(n∈N*)，则存在正整数n，使得(an−λ)(an+1+λ)0)，直线l：x+my−1=0过E的右焦点F.当m=1时，椭圆的长轴长是下顶点到直线l的距离的2倍．
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)设直线l与椭圆E交于A，B两点，在x轴上是否存在定点P，使得当m变化时，总有∠OPA=∠OPB(O为坐标原点)？若存在，求P点的坐标；若不存在，说明理由．
21.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*，有an>0，且4Sn=an2+2an+1，数列{bn}满足2lg2bn=an+1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{(−1)n(an+bn)}的前n项和Tn．
22.(本小题12分)
已知动点M(x,y)与定点F(1,0)的距离和M到定直线l：x=4的距离的比是常数12．
(1)求动点M的轨迹方程，并说明轨迹即曲线C的形状．
(2)过A(1,−32)作两直线与抛物线y=mx2(m>0)相切，且分别与曲线C交于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2．
①求证：1k1+1k2为定值；
②试问直线PQ是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
设直线y=−x−1的倾斜角为θ，θ∈[0,π)，可得tanθ=−1，解得θ．
【解答】
解：设直线y=−x−1的倾斜角为θ，θ∈[0,π)，
则tanθ=−1，解得θ=3π4．
故选：D．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了两条直线相互垂直的直线与斜率之间的关系、分类讨论的思想方法，属于基础题．
对a分类讨论，利用两条直线相互垂直的直线与斜率之间的关系即可得出．
【答案】
解：当a=1时，两条直线分别化为：x=3，5y=2，此时两条直线互相垂直；
当a=−32时，两条直线分别化为：3x−5y+6=0，5x=−4，此时两条直线不互相垂直；
当a≠−32，1时，两条直线分别化为：y=aa−1x−3a−1，y=1−a2a+3x+22a+3，
∵直线ax+(1−a)y=3与(a−1)x+(2a+3)y=2互相垂直，
∴aa−1×1−a2a+3=−1，
解得a=−3或1(舍去)，
综上可得：a=−3或1．
故选：D．
3.【答案】D
【解析】解：离心率为2的双曲线x2a2−y2b2=1，可得ca=2，所以b2a2=3，即ba= 3，
所以双曲线的渐近线方程为：y=± 3x，
故选：D．
利用双曲线的离心率求解a，b的关系，然后求解渐近线方程．
本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率以及渐近线方程的求解与应用，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：∵OABC是四面体，G是△ABC的重心，G2是OG上一点，且OG=3OG1，
∴OG1=13OG=13(OA+AG)=13OA+13[13(AB+AC)]
=13OA+19(OB−OA)+19(OC−OA)=19OA+19OB+19OC．
故选：B．
利用空间向量加法法则求解．
本题考查向量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
将14拆成两个正整数的和，利用列举法求出基本事件有13个，拆成的和式中，加数全部为素数的基本事件有3个，由此能求出拆成的和式中，加数全部为素数的概率．
【解答】
解：将14拆成两个正整数的和，基本事件有：
1+13，2+12，3+11，4+10，5+9，6+8，7+7，8+6，9+5，10+4，11+3，12+2，13+1，共13个，
拆成的和式中，加数全部为素数的基本事件有：
3+11，7+7，11+3，共3个，
则拆成的和式中，加数全部为素数的概率为P=313．
故选：A．
6.【答案】C
【解析】解：以D为原点，分别以DA，DC，DF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D−xyz，
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,4,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4,3)，
∴AC1=(−2,4,3)，AE=(0,4,1)．
设n为平面AEC1F的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AE=0n⋅AC1=0，即4y+z=0−2x+4y+3z=0，令z=1，得n=(1,−14,1)．
又CC1=(0,0,3)，
∴点C到平面AEC1F的距离d=|CC1⋅n||n|=4 3311．
故选：C．
建立空间直角坐标系，计算平面AEC1F的法向量，利用点到面距离的向量公式d=|CC1⋅n||n|即得解．
本题考查点到平面距离公式等基础知识，考查运算求能力，是中档题．
7.【答案】B
【解析】解：易知，当PC与直线l垂直时，切线长|PA|最短，
而圆C：x2+(y+1)2=1，圆心C(0,−1)，半径R=1，由|PA|=2，
则|PC|= |PA|2+R2= 22+12= 5．
所以 5=|1+4| k2+1(k>0)，解得k=2．
故此时直线l的方程为：2x−y+4=0．
又圆M：x2+y2−my=0，圆心M(0,m2)，半径r=|m|2，
由圆M，圆C外切可得|m+1|2=|m|2+1，化简得|m|=m，故m>0．
圆M与直线l相切，所以|2×0−m2+4| 5=|m|2，
即m2+4m−16=0，解得m=2 5−2或m=−2 5−2(舍)．
故选：B．
当PC⊥l时，切线长|PA|最小，结合圆C的半径和|PA|=2，可求出此时圆心C到直线l的距离，从而求出k的值，直线l的方程可求；再根据圆M与圆C外切，与直线l相切，就可以求出m的值．
本题考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等基础知识，同时考查学生的运算能力．属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：数列{an}的首项a1=1，且满足an+1−an=(−12)n(n∈N+)，
可得an=a1+(a2−a1)+(a3−a2)+…+(an−an−1)
=1+(−12)+14+…+(−12)n−1=1−1(−2)n1+12=23[1−(−12)n]，显然an>0，
存在正整数n，使得(an−λ)(an+1+λ)0，∴λ>an或λan或λ(an)min或λ(an)min或λ