2023-2024学年四川省泸州市泸县五中高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省泸州市泸县五中高二（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线l：3x−4y−1=0在x轴和y轴上的截距分别是( )
A. 13，14B. −13，−14C. −13，14D. 13，−14
2.某班举办趣味数学活动，规则是：某同学从分别写有1至9这9个整数的9张卡片中随机抽取两张，将卡片上较大的数作为十位数字，较小的数作为个位数字组成一个两位数.若这个两位数与将它的个位数字与十位数字调换后得到的两位数的差为45，就视为该同学获奖.若该班同学A参加这项活动，则他获奖的概率为( )
A. 172B. 136C. 118D. 19
3.如图，在空间四边形P−ABC中，则CB−PA−AB=( )
A. BA
B. AP
C. CP
D. CA
4.圆(x+2)2+y2=4与圆(x−2)2+(y−1)2=4的位置关系为( )
A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离
5.已知直线l1：ax+2y+a=0，l2：3x+(2a−1)y+a+1=0，则“a=−32”是“l1//l2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.在数列{an}中，a1=−60，an+1=an+3，则|a1|+|a2|+…+|a30|=( )
A. −445B. 765C. 1080D. 3105
7.在椭圆中，已知焦距为4，椭圆上的一点P与两个焦点F1，F2的距离的和等于8，且∠PF1F2=120°，则△PF1F2的面积为( )
A. 12 37B. 8 35C. 12 34D. 12 35
8.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过点F作斜率为4 27的直线与C在第一象限内相交于点P，过点P作PM⊥l于点M，连接MF交C于点N，若MF=λNF，则λ的值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 6
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票．六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票．每人能在甲乙两箱中各抽一次，以A表示在甲抽奖箱中中奖的事件，B表示在乙抽奖箱中中奖的事件，C表示两次抽奖均末中奖的事件．下列结论中正确的是( )
A. P(C)=2150B. 事件A与事件B相互独立
C. P(AB)与P(C)和为54%D. 事件A与事件B互斥
10.已知Sn是数列{an}的前n项和，3Sn=an+2，则( )
A. {an}是等比数列B. a9+a10>0C. a9a10a11>0D. Sn>0
11.在四面体ABCD中(如图)，平面ABD⊥平面ACD，△ABD是等边三角形，AD=CD，AD⊥CD，M为AB的中点，N在侧面BCD上(包含边界)，若MN=xAB+yAC+zAD，(x,y,z∈R)，则( )
A. 若x=12，则MN/​/平面ACD
B. 当|MN|最小时，x=14
C. 若y=0，则MN⊥CD
D. 当|MN|最大时，x=−12
12.已知A为双曲线C：x216−y29=1上位于第一象限内一点，过点A作x轴的垂线，垂足为M，点B与点A关于原点对称，点F为双曲线C的左焦点，则( )
A. 若|AB|=10，则AF⊥BFB. 若AF⊥BF，则△ABF的面积为9
C. |AF||AM|>2D. |AF|−|AM|的最小值为8
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在某地区进行流行病学调查，随机调查了200位某种疾病患者的年龄，得到了如图的样本数据的频率分布直方图，根据图中信息估计该地区这种疾病患者的年龄位于[10,30)的概率为______ ．
14.已知直线l的一个方向向量为(3, 3)，则直线l的倾斜角α= ______ ．
15.过点(−2,3)与圆(x+1)2+y2=1相切的直线方程为______ ．
16.已知F1，F2分别为椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，A为右顶点，B为上顶点，若在线段AB上有且仅有一个点P使PF1⋅PF2=−c22，则椭圆M离心率的取值范围为______ (写成集合或区间形式)．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
猜灯谜是我国元宵节传统特色活动.在某校今年开展元宵节猜灯谜的活动中，组织者设置难度相当的若干灯谜，某班派甲、乙和丙三位同学独立竞猜，根据以往数据分析可知，甲、乙猜对该难度的每道灯谜的概率分别为12，35．
(1)任选一道灯谜，求甲、乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
(2)任选一道灯谜，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率为2325，求丙猜对该难度的每道灯谜的概率．
18.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+4=2an．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{2n−1an}的前n项和Tn．
19.(本小题12分)
如图，在多面体ABCDE中，平面ACD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，△ABC和△ACD均为正三角形，AC=2,BE= 3,M为线段CD的中点．
(1)求证：DE/​/面ABC；
(2)求平面AMB与平面AEM所成锐二面角的余弦值．
20.(本小题12分)
已知圆C经过点A(1,3)、B(2,2)，并且直线m：3x−2y=0平分圆C．
(1)求圆C的方程；
(2)过点D(0,1)，且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M，N，且OM⋅ON=12，求k的值．
21.(本小题12分)
已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过F作垂直于x轴的直线与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，△AOB的面积为2．
(Ⅰ)求抛物线C的标准方程；
(Ⅱ)若直线l与抛物线C交于P，Q两点，M(3,2)是线段PQ的中点，求直线l的方程．
22.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点A，B，P是椭圆C上三个不同的动点(点P不在x轴上)，满足F1P=λAF1,F2P=μBF2(λ>0,μ>0)，且△PAF2与△PF1F2的周长的比值为87．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)判断λ+μ是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：直线方程整理为截距式方程可得：x13+y−14=1，
可得直线l在x轴和y轴上的截距分别是13，−14．
故选：D．
根据直线的一般是方程以及截距的定义求解．
本题考查直线的截距式方程的求法，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：设同学A随机抽取得到的两位数的十位数字为x，个位数字为y(x>y)．
依题意，若x=2，则y=1，有1种情况；若x=3，则y=1，2，有2种情况．
以此类推……，
若x=9，则y=1，2，⋯，8，有8种情况，共计有1+2+⋯+8=36种情况，
其中满足获奖的情况是(10x+y)−(10y+x)=45，即x−y=5，
也即获奖情况只有x=6，y=1；x=7，y=2；x=8，y=3；x=9，y=4，这4种情况，
所以该班同学A参加这项活动获奖的概率为436=19．
故选：D．
利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案．
本题考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：CB−PA−AB=PB−PC−PA−(PB−PA)=−PC=CP．
故选：C．
根据图形，利用向量的线性运算即可求出结果
本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由圆(x+2)2+y2=4，可得圆心为(−2,0)，半径r1=2，
由圆(x−2)2+(y−1)2=4，可得圆心为(2,1)，半径r2=2，
则两圆心距离为d= (−2−2)2+(0−1)2= 17，
r1+r2=4，则d>r1+r2，故两圆相离．
故选：D．
由圆的方程可得圆心坐标及半径，计算圆心距离及两半径之和比较即可得．
本题考查两圆的位置关系的判断，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：当l1//l2时，a(2a−1)=6，解得a=2或a=−32．
当a=2时，l1与l2重合，不符合l1//l2；
当a=−32时，l1：−32x+2y−32=0,l2：3x−4y−12=0,l1与l2不重合，符合l1//l2，
故“a=−32”是“l1//l2”的充要条件．
故选：C．
根据直线平行的条件可求出a的值，再根据a的值判断两直线是否平行，即可得答案．
本题考查充要条件的应用，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：{an}是等差数列，an=−60+3(n−1)=3n−63，
∴sn=−60+3n−632⋅n=n(3n−123)2
由an≥0，解得n≥21．
∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|
=−(a1+a2+…+a20)+(a21+…+a30)
=S30−2S20
=765
故选B
根据已知写出等差数列的通项公式，令an≥0，可得到n的范围，结合绝对值的几何意义及等差数列的求和公式即可求解
此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，本题的突破点是令通项公式大于等于0找出此数列从第22项开始变为正数．
7.【答案】D
【解析】解：由题意可知：|F1F2|=4，|PF1|+|PF2|=8，∠PF1F2=120°，即|PF1|=8−|PF2|，
在△PF1F2中，由余弦定理得：|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2−2|PF1|⋅|F1F2|cs∠PF1F2，
即|PF2|2=(8−|PF2|)2+16−2×(8−|PF2|)×4×(−12)，解得|PF2|=285，则|PF1|=125，
所以△PF1F2的面积S△PF1F2=12|PF1|⋅|F1F2|⋅sin∠PF1F2=12×125×4× 32=12 35．
故选：D．
根据题意利用余弦定理求|PF1|，|PF2|，结合面积公式运算求解．
本题主要考查椭圆的性质应用，考查余弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：如图，过点N作准线l的垂线，垂足为Q，
则|NF|=|NQ|，PM//NQ//x轴．
由抛物线的性质可得|PM|=|PF|，所以∠PFM=∠PMF=∠MFO=∠MNQ．
设直线PF的倾斜角为α，则α=π−∠PFM−∠MFO=π−2∠MNQ，
因为过点F作斜率为4 27的直线与C在第一象限内相交于点P，
所以tanα=−tan2∠MNQ=2tan∠MNQtan2∠MNQ−1=4 27，
解得tan∠MNQ=2 2(负值已舍去)，所以|MQ|=2 2|NQ|，
所以|MN|=3|NQ|=3|NF|，所以MF=4NF，即λ=4．
故选：C．
过点N作准线l的垂线，垂足为Q，直线PF的倾斜角为α，利用tanα=−tan2∠MNQ，可得tan∠MNQ=2 2，进而可得结论．
本题考查抛物线的几何性质，考查运算求解能力，属中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：由题意可知，P(A)=410=25，P(B)=310，
对于A，P(C)=(1−25)(1−310)=2150，故A正确；
对于B，在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件A和事件B相互独立，B项正确；
对于C，由B可知P(AB)=P(A)P(B)=325，所以P(AB)+P(C)=2750=54%，故C正确；
对于D，事件A与事件B相互独立而非互斥，故D错误．
故选：ABC．
分别求出P(A)，P(B)，进一步求出P(C)与P(AB)，判断AC选项，在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件A和事件B相互独立，判断BD选项．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了独立事件和对立事件的定义，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：已知Sn是数列{an}的前n项和，3Sn=an+2，
当n≥2时，3an=3Sn−3Sn−1=(an+2)−(an−1+2)，
即an=−12an−1，
又3a1=a1+2，
则a1=1，
即数列{an}是以1为首项，−12为公比的等比数列，
即an=(−12)n−1，
对于选项A，{an}是等比数列，
即选项A正确；
对于选项B，a9+a10=12a9=12×(−12)8>0，
即选项B正确；
对于选项C，a9a10a11=a103=(−12)270，
即选项D正确．
故选：ABD．
由数列通项公式的求法，结合等比数列的性质及前n项和公式求解．
本题考查了数列通项公式的求法，重点考查了等比数列的性质及前n项和公式，属中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：由AD⊥CD，平面ABD⊥平面ACD，平面ABD∩平面ACD=AD，CD⊂平面ACD，得CD⊥平面ABD，
又N在侧面BCD上(包含边界)，设BN=λBC+μBD，且λ，μ∈[0,1]，λ+μ≤1，
于是MN=MB+BN=12AB+λBC+μBD=12AB+λ(AC−AB)+μ(AD−AB)
=(12−λ−μ)AB+λAC+μAD，
而MN=xAB+yAC+zAD，则x=12−λ−μy=λz=μ，且λ，μ∈[0,1]，λ+μ≤1．
若x=12−λ−μ=12，则λ=μ=0，点N即为点B，显然MN∩平面ACD=A，故A错误；
过M作ME⊥BD，垂足为E，得BE=BMcs∠ABD=14BD，ME=BMsin∠ABD= 34BD，
由CD⊥平面ABD，ME⊂平面ABD，得ME⊥CD，而BD∩CD=D，BD，CD⊂平面BCD，
则ME⊥平面BCD，因此MN= ME2+NE2= 316BD2+EN2，
当点N与点E重合时，|MN|最小，此时λ=0,μ=14，则y=0，z=14，x=14，故B正确；
若y=λ=0，则BN=μBD，即点N在线段BD上(包括端点)，
由CD⊥平面ABD，MN⊂平面ABD，得MN⊥CD，故C正确；
当点N与点C重合时，|NE|最大，即|MN|最大，此时λ=1，μ=0，得y=1，z=0，可得x=−12，故D正确．
故选：BCD．
根据可证CD⊥平面ABD，设BN=λBC+μBD，且λ，μ∈[0,1]，λ+μ≤1，进而可得x=12−λ−μy=λz=μ，对于A：若x=12，则点N即为点B，进而可得结果；对于B、D：过M作ME⊥BD，垂足为E，可证ME⊥平面BCD，则MN= ME2+NE2= 316BD2+EN2，结合图形分析判断；对于C：若y=0，可得点N在线段BD上(包括端点)，结合垂直关系分析判断．
本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间向量的应用，考查运算求解能力，是中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：不妨设双曲线右焦点为F1，
易知四边形AFBF1为平行四边形，
因为双曲线C的方程为x216−y29=1，
所以a=4，b=3，
此时c= a2+b2=5，
对于选项A：因为|AB|=10，
所以|AB|=|FF1|，
可得四边形AFBF1为矩形，
则AF⊥BF，故选项A正确；
对于选项B：由双曲线定义知|AF|−|AF1|=8，|FF1|=10，
若AF⊥BF，
此时四边形AFBF1为矩形，
所以|AF|2+|AF1|2=|FF1|2，
则(AF|−|AF1|)2+2|AF||AF1|=|FF1|2，
即82+2|AF||AF1|=102，
解得|AF|⋅|AF1|=18，
所以|AF|⋅|BF|=18，
则S△ABF=12|AF|⋅|BF|=12×18=9，故选项B正确；
对于选项C：在Rt△AFM中，|AF||AM|= |AF|2|AM|2= |AM|2+|FM|2|AM|2= 1+|FM|2|AM|2，
易知双曲线C的渐近线方程为y=±34x，
所以|AM||FM|=kAF 1+169=53，
则|AF||AM|>53，故选项C错误；
对于选项D：因为|AF|−|AM|=2a+|AF1|−|AM|=8+|AF1|−|AM|
≥8+(|AF1|−|AM|)min，
当且仅当|AF1|=|AM|时，|AF|−|AM|取得最小值，最小值为8，故选项D正确．
故选：ABD．
由题意，根据题目所给信息以及四边形AFBF1的形状分析选项A和选项B；将|AF||AM|转化成直线斜率，利用双曲线的渐近线斜率即可判断选项C；根据双曲线定义，利用|AF1|与|AM|之间的关系即可判断选项D．
本题考查双曲线的性质，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
13.【答案】0.14
【解析】解：由题知：a=0.1−(0.001+0.002×2+0.006+0.017×2+0.020+0.023)=0.012，
故该地区这种疾病患者的年龄位于的[10,30)概率为(0.012+0.002)×10=0.14．
故答案为：0.14．
根据频率分布直方图求出a，据此可求解．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．
14.【答案】30°
【解析】解：记直线 l的倾斜角为α，
由题知tanα= 33，又α∈[0,π)，
所以α=π6，即α=30°．
故答案为：30°．
由直线的方向向量求得直线的斜率，由斜率即可求得倾斜角．
本题考查直线的方向向量、倾斜角等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】x=−2或4x+3y−1=0
【解析】解：由题意可知：圆(x+1)2+y2=1的圆心为(−1,0)，半径r=1，
因为(−2+1)2+32=10>1，可知点(−2,3)在圆外，
当直线过点(−2,3)且斜率不存在时，x=−2，显然与圆相切；
当直线过点(−2,3)，且斜率存在时，设方程为y−3=k(x+2)，即kx−y+2k+3=0，
则|−k+2k+3| k2+1=1，解得k=−43，故方程为4x+3y−1=0；
综上所述：直线方程为x=−2或4x+3y−1=0．
故答案为：x=−2或4x+3y−1=0．
分类讨论直线的斜率是否存在，结合直线与圆的位置关系分析求解．
此题考查了直线与圆相切，属于中档题．
16.【答案】{ 2− 2}∪( 63,1)
【解析】解：易知直线AB方程为xa+yb=1，
不妨设点P的坐标为(x0,y0)，
因为PF1⋅PF2=x02+y02−c2=−c22，
所以x02+y02=c22，
则点P在以原点为圆心， c22为半径的圆M上，
当圆M与直线AB相切，
此时原点到直线xa+yb=1的距离等于半径 c22，
所以|1| 1a2+1b2= c22，
整理得a4−b4=2(ab)2，
对等式两边同除以a4，
可得(b2a2)2+2b2a2−1=0，
解得b2a2= 2−1，
所以e= 1−b2a2= 2− 2；
当b< c22≤a时，
可得2b2