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2023年湖北省黄石市中考数学调研试卷（4月份）（含解析）
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这是一份2023年湖北省黄石市中考数学调研试卷（4月份）（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年湖北省黄石市中考数学调研试卷（4月份）
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，|a|−a的值为( )
A. −6 B. 0 C. 3 D. 6
2. 随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3. 下列运算正确的是( )
A. a3⋅a2=a6 B. (−a2)3=−a6 C. (2a)3=6a3 D. a+a=a2
4. 某几何体的三视图如图所示，这个几何体是( )
A.
B.
C.
D.
5. 函数y= x−1x−3自变量x的取值范围是( )
A. x≥1且x≠3 B. x≥1 C. x≠3 D. x>1且x≠3
6. 全红婵在2021年东京奥运会女子十米跳台项目中获得了冠军，五次跳水成绩分别是(单位：分)：82.50，96.00，95.70，96.00，96.00，这组数据的众数和中位数分别是( )
A. 96.00，95.70 B. 96.00，96.00 C. 96.00，82.50 D. 95.70，96.00
7. 用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是( )
A. B.
C. D.
8. 如图，点A、B的坐标为(2,0)，(0,1)，若将线段AB平移至CD，则a+b的值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
9. 如图，在⊙O中，点C在优弧AB上，将BC沿BC折叠后刚好经过AB的中点D.若⊙O的半径为5，AB=4 5，则AC的长是( )
A. 5π2
B. 25π4
C. 10π3
D. 4π
10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(−2,0)，对称轴为直线x=1，有以下结论：
①abc>0；②8a+c>0；③若A(x1,m)，B(x2,m)是抛物线上的两点，当x=x1+x2时，y=c；④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的取值范围为a≥1；⑤若方程a(x+2)(4−x)=−2的两根为x1，x2，且x1
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共28.0分）
11. 计算(12)−2+( 3−2)0+3tan30°= ______ ．
12. 分解因式：(x+2)x−(x+2)= ______ ．
13. 舌尖上的浪费让人触目惊心，曾统计我国每年浪费的粮食约350亿千克，接近全国粮食总产量的6%，则350亿用科学记数法应表示为______ ．
14. 如图，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=4，分别以点B，点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB，BC，AC于点D，E，F，则图中非阴影部分的面积为______ ．
15. 若数a使关于x的不等式组x+23−x2>12(x−a)≤0的解集为x<−2，则符合条件的数a的取值范围为______ ．
16. 如图，在某山坡前有一电视塔，小明在山坡的坡脚点P处测得电视塔顶端M的仰角为60°，在点P处小明沿山坡向上走39m到达点D处，测得电视塔顶端M的仰角为30°，已知山坡坡度i=1：2.4，请你计算电视塔的高度ME约为______ m.(结果四舍五入精确到0.01m，参考数据： 3≈1.732)
17. 如图，点B的坐标为(0,4)，点A是x轴正半轴上一点，点C在第一象限内，BC⊥AB于点B，∠OAB=∠BAC.当AC=10时，则过点C的反比例函数y=kx的比例系数k的值为______ ．
18. 如图，正方形ABCD的边长为2 2，点E是AB边上一个动点，点F是CD边上一个动点，且AE=CF，过点B作BG⊥EF于点G，连接AG，若正方形ABCD的中心记为点O，则EF过定点______ ，AG长的最小值是______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题7.0分)
化简：(2x−1x+1−x+1)÷x−2x2+2x+1，然后从−1，0，1，2中选一个你喜欢的数代入求值．
20. (本小题8.0分)
如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD=CD．
(1)求证：△ABD≌△CFD；
(2)已知BC=7，AD=5，求AF的长．
21. (本小题8.0分)
某校社团活动开设的体育选修课，篮球(A)，足球(B)，排球(C)，羽毛球(D)，乒乓球(E)，每个学生选修其中的一门．学校对某班全班同学的选课情况进行调查统计后制成了以下两个统计图．
(1)请你求出该班的总人数，并补全频数分布直方图；
(2)该校共有1000名学生，请估计该校学生体育选修课选修篮球(A)的学生约有多少人？
(3)该班的其中某4各同学，1人选修篮球(A)，2人选修足球(B)，1人选修排球(C).若要从这4人中任选2人，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好是1人选修篮球，1人选修足球的概率．
22. (本小题8.0分)
定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如，点(1,1)是函数的y=12x+12图象的“等值点”．
(1)试判断函数y=1x−1(x>1)的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，请说明理由；
(2)已知函数y=x2−2的图象的“等值点”为点A(−1,−1)和点B(2,2)．
①已知实数m、n满足m2−m−2=0，n2−n−2=0，且m≠n，求m2n+mn2的值；
②已知实数p、q满足p2=p+2，2q2=q+1，且p≠2q，求p2+4q2的值；
③若函数y=x2−2(x≥1)的图象记为W1将其沿直线x=1翻折后的图象记为W2，由W1，W2两部分组成的图象记为W，试求图象W上的“等值点”．
23. (本小题9.0分)
某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元时，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)，设每件商品的售价上涨x元，每个月的销售量为y件．
(1)则y与x的函数关系式为：______ ，自变量x的取值范围是：______ ；
(2)每件商品的售价定为多少元时(x为正整数)，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
(3)若在销售过程中每一件商品都有a(a>0)元的其它费用，商家发现当售价每件不低于58元时，每月的销售利润随x的增大而减小，请直接写出a的取值范围：______ ．
24. (本小题10.0分)
如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过点A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与⊙O交于点D，连接PD．
(1)求证：PB为⊙O的切线；
(2)求证：PB2=PC⋅PO；
(3)若∠BPD=3∠APD，求PGDG的值．
25. (本小题12.0分)
如图，抛物线y=14x2+mx−3与x轴交于A(−2,0)，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，直线y=kx+b与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E(0,−1)．
(1)求m、k和b的值；
(2)求点D的坐标，并结合图象写出不等式14x2+mx−3>kx+b的解；
(3)若点Q是y轴上的点，且∠ADQ=45°，求点Q的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由数轴可得：a=−3，
∴|a|−a=|−3|−(−3)
=3+3
=6，
故选：D．
观察数轴得出a的值，再根据绝对值的意义去掉绝对值符号，然后进行加减即可．
本题主要考查了绝对值的意义，数轴，有理数的加减法等知识，熟知：正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．
2.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D不能找到这样的一个点，使这些图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以它们不是中心对称图形；
选项B能找到这样的一个点，使这个图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以它是中心对称图形；
故选：B．
一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3.【答案】B
【解析】解：A、a3⋅a2=a5，故本选项不合题意；
B、(−a2)3=−a6，故本选项符合题意；
C、(2a)3=8a3，故本选项不合题意；
D、a+a=2a，故本选项不合题意；
故选：B．
分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及合并同类项法则逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：根据几何体的三视图，可得这个几何体是选项C的几何体．
故选：C．
由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
本题考查了由三视图判断几何体的知识，考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
5.【答案】A
【解析】解：根据题意得，x−1≥0且x−3≠0，
解得x≥1且x≠3．
故选：A．
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
6.【答案】B
【解析】解：在这一组数据中96.00是出现次数最多的，故众数是96.00；
将这组数据从小到大的顺序排列为82.50，95.70，96.00，96.00，96.00，处于中间位置的那两个数是96.00，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是96.00．
故选：B．
众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中96.00是出现次数最多的，故众数是96.00；而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数是这组数据的中位数．
本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了菱形的判定和作图−复杂作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．根据菱形的判定和作图根据解答即可．
A、由作图可知，AC⊥BD，且平分BD，即一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确；
B、由作图可知AB=BC，AD=AB，即四边相等的四边形是菱形，正确；
C、由作图可知AB=DC，AD=BC，只能得出四边形ABCD是平行四边形，错误；
D、由作图可知∠DAC=∠CAB，∠DCA=∠ACB，对角线AC平分对角，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确；
故选：C．
【解答】
解：(A)如图，由作图过程可知：OB=OD，
∵AD//BC，
∴∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO，
∴△ADO≌△CBO(AAS)，
∴AD=BC，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
根据线段的垂直平分线的性质可知AB=AD，
所以一组邻边相等的平行四边形是菱形；符合题意；
(B)∵AD//BC且AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∴AB=BC=CD=DA，
根据四条边相等的四边形是菱形，符合题意；
(C)如图，由作图过程可知：∠EAB=∠FAB，∠ECD=∠FCD，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴∠EAF=∠FCE，AE=CF，∠E=∠F，
∴∠EAB=∠FCD，
∴△AEB≌△CFD(ASA)，
∴BE=DF，AB=DC，
∵AF=EC，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，不是菱形，不符合题意；
(D)如图，根据作图过程可知：
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∵AC=AC，
∴△ADC≌△ABC(ASA)，
∴∠ABC=∠ADC，AD=AB，
∴∠ABE=∠CDF，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴AE=CF，∠E=∠F，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴BE=DF，
∴BC=AD，
∵BC//AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=AD，
∴根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，符合题意．
故选：C．
8.【答案】A
【解析】解：由B点平移前后的纵坐标分别为1、2，可得B点向上平移了1个单位，
由A点平移前后的横坐标分别是为2、3，可得A点向右平移了1个单位，
由此得线段AB的平移的过程是：向上平移1个单位，再向右平移1个单位，
所以点A、B均按此规律平移，
由此可得a=0+1=1，b=0+1=1，
故a+b=2．
故选：A．
直接利用平移中点的变化规律求解即可．
本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
9.【答案】A
【解析】解：连接AC，OB，OD，CD，作CF⊥AB于点F，作OE⊥CF于点E，
由垂定理可知OD⊥AB于点D，AD=BD=12 AB=2 5．
又OB=5，
∴OD= OB2−BD2= 25−20= 5，
∵CA、CD所对的圆周角为∠CBA、∠CBD，且∠CBA=∠CBD，
∴CA=CD，△CAD为等腰三角形．
∵CF⊥AB，
∴AF=DF=12AD= 5，
又四边形ODFE为矩形且OD=DF= 5，
∴四边形ODFE为正方形．
∴OE= 5，
∴CE= CO2−OE2= 25−5=2 5，
∴CF=CE+EF=3 5=BF，
故△CFB为等腰直角三角形，∠CBA=45°，
∴AC所对的圆心角为90°，
∴AC=90π⋅5180=5π2．
故选：A．
连接AC，OB，OD，CD，作CF⊥AB于点F，作OE⊥CF于点E，由垂定理可知OD⊥AB于点D，由勾股定理可得OD=1，再利用折叠性质判断AC=DC，利用等腰三角形性质得到AF=DF= 5，再证明四边形ODEF为正方形，得到△CFB为等腰直角三角形，计算出弧AC所对圆周角度数，进而得弧AC所对圆心角度数，再代入弧长公式可得弧长．
本题考查了弧长的计算，圆的折叠的性质，圆周角定理和垂径定理．注意：已知圆的半径为r，那么n′°的圆心角所对的弧的长度为nπr180．
10.【答案】C
【解析】解：①由图象可知：a>0，c<0，−b2a>0，
∴abc>0，故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴−b2a=1，
∴b=−2a，
当x=−2时，y=4a−2b+c=0，
∴4a+4a+c=0，
∴8a+c=0，故②错误；
③∵A(x1,m)，B(x2,m)是抛物线上的两点，
由抛物线的对称性可知：x1+x2=1×2=2，
∴当x=2时，y=4a+2b+c=4a−4a+c=c，
故③正确；
④由题意可知：M，N到对称轴的距离为3，
当抛物线的顶点到x轴的距离不小于3时，
在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，
即4ac−b24a≤−3，
∵8a+c=0，
∴c=−8a，
∵b=−2a，
∴4a⋅(−8a)−(−2a)24a≤−3，
解得：a≥13，故④错误；
⑤易知抛物线与x轴的另外一个交点坐标为(4,0)，
∴y=ax2+bx+c=a(x+2)(x−4)
若方程a(x+2)(4−x)=−2，
即方程a(x+2)(x−4)=2的两根为x1，x2，
则x1、x2为抛物线与直线y=2的两个交点的横坐标，
∵x1
故选：C．
根据二次函数的图象开口向上，与y轴相交于下半轴，对称轴为直线x=1，可得a>0，c<0，−b2a>0，即可判断①；由抛物线的对称轴为直线x=1，可得b=−2a，当x=−2时，y=4a−2b+c=0，得4a+4a+c=0，即可判断②；③由A(x1,m)，B(x2,m)是抛物线上的两点，抛物线的对称性可知：x1+x2=1×2=2，当x=2时，y=4a+2b+c=c，即可判断③；由M，N到对称轴的距离为3，当抛物线的顶点到x轴的距离不小于3时，在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，即4ac−b24a≤−3，可得b=−2a，所以4a⋅(−8a)−(−2a)24a≤−3，即可判断④；抛物线与x轴的另外一个交点坐标为(4,0)，得y=ax2+bx+c=a(x+2)(x−4)，若方程a(x+2)(4−x)=−2，即方程a(x+2)(x−4)=2的两根为x1，x2，则x1、x2为抛物线与直线y=2的两个交点的横坐标，因为x1
11.【答案】5+ 3
【解析】解：原式=4+1+3× 33
=5+ 3，
故答案为：5+ 3．
利用负整数指数幂，零指数幂，特殊锐角的三角函数值计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
12.【答案】(x+2)(x−1)
【解析】解：原式=(x+2)(x−1)．
故答案为：(x+2)(x−1)．
直接提取公因式(x+2)，进而分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
13.【答案】3.5×1010
【解析】解：350亿=35000000000=3.5×1010．
故答案为：3.5×1010．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14.【答案】2−π
【解析】解：由勾股定理得：AB2+AC2=BC2，
∵AB=AC，BC=4，
∴AB=AC=2 2，
∵BC=4，
∴BE=CE=2，
∴图中非阴影部分的面积为12×2 2×2 2−2×45π×22360=4−π．
故答案为：4−π．
根据勾股定理求出AB和AC长度，再分别求出△ABC和扇形DBE和扇形FCE的面积即可．
本题考查了等腰直角三角形和扇形的面积计算，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
15.【答案】a≥−2
【解析】解：不等式组整理得：x<−2x≤a，
∵不等式组的解集为x<−2，
∴a≥−2．
故答案为：a≥−2．
不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
16.【答案】53.68
【解析】解：如图：过点D作DG⊥ME，垂足为G，
由题意得：DM=GE，DG=ME，
∵山坡DP的坡度i=1：2.4，
∴DMMP=12.4=512，
∴设DM=5x m，则MP=12x m，
在Rt△DMP中，DP= DM2+MP2= (5x)2+(12x)2=13x(m)，
∵DP=39m，
∴13x=39，
解得：x=3，
∴DM=GE=15m，PM=36m，
设PE=y m，
∴DG=ME=PM+PE=(36+y)m，
在Rt△PME中，∠MPE=60°，
∴ME=PE⋅tan60°= 3y(m)，
在Rt△DMG中，∠MDG=30°，
∴MG=DG⋅tan30°= 33(y+36)m，
∴ME=NG+GE=[15+ 33(y+36)]m，
∴ 3y=15+ 33(y+36)，
解得：y=15 3+362，
∴ME= 3y=45+36 32≈53.68(m)
∴电视塔的高度ME约为53.68m，
故答案为：53.68．
过点D作DG⊥ME，垂足为G，根据题意可得：DM=GE，DG=ME，再根据已知可设DM=5x m，则MP=12x m，在Rt△DMP中，利用勾股定理进行计算可求出DM，MP的长，然后设PE=y m，则DG=ME=(36+y)m，在Rt△PME中，利用锐角三角函数的定义求出ME的长，再在Rt△DMG中，利用锐角三角函数的定义求出MG的长，从而求出ME的长，最后列出关于y的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17.【答案】16或64
【解析】解：过点C、B分别作CD⊥y轴，BE⊥AC，垂足为D、E，
在△BOA和△BEA中，
∵∠OAB=∠BAC，AB=AB，∠BOA=∠BEA=90°，
∴△BOA≌△BEA，
∴BE=OB=4，OA=AE；
同理可证△CDB≌△CEB，
∴BD=BE=4，CD=CE；
∴OD=OB+BD=4+4=8，
∵∠ABO+∠CBD=90°=∠ABO+∠BAO，
∴∠CBD=∠BAO，
∵∠AOB=∠BDC=90°，
∴△AOB∽△BDC，
∴OABD=OBCD，
设点(m,8)
∴OA4=4m，
∴OA=16m，
又∵AC=10，
∴AE+EC=10，
即：16m+m=10，
解得：m1=2，m2=8，
∴C(2,8)或C(8,8)
又∵点C在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=2×8=16，或k=8×8=64，
故答案为：16或64．
过点C、B分别作CD⊥y轴，BE⊥AC，垂足为D、E，容易得到△AOB∽△BDC，又∠OAB=∠BAC，利用角平分线性质，构造全等三角形，得到OA=AE，CD=CE，又知AC=10，建立方程可求出点C的坐标，使问题得以解决．
考查反比例函数的图象上点的坐标特征，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质等知识，综合性很强．
18.【答案】O 5−1
【解析】解：连接AC与EF相于交O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OAE=∠OCF，
∵∠AOE=∠COF，AE=CF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OA=OC，OE=OF，
∴点O是正方形的中心，
∴则EF过定点O；
连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，过点M作MH⊥AB于H．
∵∠HBM=45°，BM=14BD，
∴MH=BH=14AB= 22，AH=34AB=32 2，
由勾股定理可得MA= 5，MG=12OB=1，
∵AG≥AM−MG= 5−1，
当A，M，G三点共线时，AG最小= 5−1，
故答案为：O； 5−1．
设正方形的中心为O，可证EF经过O点．连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是求出AM，MG的值．
19.【答案】解：原式=2x−1−(x−1)(x+1)x+1⋅(x+1)2x−2
=−x2+2xx+1⋅(x+1)2x−2
=−x(x−2)x+1⋅(x+1)2x−2
=−x(x+1)，
=−x2−x，
当x=0时，原式=0．
【解析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．
20.【答案】(1)证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°，
∴∠BAD+∠B=∠FCD+∠B=90°，
∴∠BAD=∠FCD，
在△ABD和△CFD中，
∠ADB=∠CDFAD=DC∠BAD=∠DCF，
∴△ABD≌△CFD(ASA)，
(2)∵△ABD≌△CFD，
∴BD=DF，
∵BC=7，AD=DC=5，
∴BD=BC−CD=2，
∴AF=AD−DF=5−2=3．
【解析】(1)由ASA证明△ABD≌△CFD即可；
(2)根据全等三角形的性质即可解决问题；
此题考查了全等三角形的判定与性质的应用，证明三角形全等是解决问题的关键，属于中考常考题型．
21.【答案】解：(1)总人数=12÷24%=50(人)，E组的人数=50×10%=5(人)，
所以A组的人数=50−7−12−9−5=17(人)，
频数分布直方图为：
(2)估计该校学生体育选修课选修篮球(A)的学生约有1000×1750=340(人)；
(3)列表如下：
A
B
B
C
A
AB
AB
AC
B
AB
BB
BC
B
AB
BB
BC
C
AC
BC
BC
共有12种等可能的结果数，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的结果数为4，
所以选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率为412=13．
【解析】(1)利用C组的人数除以它所占的百分比即可得到总人数，再计算出E组人数，然后计算出A组人数后补全频数分布直方图；
(2)用总人数乘以样本中A项目人数所占比例即可；
(3)利用列表法展示所有12种等可能的结果数，再找出选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了统计图．
22.【答案】解：(1)函数y=1x−1(x>1)的图象上存在“等值点”，“等值点”的坐标为(1+ 52,1+ 52).理由如下：
函数y=1x−1(x>1)的图象上若存在“等值点”，则x=1x−1，
∴x2−x−1=0，
∴x1=1+ 52，x2=1− 52，
∵x>1，
∴x=1+ 52，
∴函数y=1x−1(x>1)的图象上存在“等值点”，“等值点”的坐标为(1+ 52,1+ 52).
(2)①∵实数m、n满足m2−m−2=0，n2−n−2=0，
∴m2−2=m，n2−2=n，
∴m，n是方程x2−2=x的两个根，即m，n是函数y=x2−2的图象的“等值点”的横坐标，
∴m=−1，n=2或m=2，n=−1，
当m=−1，n=2时，m2n+mn2=−2，
当m=2，n=−1时，m2n+mn2=−2，
∴m2n+mn2=−2．
②∵实数p、q满足p2=p+2，2q2=q+1，
∴p2−2=p，(2q)2−2=2q，
∴p，2q是方程x2−2=x的两个根，即p，2q是函数y=x2−2的图象的“等值点”的横坐标，
∴p=−1，2q=2或p=2，2q=−1，
当p=−1，2q=2时，p2+4q2=5，
当p=2，2q=−1时，p2+4q2=5，
∴p2+4q2=5．
③函数y=x2−2的顶点为(0,−2)，它关于直线x=1对称的点为(2,−2)，
∴W2的函数表达式为y=(x−2)2−2(x≤1)，
∴x=(x−2)2−2，
∴x1=5− 172或x2=5+ 172(舍)，
∴W2上的“等值点”为(5− 172,5− 172).
∵函数y=x2−2(x≥1)的图象的“等值点”为点B(2,2)．
∴图象W上的“等值点”为(2,2)和(5− 172,5− 172).
【解析】(1)根据“等值点”的定义，解方程x=1x−1即可，注意x>1；
(2)①根据m2−m−2=0，n2−n−2=0，变形得到m2−2=m，n2−2=n，可知m，n是方程x2−2=x的两个根，即m，n是函数y=x2−2的图象的“等值点”的横坐标，求出m、n代入即可；
②仿照①的做法，注意把2q当成一个整体；
③先求出W2的表达式，再求出它的“等值点”，注意x的范围，最后求W上的“等值点”．
本题在新定义下考查了两个函数图象交点与方程的关系，渗透了数形结合和整体的思想．
23.【答案】y=210−10x 0
∵每件售价不能高于65元，
∴50+x≤65，
解得x≤15，
∴0
=−10x2+110x+2100
=−10(x−5.5)2+2402.5，(0
∴当x=5.5时，w有最大值2402.5，
∵0
当x=6时，50+x=56，w=−10×(6−5.5)2+2402.5=2400(元)，
∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元；
(3)由题意得：w=(210−10x)(50+x−40−a)=−10(x−21)(x+10−a)，
∴函数图象的对称轴为：x=12(21+a−10)=11+a2，
售价每件不低于58元时，即x≥58−50=8，又0
∴7<11+a2≤8，
解得3
(2)月利润等于销量乘以单件利润，据此列出二次函数，化为顶点式即可求出最值；
(3)月利润w=(210−10x)(50+x−40−a)=−10(x−21)(x+10−a)，函数图象的对称轴为x=11+a2，根据“售价每件不低于58元时，每月的销售利润随x的增大而减小”列出不等式，即可求解．
本题考查了二次函数在实际生活中的应用．最大销售利润的问题利用函数的增减性来解答，吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案是解题关键．
24.【答案】(1)证明：如图1，
连接OA，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
∴∠PAO=90°，
∵OP⊥AB，
∴BC=AC，
∴OP是AB的垂直平分线，
∴PB=PA，
∵OA=OB，OP=OP，
∴△POB≌△POA(SSS)，
∴∠PBO=∠PAO=90°，
∴OB⊥PB，
∴PB是⊙O的切线；
(2)证明：由(1)得，
∠PBO=90°，OP⊥AB，
∴∠PCB=∠PBO=90°，
∵∠BPC=∠OPB，
∴△PBC∽△POB，
∴PBPO=PCPB，
∴PB2=PC⋅PO；
(3)解：如图2，
连接AD，
由(1)知：△POB≌△POA，
∴∠BPO=∠APO，
∵∠BPD=3∠APD，
∴∠BPC+∠CPG=3∠APD，
∴∠APC+(∠APC−∠APD)=3∠APD，
∴∠APC=2∠APD，
∴∠DPO=∠APD，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∴AD⊥AB，
由(2)知：OP⊥AB，
∴AD//OP，
∴∠DPO=∠ADG，△PCG∽△DAG，BCAC=OBOD=1，
∴OC=12AD，PGDG=PCAD，
∵∠DPO=∠DPA，
∴∠ADG=∠DPA，
∴AD=AP=PB，
设OC=a，则PB=AD=2a，PC=x，
由(2)得：PB2=PC⋅OP，
∴(2a)2=x(x+a)，
∴x1= 17−12a，x2=− 17−12a(舍去)，
∴PC= 17−12a，
∴ PGDG= 17−12a2a= 17−14．
【解析】(1)连接OA，可推出∠PAO=90°，OP是AB的垂直平分线，从而PB=PA，进而推出△POB≌△POA，从而∠PBO=∠PAO=90°，进一步得出PB是⊙O的切线；
(2)可证明△PBC∽△POB，进而推出PB2=PC⋅PO；
(3)可推出∠DPO=∠APD，AD//OP，从而∠DPO=∠ADG，△PCG∽△DAG，BCAC=OBOD=1，进而推出OC=12AD，PGDG=PCAD，∠DPO=∠DPA，从而AD=AP=PB，设OC=a，则PB=AD=2a，PC=x，根据PB2=PC⋅OP列出方程(2a)2=x(x+a)，求得x的值，进一步得出结果．
本题考查了切线的性质和判定，等腰三角形的判定，垂径定理，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法等知识，解决问题的关键是设未知数，列出一元二次方程．
25.【答案】解：(1)把A(−2,0)代入y=14x2+mx−3得：
1−2m−3=0，
解得m=−1，
∴y=14x2−x−3；
把A(−2,0)，E(0,−1)代入y=kx+b得：
−2k+b=0b=−1，
解得k=−12b=−1，
∴y=−12x−1；
∴m的值为−1，k的值为−12，b的值为−1；
(2)联立y=14x2−x−3y=−12x−1，
解得x=4y=−3或x=−2y=0，
∴D(4,−3)；
观察图象可得，不等式14x2−x−3>−12x−1的解集为x<−2或x>4；
(3)过A作AH⊥DQ于H，过H作MN//x轴，过A作AM⊥MN于M，过D作DN⊥MN于N，
当Q在AD上方时，如图：
∵∠ADQ=45°，
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴AH=DH，∠AHD=90°，
∴∠AHM=90°−∠DHN=∠NDH，
∵∠M=∠N=90°，
∴△AMH≌△HND(AAS)，
∴AM=NH，MH=DN，
设H(p,q)，
∵A(−2,0)，D(4,−3)，
∴q=4−pp+2=q+3，
解得p=52q=32，
∴H(52,32)，
由D(4,−3)，H(52,32)得直线AQ解析式为y=−3x+9，
在y=−3x+9中，令x=0得y=9，
∴Q(0,9)；
当Q在AD下方时，如图：
同理可得△AMH≌△HND(AAS)，AM=NH，MH=DN，
设H(m,n)，
∴−n=4−mm+2=−3−n，
解得m=−12n=−92，
∴H(−12,−92)，
由H(−12,−92)，D(4,−3)得直线DQ解析式为y=13x−133，
在y=13x−133中，令x=0得y=−133，
∴Q(0,−133)；
综上所述，Q的坐标为(0,9)或(0,−133).
【解析】(1)用待定系数法可得m的值为−1，k的值为−12，b的值为−1；
(2)联立y=14x2−x−3y=−12x−1，求出D(4,−3)；观察图象得不等式14x2−x−3>−12x−1的解集为x<−2或x>4；
(3)过A作AH⊥DQ于H，过H作MN//x轴，过A作AM⊥MN于M，过D作DN⊥MN于N，分两种情况：当Q在AD上方时，证明△AMH≌△HND(AAS)，有AM=NH，MH=DN，设H(p,q)，得q=4−pp+2=q+3，解得H(52,32)，直线AQ解析式为y=−3x+9，可得Q(0,9)；当Q在AD下方时，同理可得Q(0,−133).
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．
2023年湖北省黄石市中考数学调研试卷（4月份）
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，|a|−a的值为( )
A. −6 B. 0 C. 3 D. 6
2. 随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3. 下列运算正确的是( )
A. a3⋅a2=a6 B. (−a2)3=−a6 C. (2a)3=6a3 D. a+a=a2
4. 某几何体的三视图如图所示，这个几何体是( )
A.
B.
C.
D.
5. 函数y= x−1x−3自变量x的取值范围是( )
A. x≥1且x≠3 B. x≥1 C. x≠3 D. x>1且x≠3
6. 全红婵在2021年东京奥运会女子十米跳台项目中获得了冠军，五次跳水成绩分别是(单位：分)：82.50，96.00，95.70，96.00，96.00，这组数据的众数和中位数分别是( )
A. 96.00，95.70 B. 96.00，96.00 C. 96.00，82.50 D. 95.70，96.00
7. 用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是( )
A. B.
C. D.
8. 如图，点A、B的坐标为(2,0)，(0,1)，若将线段AB平移至CD，则a+b的值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
9. 如图，在⊙O中，点C在优弧AB上，将BC沿BC折叠后刚好经过AB的中点D.若⊙O的半径为5，AB=4 5，则AC的长是( )
A. 5π2
B. 25π4
C. 10π3
D. 4π
10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(−2,0)，对称轴为直线x=1，有以下结论：
①abc>0；②8a+c>0；③若A(x1,m)，B(x2,m)是抛物线上的两点，当x=x1+x2时，y=c；④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的取值范围为a≥1；⑤若方程a(x+2)(4−x)=−2的两根为x1，x2，且x1
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共28.0分）
11. 计算(12)−2+( 3−2)0+3tan30°= ______ ．
12. 分解因式：(x+2)x−(x+2)= ______ ．
13. 舌尖上的浪费让人触目惊心，曾统计我国每年浪费的粮食约350亿千克，接近全国粮食总产量的6%，则350亿用科学记数法应表示为______ ．
14. 如图，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=4，分别以点B，点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB，BC，AC于点D，E，F，则图中非阴影部分的面积为______ ．
15. 若数a使关于x的不等式组x+23−x2>12(x−a)≤0的解集为x<−2，则符合条件的数a的取值范围为______ ．
16. 如图，在某山坡前有一电视塔，小明在山坡的坡脚点P处测得电视塔顶端M的仰角为60°，在点P处小明沿山坡向上走39m到达点D处，测得电视塔顶端M的仰角为30°，已知山坡坡度i=1：2.4，请你计算电视塔的高度ME约为______ m.(结果四舍五入精确到0.01m，参考数据： 3≈1.732)
17. 如图，点B的坐标为(0,4)，点A是x轴正半轴上一点，点C在第一象限内，BC⊥AB于点B，∠OAB=∠BAC.当AC=10时，则过点C的反比例函数y=kx的比例系数k的值为______ ．
18. 如图，正方形ABCD的边长为2 2，点E是AB边上一个动点，点F是CD边上一个动点，且AE=CF，过点B作BG⊥EF于点G，连接AG，若正方形ABCD的中心记为点O，则EF过定点______ ，AG长的最小值是______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题7.0分)
化简：(2x−1x+1−x+1)÷x−2x2+2x+1，然后从−1，0，1，2中选一个你喜欢的数代入求值．
20. (本小题8.0分)
如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD=CD．
(1)求证：△ABD≌△CFD；
(2)已知BC=7，AD=5，求AF的长．
21. (本小题8.0分)
某校社团活动开设的体育选修课，篮球(A)，足球(B)，排球(C)，羽毛球(D)，乒乓球(E)，每个学生选修其中的一门．学校对某班全班同学的选课情况进行调查统计后制成了以下两个统计图．
(1)请你求出该班的总人数，并补全频数分布直方图；
(2)该校共有1000名学生，请估计该校学生体育选修课选修篮球(A)的学生约有多少人？
(3)该班的其中某4各同学，1人选修篮球(A)，2人选修足球(B)，1人选修排球(C).若要从这4人中任选2人，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好是1人选修篮球，1人选修足球的概率．
22. (本小题8.0分)
定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如，点(1,1)是函数的y=12x+12图象的“等值点”．
(1)试判断函数y=1x−1(x>1)的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，请说明理由；
(2)已知函数y=x2−2的图象的“等值点”为点A(−1,−1)和点B(2,2)．
①已知实数m、n满足m2−m−2=0，n2−n−2=0，且m≠n，求m2n+mn2的值；
②已知实数p、q满足p2=p+2，2q2=q+1，且p≠2q，求p2+4q2的值；
③若函数y=x2−2(x≥1)的图象记为W1将其沿直线x=1翻折后的图象记为W2，由W1，W2两部分组成的图象记为W，试求图象W上的“等值点”．
23. (本小题9.0分)
某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元时，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)，设每件商品的售价上涨x元，每个月的销售量为y件．
(1)则y与x的函数关系式为：______ ，自变量x的取值范围是：______ ；
(2)每件商品的售价定为多少元时(x为正整数)，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
(3)若在销售过程中每一件商品都有a(a>0)元的其它费用，商家发现当售价每件不低于58元时，每月的销售利润随x的增大而减小，请直接写出a的取值范围：______ ．
24. (本小题10.0分)
如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过点A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与⊙O交于点D，连接PD．
(1)求证：PB为⊙O的切线；
(2)求证：PB2=PC⋅PO；
(3)若∠BPD=3∠APD，求PGDG的值．
25. (本小题12.0分)
如图，抛物线y=14x2+mx−3与x轴交于A(−2,0)，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，直线y=kx+b与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E(0,−1)．
(1)求m、k和b的值；
(2)求点D的坐标，并结合图象写出不等式14x2+mx−3>kx+b的解；
(3)若点Q是y轴上的点，且∠ADQ=45°，求点Q的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由数轴可得：a=−3，
∴|a|−a=|−3|−(−3)
=3+3
=6，
故选：D．
观察数轴得出a的值，再根据绝对值的意义去掉绝对值符号，然后进行加减即可．
本题主要考查了绝对值的意义，数轴，有理数的加减法等知识，熟知：正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．
2.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D不能找到这样的一个点，使这些图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以它们不是中心对称图形；
选项B能找到这样的一个点，使这个图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以它是中心对称图形；
故选：B．
一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3.【答案】B
【解析】解：A、a3⋅a2=a5，故本选项不合题意；
B、(−a2)3=−a6，故本选项符合题意；
C、(2a)3=8a3，故本选项不合题意；
D、a+a=2a，故本选项不合题意；
故选：B．
分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及合并同类项法则逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：根据几何体的三视图，可得这个几何体是选项C的几何体．
故选：C．
由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
本题考查了由三视图判断几何体的知识，考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
5.【答案】A
【解析】解：根据题意得，x−1≥0且x−3≠0，
解得x≥1且x≠3．
故选：A．
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
6.【答案】B
【解析】解：在这一组数据中96.00是出现次数最多的，故众数是96.00；
将这组数据从小到大的顺序排列为82.50，95.70，96.00，96.00，96.00，处于中间位置的那两个数是96.00，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是96.00．
故选：B．
众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中96.00是出现次数最多的，故众数是96.00；而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数是这组数据的中位数．
本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了菱形的判定和作图−复杂作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．根据菱形的判定和作图根据解答即可．
A、由作图可知，AC⊥BD，且平分BD，即一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确；
B、由作图可知AB=BC，AD=AB，即四边相等的四边形是菱形，正确；
C、由作图可知AB=DC，AD=BC，只能得出四边形ABCD是平行四边形，错误；
D、由作图可知∠DAC=∠CAB，∠DCA=∠ACB，对角线AC平分对角，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确；
故选：C．
【解答】
解：(A)如图，由作图过程可知：OB=OD，
∵AD//BC，
∴∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO，
∴△ADO≌△CBO(AAS)，
∴AD=BC，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
根据线段的垂直平分线的性质可知AB=AD，
所以一组邻边相等的平行四边形是菱形；符合题意；
(B)∵AD//BC且AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∴AB=BC=CD=DA，
根据四条边相等的四边形是菱形，符合题意；
(C)如图，由作图过程可知：∠EAB=∠FAB，∠ECD=∠FCD，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴∠EAF=∠FCE，AE=CF，∠E=∠F，
∴∠EAB=∠FCD，
∴△AEB≌△CFD(ASA)，
∴BE=DF，AB=DC，
∵AF=EC，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，不是菱形，不符合题意；
(D)如图，根据作图过程可知：
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∵AC=AC，
∴△ADC≌△ABC(ASA)，
∴∠ABC=∠ADC，AD=AB，
∴∠ABE=∠CDF，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴AE=CF，∠E=∠F，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴BE=DF，
∴BC=AD，
∵BC//AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=AD，
∴根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，符合题意．
故选：C．
8.【答案】A
【解析】解：由B点平移前后的纵坐标分别为1、2，可得B点向上平移了1个单位，
由A点平移前后的横坐标分别是为2、3，可得A点向右平移了1个单位，
由此得线段AB的平移的过程是：向上平移1个单位，再向右平移1个单位，
所以点A、B均按此规律平移，
由此可得a=0+1=1，b=0+1=1，
故a+b=2．
故选：A．
直接利用平移中点的变化规律求解即可．
本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
9.【答案】A
【解析】解：连接AC，OB，OD，CD，作CF⊥AB于点F，作OE⊥CF于点E，
由垂定理可知OD⊥AB于点D，AD=BD=12 AB=2 5．
又OB=5，
∴OD= OB2−BD2= 25−20= 5，
∵CA、CD所对的圆周角为∠CBA、∠CBD，且∠CBA=∠CBD，
∴CA=CD，△CAD为等腰三角形．
∵CF⊥AB，
∴AF=DF=12AD= 5，
又四边形ODFE为矩形且OD=DF= 5，
∴四边形ODFE为正方形．
∴OE= 5，
∴CE= CO2−OE2= 25−5=2 5，
∴CF=CE+EF=3 5=BF，
故△CFB为等腰直角三角形，∠CBA=45°，
∴AC所对的圆心角为90°，
∴AC=90π⋅5180=5π2．
故选：A．
连接AC，OB，OD，CD，作CF⊥AB于点F，作OE⊥CF于点E，由垂定理可知OD⊥AB于点D，由勾股定理可得OD=1，再利用折叠性质判断AC=DC，利用等腰三角形性质得到AF=DF= 5，再证明四边形ODEF为正方形，得到△CFB为等腰直角三角形，计算出弧AC所对圆周角度数，进而得弧AC所对圆心角度数，再代入弧长公式可得弧长．
本题考查了弧长的计算，圆的折叠的性质，圆周角定理和垂径定理．注意：已知圆的半径为r，那么n′°的圆心角所对的弧的长度为nπr180．
10.【答案】C
【解析】解：①由图象可知：a>0，c<0，−b2a>0，
∴abc>0，故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴−b2a=1，
∴b=−2a，
当x=−2时，y=4a−2b+c=0，
∴4a+4a+c=0，
∴8a+c=0，故②错误；
③∵A(x1,m)，B(x2,m)是抛物线上的两点，
由抛物线的对称性可知：x1+x2=1×2=2，
∴当x=2时，y=4a+2b+c=4a−4a+c=c，
故③正确；
④由题意可知：M，N到对称轴的距离为3，
当抛物线的顶点到x轴的距离不小于3时，
在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，
即4ac−b24a≤−3，
∵8a+c=0，
∴c=−8a，
∵b=−2a，
∴4a⋅(−8a)−(−2a)24a≤−3，
解得：a≥13，故④错误；
⑤易知抛物线与x轴的另外一个交点坐标为(4,0)，
∴y=ax2+bx+c=a(x+2)(x−4)
若方程a(x+2)(4−x)=−2，
即方程a(x+2)(x−4)=2的两根为x1，x2，
则x1、x2为抛物线与直线y=2的两个交点的横坐标，
∵x1
故选：C．
根据二次函数的图象开口向上，与y轴相交于下半轴，对称轴为直线x=1，可得a>0，c<0，−b2a>0，即可判断①；由抛物线的对称轴为直线x=1，可得b=−2a，当x=−2时，y=4a−2b+c=0，得4a+4a+c=0，即可判断②；③由A(x1,m)，B(x2,m)是抛物线上的两点，抛物线的对称性可知：x1+x2=1×2=2，当x=2时，y=4a+2b+c=c，即可判断③；由M，N到对称轴的距离为3，当抛物线的顶点到x轴的距离不小于3时，在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，即4ac−b24a≤−3，可得b=−2a，所以4a⋅(−8a)−(−2a)24a≤−3，即可判断④；抛物线与x轴的另外一个交点坐标为(4,0)，得y=ax2+bx+c=a(x+2)(x−4)，若方程a(x+2)(4−x)=−2，即方程a(x+2)(x−4)=2的两根为x1，x2，则x1、x2为抛物线与直线y=2的两个交点的横坐标，因为x1
11.【答案】5+ 3
【解析】解：原式=4+1+3× 33
=5+ 3，
故答案为：5+ 3．
利用负整数指数幂，零指数幂，特殊锐角的三角函数值计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
12.【答案】(x+2)(x−1)
【解析】解：原式=(x+2)(x−1)．
故答案为：(x+2)(x−1)．
直接提取公因式(x+2)，进而分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
13.【答案】3.5×1010
【解析】解：350亿=35000000000=3.5×1010．
故答案为：3.5×1010．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14.【答案】2−π
【解析】解：由勾股定理得：AB2+AC2=BC2，
∵AB=AC，BC=4，
∴AB=AC=2 2，
∵BC=4，
∴BE=CE=2，
∴图中非阴影部分的面积为12×2 2×2 2−2×45π×22360=4−π．
故答案为：4−π．
根据勾股定理求出AB和AC长度，再分别求出△ABC和扇形DBE和扇形FCE的面积即可．
本题考查了等腰直角三角形和扇形的面积计算，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
15.【答案】a≥−2
【解析】解：不等式组整理得：x<−2x≤a，
∵不等式组的解集为x<−2，
∴a≥−2．
故答案为：a≥−2．
不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
16.【答案】53.68
【解析】解：如图：过点D作DG⊥ME，垂足为G，
由题意得：DM=GE，DG=ME，
∵山坡DP的坡度i=1：2.4，
∴DMMP=12.4=512，
∴设DM=5x m，则MP=12x m，
在Rt△DMP中，DP= DM2+MP2= (5x)2+(12x)2=13x(m)，
∵DP=39m，
∴13x=39，
解得：x=3，
∴DM=GE=15m，PM=36m，
设PE=y m，
∴DG=ME=PM+PE=(36+y)m，
在Rt△PME中，∠MPE=60°，
∴ME=PE⋅tan60°= 3y(m)，
在Rt△DMG中，∠MDG=30°，
∴MG=DG⋅tan30°= 33(y+36)m，
∴ME=NG+GE=[15+ 33(y+36)]m，
∴ 3y=15+ 33(y+36)，
解得：y=15 3+362，
∴ME= 3y=45+36 32≈53.68(m)
∴电视塔的高度ME约为53.68m，
故答案为：53.68．
过点D作DG⊥ME，垂足为G，根据题意可得：DM=GE，DG=ME，再根据已知可设DM=5x m，则MP=12x m，在Rt△DMP中，利用勾股定理进行计算可求出DM，MP的长，然后设PE=y m，则DG=ME=(36+y)m，在Rt△PME中，利用锐角三角函数的定义求出ME的长，再在Rt△DMG中，利用锐角三角函数的定义求出MG的长，从而求出ME的长，最后列出关于y的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17.【答案】16或64
【解析】解：过点C、B分别作CD⊥y轴，BE⊥AC，垂足为D、E，
在△BOA和△BEA中，
∵∠OAB=∠BAC，AB=AB，∠BOA=∠BEA=90°，
∴△BOA≌△BEA，
∴BE=OB=4，OA=AE；
同理可证△CDB≌△CEB，
∴BD=BE=4，CD=CE；
∴OD=OB+BD=4+4=8，
∵∠ABO+∠CBD=90°=∠ABO+∠BAO，
∴∠CBD=∠BAO，
∵∠AOB=∠BDC=90°，
∴△AOB∽△BDC，
∴OABD=OBCD，
设点(m,8)
∴OA4=4m，
∴OA=16m，
又∵AC=10，
∴AE+EC=10，
即：16m+m=10，
解得：m1=2，m2=8，
∴C(2,8)或C(8,8)
又∵点C在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=2×8=16，或k=8×8=64，
故答案为：16或64．
过点C、B分别作CD⊥y轴，BE⊥AC，垂足为D、E，容易得到△AOB∽△BDC，又∠OAB=∠BAC，利用角平分线性质，构造全等三角形，得到OA=AE，CD=CE，又知AC=10，建立方程可求出点C的坐标，使问题得以解决．
考查反比例函数的图象上点的坐标特征，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质等知识，综合性很强．
18.【答案】O 5−1
【解析】解：连接AC与EF相于交O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OAE=∠OCF，
∵∠AOE=∠COF，AE=CF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OA=OC，OE=OF，
∴点O是正方形的中心，
∴则EF过定点O；
连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，过点M作MH⊥AB于H．
∵∠HBM=45°，BM=14BD，
∴MH=BH=14AB= 22，AH=34AB=32 2，
由勾股定理可得MA= 5，MG=12OB=1，
∵AG≥AM−MG= 5−1，
当A，M，G三点共线时，AG最小= 5−1，
故答案为：O； 5−1．
设正方形的中心为O，可证EF经过O点．连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是求出AM，MG的值．
19.【答案】解：原式=2x−1−(x−1)(x+1)x+1⋅(x+1)2x−2
=−x2+2xx+1⋅(x+1)2x−2
=−x(x−2)x+1⋅(x+1)2x−2
=−x(x+1)，
=−x2−x，
当x=0时，原式=0．
【解析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．
20.【答案】(1)证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°，
∴∠BAD+∠B=∠FCD+∠B=90°，
∴∠BAD=∠FCD，
在△ABD和△CFD中，
∠ADB=∠CDFAD=DC∠BAD=∠DCF，
∴△ABD≌△CFD(ASA)，
(2)∵△ABD≌△CFD，
∴BD=DF，
∵BC=7，AD=DC=5，
∴BD=BC−CD=2，
∴AF=AD−DF=5−2=3．
【解析】(1)由ASA证明△ABD≌△CFD即可；
(2)根据全等三角形的性质即可解决问题；
此题考查了全等三角形的判定与性质的应用，证明三角形全等是解决问题的关键，属于中考常考题型．
21.【答案】解：(1)总人数=12÷24%=50(人)，E组的人数=50×10%=5(人)，
所以A组的人数=50−7−12−9−5=17(人)，
频数分布直方图为：
(2)估计该校学生体育选修课选修篮球(A)的学生约有1000×1750=340(人)；
(3)列表如下：
A
B
B
C
A
AB
AB
AC
B
AB
BB
BC
B
AB
BB
BC
C
AC
BC
BC
共有12种等可能的结果数，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的结果数为4，
所以选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率为412=13．
【解析】(1)利用C组的人数除以它所占的百分比即可得到总人数，再计算出E组人数，然后计算出A组人数后补全频数分布直方图；
(2)用总人数乘以样本中A项目人数所占比例即可；
(3)利用列表法展示所有12种等可能的结果数，再找出选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了统计图．
22.【答案】解：(1)函数y=1x−1(x>1)的图象上存在“等值点”，“等值点”的坐标为(1+ 52,1+ 52).理由如下：
函数y=1x−1(x>1)的图象上若存在“等值点”，则x=1x−1，
∴x2−x−1=0，
∴x1=1+ 52，x2=1− 52，
∵x>1，
∴x=1+ 52，
∴函数y=1x−1(x>1)的图象上存在“等值点”，“等值点”的坐标为(1+ 52,1+ 52).
(2)①∵实数m、n满足m2−m−2=0，n2−n−2=0，
∴m2−2=m，n2−2=n，
∴m，n是方程x2−2=x的两个根，即m，n是函数y=x2−2的图象的“等值点”的横坐标，
∴m=−1，n=2或m=2，n=−1，
当m=−1，n=2时，m2n+mn2=−2，
当m=2，n=−1时，m2n+mn2=−2，
∴m2n+mn2=−2．
②∵实数p、q满足p2=p+2，2q2=q+1，
∴p2−2=p，(2q)2−2=2q，
∴p，2q是方程x2−2=x的两个根，即p，2q是函数y=x2−2的图象的“等值点”的横坐标，
∴p=−1，2q=2或p=2，2q=−1，
当p=−1，2q=2时，p2+4q2=5，
当p=2，2q=−1时，p2+4q2=5，
∴p2+4q2=5．
③函数y=x2−2的顶点为(0,−2)，它关于直线x=1对称的点为(2,−2)，
∴W2的函数表达式为y=(x−2)2−2(x≤1)，
∴x=(x−2)2−2，
∴x1=5− 172或x2=5+ 172(舍)，
∴W2上的“等值点”为(5− 172,5− 172).
∵函数y=x2−2(x≥1)的图象的“等值点”为点B(2,2)．
∴图象W上的“等值点”为(2,2)和(5− 172,5− 172).
【解析】(1)根据“等值点”的定义，解方程x=1x−1即可，注意x>1；
(2)①根据m2−m−2=0，n2−n−2=0，变形得到m2−2=m，n2−2=n，可知m，n是方程x2−2=x的两个根，即m，n是函数y=x2−2的图象的“等值点”的横坐标，求出m、n代入即可；
②仿照①的做法，注意把2q当成一个整体；
③先求出W2的表达式，再求出它的“等值点”，注意x的范围，最后求W上的“等值点”．
本题在新定义下考查了两个函数图象交点与方程的关系，渗透了数形结合和整体的思想．
23.【答案】y=210−10x 0
∵每件售价不能高于65元，
∴50+x≤65，
解得x≤15，
∴0
=−10x2+110x+2100
=−10(x−5.5)2+2402.5，(0
∴当x=5.5时，w有最大值2402.5，
∵0
当x=6时，50+x=56，w=−10×(6−5.5)2+2402.5=2400(元)，
∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元；
(3)由题意得：w=(210−10x)(50+x−40−a)=−10(x−21)(x+10−a)，
∴函数图象的对称轴为：x=12(21+a−10)=11+a2，
售价每件不低于58元时，即x≥58−50=8，又0
∴7<11+a2≤8，
解得3
(2)月利润等于销量乘以单件利润，据此列出二次函数，化为顶点式即可求出最值；
(3)月利润w=(210−10x)(50+x−40−a)=−10(x−21)(x+10−a)，函数图象的对称轴为x=11+a2，根据“售价每件不低于58元时，每月的销售利润随x的增大而减小”列出不等式，即可求解．
本题考查了二次函数在实际生活中的应用．最大销售利润的问题利用函数的增减性来解答，吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案是解题关键．
24.【答案】(1)证明：如图1，
连接OA，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
∴∠PAO=90°，
∵OP⊥AB，
∴BC=AC，
∴OP是AB的垂直平分线，
∴PB=PA，
∵OA=OB，OP=OP，
∴△POB≌△POA(SSS)，
∴∠PBO=∠PAO=90°，
∴OB⊥PB，
∴PB是⊙O的切线；
(2)证明：由(1)得，
∠PBO=90°，OP⊥AB，
∴∠PCB=∠PBO=90°，
∵∠BPC=∠OPB，
∴△PBC∽△POB，
∴PBPO=PCPB，
∴PB2=PC⋅PO；
(3)解：如图2，
连接AD，
由(1)知：△POB≌△POA，
∴∠BPO=∠APO，
∵∠BPD=3∠APD，
∴∠BPC+∠CPG=3∠APD，
∴∠APC+(∠APC−∠APD)=3∠APD，
∴∠APC=2∠APD，
∴∠DPO=∠APD，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∴AD⊥AB，
由(2)知：OP⊥AB，
∴AD//OP，
∴∠DPO=∠ADG，△PCG∽△DAG，BCAC=OBOD=1，
∴OC=12AD，PGDG=PCAD，
∵∠DPO=∠DPA，
∴∠ADG=∠DPA，
∴AD=AP=PB，
设OC=a，则PB=AD=2a，PC=x，
由(2)得：PB2=PC⋅OP，
∴(2a)2=x(x+a)，
∴x1= 17−12a，x2=− 17−12a(舍去)，
∴PC= 17−12a，
∴ PGDG= 17−12a2a= 17−14．
【解析】(1)连接OA，可推出∠PAO=90°，OP是AB的垂直平分线，从而PB=PA，进而推出△POB≌△POA，从而∠PBO=∠PAO=90°，进一步得出PB是⊙O的切线；
(2)可证明△PBC∽△POB，进而推出PB2=PC⋅PO；
(3)可推出∠DPO=∠APD，AD//OP，从而∠DPO=∠ADG，△PCG∽△DAG，BCAC=OBOD=1，进而推出OC=12AD，PGDG=PCAD，∠DPO=∠DPA，从而AD=AP=PB，设OC=a，则PB=AD=2a，PC=x，根据PB2=PC⋅OP列出方程(2a)2=x(x+a)，求得x的值，进一步得出结果．
本题考查了切线的性质和判定，等腰三角形的判定，垂径定理，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法等知识，解决问题的关键是设未知数，列出一元二次方程．
25.【答案】解：(1)把A(−2,0)代入y=14x2+mx−3得：
1−2m−3=0，
解得m=−1，
∴y=14x2−x−3；
把A(−2,0)，E(0,−1)代入y=kx+b得：
−2k+b=0b=−1，
解得k=−12b=−1，
∴y=−12x−1；
∴m的值为−1，k的值为−12，b的值为−1；
(2)联立y=14x2−x−3y=−12x−1，
解得x=4y=−3或x=−2y=0，
∴D(4,−3)；
观察图象可得，不等式14x2−x−3>−12x−1的解集为x<−2或x>4；
(3)过A作AH⊥DQ于H，过H作MN//x轴，过A作AM⊥MN于M，过D作DN⊥MN于N，
当Q在AD上方时，如图：
∵∠ADQ=45°，
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴AH=DH，∠AHD=90°，
∴∠AHM=90°−∠DHN=∠NDH，
∵∠M=∠N=90°，
∴△AMH≌△HND(AAS)，
∴AM=NH，MH=DN，
设H(p,q)，
∵A(−2,0)，D(4,−3)，
∴q=4−pp+2=q+3，
解得p=52q=32，
∴H(52,32)，
由D(4,−3)，H(52,32)得直线AQ解析式为y=−3x+9，
在y=−3x+9中，令x=0得y=9，
∴Q(0,9)；
当Q在AD下方时，如图：
同理可得△AMH≌△HND(AAS)，AM=NH，MH=DN，
设H(m,n)，
∴−n=4−mm+2=−3−n，
解得m=−12n=−92，
∴H(−12,−92)，
由H(−12,−92)，D(4,−3)得直线DQ解析式为y=13x−133，
在y=13x−133中，令x=0得y=−133，
∴Q(0,−133)；
综上所述，Q的坐标为(0,9)或(0,−133).
【解析】(1)用待定系数法可得m的值为−1，k的值为−12，b的值为−1；
(2)联立y=14x2−x−3y=−12x−1，求出D(4,−3)；观察图象得不等式14x2−x−3>−12x−1的解集为x<−2或x>4；
(3)过A作AH⊥DQ于H，过H作MN//x轴，过A作AM⊥MN于M，过D作DN⊥MN于N，分两种情况：当Q在AD上方时，证明△AMH≌△HND(AAS)，有AM=NH，MH=DN，设H(p,q)，得q=4−pp+2=q+3，解得H(52,32)，直线AQ解析式为y=−3x+9，可得Q(0,9)；当Q在AD下方时，同理可得Q(0,−133).
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．
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