2023-2024学年四川省泸州市泸县四中高三（下）开学数学试卷（文科）（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省泸州市泸县四中高三（下）开学数学试卷（文科）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合A={y|y=2x+1}，B={x|2x−3≤0}，则A∩B=( )
A. (1,32)B. (1,32]C. [1,32)D. [1,32]
2.若复数z满足，z3+2z=2i，则复数z的虚部为( )
A. 2417B. −2417C. 617D. −617
3.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)分别过点A(2,0)和B(0,−1)，则该椭圆的焦距为( )
A. 3B. 2 3C. 5D. 2 5
4.设p：|x−12|0)的两个零点，且|x1−x2|的最小值为π3，将函数f(x)的图象向左平移π2个单位长度后，得到函数图象的对称轴方程为( )
A. x=kπ3+11π18，k∈ZB. x=2kπ3+11π18，k∈Z
C. x=2kπ3+4π9，k∈ZD. x=kπ3+4π9，k∈Z
10.三棱锥S−ABC的各顶点均在球O的球面上，SC为该球的直径，AC=BC=2，∠ACB=120°，且三棱锥S−ABC的体积为2，则球O的半径为( )
A. 7B. 5C. 52D. 3
11.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右两个焦点分别为F1、F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，若|MF1|−|MF2|=2b，该双曲线的离心率为e，则e2=( )
A. 2B. 2+12C. 3+2 22D. 5+12
12.若存在t使a(2e−t)lnt=1成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,0)∪[1e,+∞)B. (0,1e]
C. [1e,+∞)D. (−∞,0)∪(0,1e]
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知命题“∃x∈R，mx2−x+10,若g(x)≤2a4恒成立，则实数a的取值范围是______．
三、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知△ABC内接于单位圆，且(1+tanA)(1+tanB)=2，
(1)求角C
(2)求△ABC面积的最大值．
18.(本小题12分)
如图，边长为2的等边△ABC所在平面与菱形A1ACC1所在平面互相垂直，且BC/​/B1C1，BC=2B1C1，A1C= 3AC1．
(1)求证：A1B1/​/平面ABC；
(2)求多面体ABC−A1B1C1的体积V．
19.(本小题12分)
某城市9年前分别同时开始建设物流城和湿地公园，物流城3年建设完成，建成后若年投入x亿元，该年产生的经济净效益为(2lnx+5)亿元；湿地公园4年建设完成，建成后的5年每年投入见散点图．公园建成后若年投入x亿元，该年产生的经济净效益为(x+3)亿元．
(1)对湿地公园，请在x=kn+b，x=kn2+b中选择一个合适模型，求投入额x与投入年份n的回归方程；
(2)从建设开始的第10年，若对物流城投入0.25亿元，预测这一年物流城和湿地公园哪个产生的年经济净效益高？请说明理由．
参考数据及公式：x−=0.336，i=15nixi=6.22，当t=n2时；t−=11，i=15ti2=979，回归方程中的i=15tixi=29.7；回归方程r =k s+b 斜率与截距k =i=1msiri−ms−⋅r−i=1msi2−ms−2，b =r−−k s−．
20.(本小题12分)
己知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与抛物线y2=2px(p>0)共焦点F2，抛物线上的点M到y轴的距离等于|MF2|−1，且椭圆与抛物线的交点Q满足|QF2|=52．
(I)求抛物线的方程和椭圆的方程；
(II)过抛物线上的点P作抛物线的切线y=kx+m交椭圆于A，B两点，设线段AB的中点为C(x0,y0)，求x0的取值范围．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex−e−x−ax(e为自然对数的底数)，其中a∈R．
(1)试讨论函数f(x)的单调性；
(2)证明：i=2n1ilni>3n2−n−22n(n+1)．
22.(本小题10分)
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=4csα,y=4+4sint(α为参数)，P是C1上的动点，M是OP的中点，M点的轨迹为曲线C2.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)射线θ=π3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．
23.(本小题12分)
已知函数f(x)=|x−3|，g(x)=−|x+4|+m；
(Ⅰ)已知常数a0；
(Ⅱ)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：集合A={y|y=2x+1}={y|y>1}，
B={x|2x−3≤0}={x|x≤32}，
∴A∩B={x|1b>0)分别过点A(2,0)和B(0,−1)，
可得：a=2，b=1，所以c= 4−1= 3，从而2c=2 3．
故选：B．
利用已知条件求出a，b，c，即可求出椭圆的焦距．
本题考查椭圆的性质，考查运算求解能力．
4.【答案】A
【解析】解：由p：|x−12|0时，ln(x+1)>0，即有−ln(x+1)0时不等式恒成立，只要x≤0时，不等式恒成立，运用函数的导数和单调性、最值求法，解不等式可得所求范围．
本题主要考查函数恒成立问题解法，同时考查函数的奇偶性的定义和对数函数的单调性，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)∵(1+tanA)(1+tanB)=2
∴tanA+tanB=1−tanA⋅tanB，
∴tanC=−tan(A+B)=−tanA+tanB1−tanAtanB=−1，
∴C=3π4
(2)∵△ABC得外接圆为单位圆，
∴其半径R=1
由正弦定理可得c=2RsinC= 2，
由余弦定理可得c2=a2+b2−2abcsC，
代入数据可得2=a2+b2+ 2ab
≥2ab+ 2ab=(2+ 2)ab，
∴ab≤22+ 2，
∴△ABC得面积S=12absinC≤12+ 2⋅ 22= 2−12，
∴△ABC面积的最大值为： 2−12
【解析】(1)变形已知条件可得tanA+tanB=1−tanA⋅tanB，代入可得tanC=−tan(A+B)=−tanA+tanB1−tanAtanB=−1，可得C值；(2)由正弦定理可得c，由余弦定理和基本不等式可得ab得取值范围，进而可得面积的最值．
本题考查两角和与差得正切，涉及正余弦定理和三角形的面积公式，属中档题．
18.【答案】(1)证明：∵四边形A1ACC1是菱形，∴AC/​/A1C1．
又∵AC⊂平面ABC，A1C1⊄平面ABC，∴A1C1/​/平面ABC．
同理得，B1C1/​/平面ABC．
∵A1C1，B1C1⊂平面A1B1C1，且A1C1∩B1C1=C1，
∴平面ABC/​/平面A1B1C1．
又∵A1B1⊂平面A1B1C1，
∴A1B1/​/平面ABC．
(2)解：∵AC/​/A1C1，B1C1/​/BC，∴∠A1C1B1=∠ACB=60°．
∵A1C1=AC=2，2B1C1=BC=2，
∴S△A1B1C1=12×1×2× 32= 32．
在菱形A1ACC1中，∵A1C= 3AC1，
∴∠ACC1=60°，SA1ACC1=2×2× 32=2 3．
∵平面ABC⊥平面ACC1，取AC的中点为M，连接BM，C1M，
∴BM⊥平面ACC1，C1M⊥平面ABC．
由(1)知，平面ABC/​/平面A1B1C1，
∴点B到平面A1B1C1的距离为C1M= 3．
又∵点B到平面A1ACC1的距离为BM= 3，连接BC1，
则V=VB−A1B1C1+VB−A1ACC1=13×( 32+2 3)× 3=52．
【解析】(1)证明AC/​/A1C1.推出A1C1/​/平面ABC.然后证明平面ABC/​/平面A1B1C1.说明A1B1/​/平面ABC．
(2)取AC的中点为M，连接BM，C1M，连接BC1，通过V=VB−A1B1C1+VB−A1ACC1.求解即可．
本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．
19.【答案】解：(1)根据散点图，应该选择模型x=kn2+b．
令t=n2，则k =i=15tixi−5t−⋅x−i=15ti2−5t−2=29.7−5×11×0.336979−5×112=0.03，
∴b=x−kt=0.336−0.03×11=0.006，
所以，所求回归方程是x=0.03t+0.006，即x=0.03n2+0.006．
(2)若年投入x亿元，该年产生的经济净效益为(2lnx+5)亿元；
即物流城第10年的年经济净效益为2ln0.25+5=5−4ln2亿元；
根据回归方程可估计湿地公园第10年的投入约为0.03×62+0.006=1.086亿元，
该年的经济效益为1.086+3=4.086亿元．
因为4.086>5−4ln2，
所以，该年湿地公园产生的年经济净效益高．
【解析】(1)根据散点图，应该选择模型x=kn2+b模型，利用公式求出k =i=1msiri−ms−⋅r−i=1msi2−ms−2，b =r−−k s.再代入模型可得投入额x与投入年份n的回归方程；
(2)根据题意可得第10年的年经济净效益为2ln0.25+5=5−4ln2亿元；与回归方程的第10年的投入估计值0.03×62+0.006=1.086亿元比较，因为4.086>5−4ln2，可得该年湿地公园产生的年经济净效益高．
本题考查回归方程的求法，利用回归方程计算估计值，属于中档题，
20.【答案】解：(I)∵抛物线上的点M到y轴的距离等于|MF2|−1，
∴点M到直线x=−1的距离等于点M到焦点F2的距离，
得x=−1是抛物线y2=2px的准线，即−p2=−1，解得p=2，∴抛物线的方程为y2=4x；
可知椭圆的右焦点F2(1,0)，左焦点F1(−1,0)，由|QF2|=52，得xQ+1=52，又yQ2=4xQ，解得Q(32,± 6)，
由椭圆的定义得2a=|QF1|+|QF2|=72+52=6，
∴a=3，又c=1，得b2=a2−c2=8，∴椭圆的方程为x29+y28=1．
(II)显然k≠0，m≠0，由y=kx+my2=4x消去x，得ky2−4y+4m=0，
由题意知△=16−16km=0，得km=1，
由y=kx+mx29+y28=1消去y，得(9k2+8)x2+18kmx+9m2−72=0，
其中△2=(18km)2−4(9k2+8)(9m2−72)>0，
化简得9k2−m2+8>0，
又k=1m，得m4−8m2−92lnn，
∴当n∈Z且n≥2时，1nlnn>2n2−1=1n−1−1n+1，
∴i=2n1ilni>11−13+12−14+…+1n−1−1n+1=1+12−1n−1n+1=3n2−n−22n(n+1)．
………………………………(12分)
【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
(2)根据函数的单调性求出n2−1n>2lnn，累加即可证明结论．
本题考查了函数的单调性，考查不等式的证明以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
22.【答案】解：(1)曲线C1的参数方程为x=4csα,y=4+4sint(α为参数)，转换为直角坐标方程为x2+(y−4)2=16，转换为极坐标方程为ρ=8sinθ．
设M(x,y)，则由条件知P(2x,2y)，由于点P在曲线C1上，
所以2x=4csα 2y=4+4sinα ，化简得：x=2csα y=2+2sinα ，转换为直角坐标方程为x2+(y−2)2=4，转换为极坐标方程为ρ=4sinθ．
(2)由于射线θ=π3与C1的异于极点的交点为A，所以ρ1=8sinπ3=4 3
与C2的异于极点的交点为B，
所以ρ2=4sinπ3=2 3，
则：|AB|=|ρ1−ρ2|=2 3．
【解析】(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
(2)利用极径的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
23.【答案】解：(I)由f(x)+a−2>0得|x−3|>2−a，
∵常数a2−a或x−35−a或xg(x)恒成立，即mg(x)恒成立，即m