中考试题分类（4）——方程的解法和应用(含解析)

这是一份中考试题分类（4）——方程的解法和应用(含解析)，共16页。试卷主要包含了《孙子算经》中有一道题，原文是，一元一次方程的解是，设方程的两根分别是，，则的值为等内容，欢迎下载使用。
1．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有人，可列方程
A．B．C．D．
2．一元一次方程的解是
A．B．C．D．
3．同时满足二元一次方程和的，的值为
A．B．C．D．
4．某出租车起步价所包含的路程为，超过的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了，付了28元．设这种出租车的起步价为元，超过后每千米收费元，则下列方程正确的是
A．B．
C．D．
5．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为尺，绳子长为尺，则所列方程组正确的是
A．B．
C．D．
6．设方程的两根分别是，，则的值为
A．3B．C．D．
7．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为
A．2B．4C．8D．2或4
8．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为
A．B．
C．D．
9．已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为
A．B．C．D．
10．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则
A．4B．2C．1D．
11．一元二次方程根的情况是
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法判断
12．一元二次方程的根的情况为
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
13．若，，则以，为根的一元二次方程是
A．B．C．D．
14．一元二次方程的解是
A．，B．C．D．，
15．国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为，根据题意列方程得
A．B．C．D．
16．随着网络技术的发展，市场对产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产万件产品，依题意得
A．B．C．D．
17．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣个物件，则可列方程为
A．B．C．D．
18．解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是
A．B．C．D．
19．关于的分式方程的解为
A．B．C．2D．3
二．填空题（共13小题）
20．关于的方程的解为 ．
21．某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有 名．
22．若关于的方程的解为2，则的值为 ．
23．我国古代数学名著《九章算术》上有这样一个问题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其大意是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现用30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，根据题意，可列方程组为 ．
24．今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是 次．
25．方程组的解是 ．
26．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为步，则依题意列方程为 ．
27．一元二次方程有两个相等的实数根，则 ．
28．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ．
29．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ．
30．已知方程的一根为，则方程的另一根为 ．
31．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多 步．
32．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最小整数值是 ．
湖南省2019年、2020年数学中考试题分类（4）——方程的解法和应用
一．选择题（共19小题）
1．（2020•张家界）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有人，可列方程
A．B．C．D．
【解答】解：依题意，得：．
故选：．
2．（2019•怀化）一元一次方程的解是
A．B．C．D．
【解答】解：，
解得：．
故选：．
3．（2020•益阳）同时满足二元一次方程和的，的值为
A．B．C．D．
【解答】解：由题意得：，
由①得，③，
把③代入②得，，
解得，，代入③得，，
方程组的解为，
故选：．
4．（2019•邵阳）某出租车起步价所包含的路程为，超过的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了，付了28元．设这种出租车的起步价为元，超过后每千米收费元，则下列方程正确的是
A．B．
C．D．
【解答】解：设这种出租车的起步价为元，超过后每千米收费元，
则所列方程组为，
故选：．
5．（2019•长沙）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为尺，绳子长为尺，则所列方程组正确的是
A．B．
C．D．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：．
6．（2020•邵阳）设方程的两根分别是，，则的值为
A．3B．C．D．
【解答】解：由可知，其二次项系数，一次项系数，
由根与系数的关系：．
故选：．
7．（2020•张家界）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为
A．2B．4C．8D．2或4
【解答】解：
解得：或，
当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为2，
故选：．
8．（2020•衡阳）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为
A．B．
C．D．
【解答】解：依题意，得：．
故选：．
9．（2020•怀化）已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为
A．B．C．D．
【解答】解：一元二次方程有两个相等的实数根，
△，
解得：．
故选：．
10．（2019•湘潭）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则
A．4B．2C．1D．
【解答】解：方程有两个相等的实数根，
△，
解得：．
故选：．
11．（2019•湘西州）一元二次方程根的情况是
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法判断
【解答】解：，，，
，
此方程没有实数根．
故选：．
12．（2019•郴州）一元二次方程的根的情况为
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【解答】解：一元二次方程中，
△，
有两个不相等的实数根．
故选：．
13．（2019•淄博）若，，则以，为根的一元二次方程是
A．B．C．D．
【解答】解：，
，
而，
，
，
以，为根的一元二次方程为．
故选：．
14．（2019•怀化）一元二次方程的解是
A．，B．C．D．，
【解答】解：，
，
则，
解得，
故选：．
15．（2019•衡阳）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为，根据题意列方程得
A．B．C．D．
【解答】解：设这两年该地区贫困人口的年平均下降率为，根据题意得：
，
故选：．
16．（2020•长沙）随着网络技术的发展，市场对产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产万件产品，依题意得
A．B．C．D．
【解答】解：设更新技术前每天生产万件产品，则更新技术后每天生产万件产品，
依题意，得：．
故选：．
17．（2019•湘潭）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣个物件，则可列方程为
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：．
18．（2019•益阳）解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是
A．B．C．D．
【解答】解：方程两边都乘以，得
，
故选：．
19．（2019•株洲）关于的分式方程的解为
A．B．C．2D．3
【解答】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
故选：．
二．填空题（共13小题）
20．（2020•株洲）关于的方程的解为 4 ．
【解答】解：方程，
移项，得，
合并同类项，得．
解得．
故答案为：4．
21．（2020•衡阳）某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有 23 名．
【解答】解：设女生有名，则男生人数有名，依题意有
，
解得．
故女生有23名．
故答案为：23．
22．（2019•湘西州）若关于的方程的解为2，则的值为 4 ．
【解答】解：关于的方程的解为2，
，
解得：．
故答案为：4．
23．（2020•岳阳）我国古代数学名著《九章算术》上有这样一个问题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其大意是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现用30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，根据题意，可列方程组为 ．
【解答】解：依题意，得：．
故答案为：．
24．（2020•常德）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是 4 次．
【解答】解：设李红出门没有买到口罩的次数是，买到口罩的次数是，由题意得：
，
整理得：，
解得：．
故答案为：4．
25．（2020•永州）方程组的解是 ．
【解答】解：，
①②得：，即，
把代入①得：，
则方程组的解为，
故答案为：
26．（2020•邵阳）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为步，则依题意列方程为 ．
【解答】解：矩形的宽为（步，且宽比长少12（步，
矩形的长为（步．
依题意，得：．
故答案为：．
27．（2020•娄底）一元二次方程有两个相等的实数根，则 1 ．
【解答】解：一元二次方程有两个相等的实数根，
△，
解得．
故答案为1．
28．（2020•郴州）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ．
【解答】解：根据题意得△，
解得．
故答案为：．
29．（2020•永州）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ．
【解答】解：由已知得：
△，
解得：．
故答案为：．
30．（2019•娄底）已知方程的一根为，则方程的另一根为 ．
【解答】解：设方程的另一个根为，
，
．
故答案为：．
31．（2019•张家界）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多 12 步．
【解答】解：设长为步，宽为步，
，
解得，，（舍去），
当时，，
长比宽多：（步，
故答案为：12．
32．（2019•邵阳）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最小整数值是 0 ．
【解答】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
△，
；
故答案为0；
三．解答题（共8小题）
33．（2019•娄底）某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表所示：
求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？
【解答】解：（1）设购进甲矿泉水箱，购进乙矿泉水箱，
依题意，得：，
解得：．
答：购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱．
（2）（元．
答：该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元．
34．（2019•怀化）解二元一次方程组：
【解答】解：，
①②得：
，
解得：，
则，
解得：，
故方程组的解为：．
35．（2020•湘西州）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
【解答】解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为，根据题意，得
解得（舍去），，
答：口罩日产量的月平均增长率为．
（2）（个．
答：预计4月份平均日产量为26620个．
36．（2019•邵阳）2019年1月14日，国新办举行新闻发布会，海关总署新闻发言人李魁文在会上指出：在2018年，我国进出口规模创历史新高，全年外贸进出口总值为30万亿元人民币．有望继续保持全球货物贸易第一大国地位．预计2020年我国外贸进出口总值将达36.3万亿元人民币．求这两年我国外贸进出口总值的年平均增长率．
【解答】解：设平均增长率为，根据题意列方程得
解得，（舍
答：我国外贸进出口总值的年平均增长率为．
37．（2020•益阳）“你怎么样，中国便是怎么样；你若光明，中国便不黑暗”．2019年，一场新冠肺炎疫情牵扯着人们的心灵，各界人士齐心协力，众志成城．针对资源急需问题，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生产车间仍有7人不能到厂生产．为了应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每小时完成的工作量不变．原来每天能生产防护服800套，现在每天能生产防护服650套．
（1）求原来生产防护服的工人有多少人？
（2）复工10天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍然为10小时．公司决定将复工后生产的防护服14500套捐献给某地，则至少还需要生产多少天才能完成任务？
【解答】解：（1）设原来生产防护服的工人有人，
由题意得，，
解得：．
经检验，是原方程的解．
答：原来生产防护服的工人有20人；
（2）设还需要生产天才能完成任务．
（套，
即每人每小时生产5套防护服．
由题意得，，
解得．
答：至少还需要生产8天才能完成任务．
38．（2020•永州）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比口罩的单价少10元．
（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和口罩的单价各是多少元？
（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？
【解答】解：（1）设一次性医用外科口罩的单价是元，则口罩的单价是元，依题意有
，
解得，
经检验，是原方程的解，
．
故一次性医用外科口罩的单价是2元，口罩的单价是12元；
（2）设购进一次性医用外科口罩只，依题意有
，
解得．
故至少购进一次性医用外科口罩1400只．
39．（2020•郴州）解方程：．
【解答】解：，
方程两边都乘，得
，
解得，
检验：当时，．
故是原方程的解．
40．（2020•张家界）今年疫情防控期间，某学校花2000元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要．随着疫情的缓解以及各种抗疫物资供应更充足，消毒液每瓶下降了2元，学校又购买了一批消毒液，花1600元购买到的数量与第一次购买到的数量相等，求第一批购进的消毒液的单价．
【解答】解：设第一批购进的消毒液的单价为元，则第二批购进的消毒液的单价为元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：第一批购进的消毒液的单价为10元．
类别
成本价（元箱）
销售价（元箱）
甲
25
35
乙
35
48