中考试题分类（7）——反比例函数

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A．B．C．D．
2．在平面直角坐标系中，点是双曲线上任意一点，连接，过点作的垂线与双曲线交于点，连接，已知，则
A．4B．C．2D．
3．如图所示，过轴正半轴上的任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点，若点是轴上任意一点，连接，，则的面积为
A．6B．7C．8D．14
4．在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象如图所示，则当时，自变量的取值范围为
A．B．C．D．
5．2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁西站设计方案．该方案以“三湘四水，杜鹃花开”为设计理念，塑造出“杜鹃花开”的美丽姿态．该高铁站建设初期需要运送大量土石方．某运输公司承担了运送总量为土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度（单位：天）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间的函数关系式是
A．B．C．D．
6．反比例函数经过点，则下列说法错误的是
A．
B．函数图象分布在第一、三象限
C．当时，随的增大而增大
D．当时，随的增大而减小
7．将的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象如图，则所得图象的解析式为
A．B．C．D．
8．如图，的半径为2，双曲线的解析式分别为，则阴影部分的面积是
A．B．C．D．
9．如图所示，在平面直角坐标系中，点、、为反比例函数上不同的三点，连接、、，过点作轴于点，过点、分别作，垂直轴于点、，与相交于点，记、、四边形的面积分别为、、，则
A．B．C．D．
二．填空题（共11小题）
10．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点，则的面积为 ．
11．如图，已知点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，的面积是2．则的值是 ．
12．如图所示，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点、分别在轴、轴上，点在函数，为常数且的图象上，边与函数的图象交于点，则阴影部分的面积为 ．（结果用含的式子表示）
13．如图，△，△，△，，△，都是一边在轴上的等边三角形，点，，，，都在反比例函数的图象上，点，，，，，都在轴上，则的坐标为 ．
14．如图，若反比例函数的图象经过点，轴于，且的面积为6，则 ．
15．反比例函数的图象经过点，则 ．
16．如图，直线与双曲线交于，两点，过作直线轴，垂足为，则以为直径的圆与直线的交点坐标是 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，反比例函数的图象经过线段的中点，则 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点为坐标原点，顶点在轴的正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，已知菱形的周长是8，，则的值是 ．
19．如图，函数为常数，的图象与过原点的的直线相交于，两点，点是第一象限内双曲线上的动点（点在点的左侧），直线分别交轴，轴于，两点，连接分别交轴，轴于点，．现有以下四个结论：
①与的面积相等；②若于点，则；③若点的横坐标为1，为等边三角形，则；④若，则．
其中正确的结论的序号是 ．（只填序号）
20．如图，点，分别是正比例函数的图象与反比例函数的图象的交点，过点作轴于点，过点作轴于点，则四边形的面积为 ．
三．解答题（共9小题）
21．为了探索函数的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．
列表：
描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：
（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；
（2）已知点，，，在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：
若，则 ；若，则 ；
若，则 （填“”，“ ”或“” ．
（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元平方米，侧面造价为0.5千元平方米．设水池底面一边的长为米，水池总造价为千元．
①请写出与的函数关系式；
②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长应控制在什么范围内？
22．如图所示，的顶点在反比例函数的图象上，直线交轴于点，且点的纵坐标为5，过点、分别作轴的垂线、，垂足分别为点、，且．
（1）若点为线段的中点，求的值；
（2）若为等腰直角三角形，，其面积小于3．
①求证：；
②把称为，，，两点间的“距离”，记为，求，，的值．
23．如图，一次函数的图象与反比例函数为常数且的图象相交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将一次函数的图象沿轴向下平移个单位，使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，求的值．
24．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，菱形的顶点的坐标为．
（1）求过点的反比例函数的解析式；
（2）连接，过点作交轴于点，求直线的解析式．
25．已知一次函数的图象经过和两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若一次函数的图象与反比例函数的图象只有一个交点，求交点坐标．
26．如图，在平面直角坐标系中，与轴的正半轴交于、两点，与轴的正半轴相切于点，连接、，已知半径为2，，双曲线经过圆心．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求直线的解析式．
27．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，且．
（1）求函数和的解析式；
（2）结合图象直接写出不等式组的解集．
28．如图，双曲线经过点，且与直线有两个不同的交点．
（1）求的值．
（2）求的取值范围．
29．如图所示，在平面直角坐标系中，等腰的边与反比例函数的图象相交于点，其中，点在轴的正半轴上，点的坐标为，过点作轴于点．
（1）已知一次函数的图象过点，，求该一次函数的表达式；
（2）若点是线段上的一点，满足，过点作轴于点，连结，记的面积为，设，
①用表示（不需要写出的取值范围）；
②当取最小值时，求的值．
湖南省2019年、2020年数学中考试题分类（7）——反比例函数
一．选择题（共9小题）
1．（2020•娄底）如图，平行于轴的直线分别交与的图象（部分）于点、，点是轴上的动点，则的面积为
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可知，，边上的高为，
，
故选：．
2．（2020•郴州）在平面直角坐标系中，点是双曲线上任意一点，连接，过点作的垂线与双曲线交于点，连接，已知，则
A．4B．C．2D．
【解答】解：作轴于，轴于，
点是双曲线上的点，点是双曲线上的点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
3．（2020•张家界）如图所示，过轴正半轴上的任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点，若点是轴上任意一点，连接，，则的面积为
A．6B．7C．8D．14
【解答】解：轴，且与共底边，
的面积等于的面积，
连接、，如下图所示：
则．
故选：．
4．（2020•怀化）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象如图所示，则当时，自变量的取值范围为
A．B．C．D．
【解答】解：由图象可得，
当时，自变量的取值范围为，
故选：．
5．（2020•长沙）2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁西站设计方案．该方案以“三湘四水，杜鹃花开”为设计理念，塑造出“杜鹃花开”的美丽姿态．该高铁站建设初期需要运送大量土石方．某运输公司承担了运送总量为土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度（单位：天）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间的函数关系式是
A．B．C．D．
【解答】解：运送土石方总量平均运送土石方的速度完成运送任务所需时间，
，
，
故选：．
6．（2020•衡阳）反比例函数经过点，则下列说法错误的是
A．
B．函数图象分布在第一、三象限
C．当时，随的增大而增大
D．当时，随的增大而减小
【解答】解：反比例函数经过点，
，
解得，，故选项不符合题意；
，
该函数的图象在第一、三象限，故选项不符合题意；
当时，随的增大而减小，故选项符合题意、选项不符合题意；
故选：．
7．（2019•娄底）将的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象如图，则所得图象的解析式为
A．B．C．D．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，
的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：；
由“上加下减”的原则可知，
函数的图象向上平移1个单位长度所得函数图象的关系式是：．
故选：．
8．（2019•娄底）如图，的半径为2，双曲线的解析式分别为，则阴影部分的面积是
A．B．C．D．
【解答】解：双曲线的图象关于轴对称，
根据图形的对称性，把第二象限和第四象限的阴影部分的面积拼到第一和第三象限中的阴影中，可以得到阴影部分就是一个扇形，
并且扇形的圆心角为，半径为2，
所以：．
故选：．
9．（2019•株洲）如图所示，在平面直角坐标系中，点、、为反比例函数上不同的三点，连接、、，过点作轴于点，过点、分别作，垂直轴于点、，与相交于点，记、、四边形的面积分别为、、，则
A．B．C．D．
【解答】解：点、、为反比例函数上不同的三点，轴，，垂直轴于点、，
，，
，
，
故选：．
二．填空题（共11小题）
10．（2020•永州）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点，则的面积为 6 ．
【解答】解：正比例函数与反比例函数的图象交点坐标，，，，
轴，轴，
，
，
故答案为：6．
11．（2020•邵阳）如图，已知点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，的面积是2．则的值是 4 ．
【解答】解：设点的坐标为，，轴，
由题意可知：，
，
又点在反比例函数图象上，
故有．
故答案为：4．
12．（2020•株洲）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点、分别在轴、轴上，点在函数，为常数且的图象上，边与函数的图象交于点，则阴影部分的面积为 ．（结果用含的式子表示）
【解答】解：是反比例函数图象上一点
根据反比例函数的几何意义可知：的面积为．
点在函数，为常数且的图象上，四边形为矩形，
根据反比例函数的几何意义可知：矩形的面积为．
阴影部分的面积矩形的面积的面积．
故答案为：．
13．（2020•怀化）如图，△，△，△，，△，都是一边在轴上的等边三角形，点，，，，都在反比例函数的图象上，点，，，，，都在轴上，则的坐标为 ， ．
【解答】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，
△为等边三角形，
，，
，
设的长度为，则的坐标为，
把代入得，解得或（舍去），
，
，
设的长度为，同理得到，则的坐标表示为，
把代入得，解得或（舍去），
，，，
，
设的长度为，同理，为，的坐标表示为，，
把，代入得，
，，，
，，
综上可得：，，
故答案为：．
14．（2020•常德）如图，若反比例函数的图象经过点，轴于，且的面积为6，则 ．
【解答】解：，
，
，
反比例函数的图象在第二象限，
，
，
故答案为．
15．（2020•益阳）反比例函数的图象经过点，则 ．
【解答】解：反比例函数的图象经过点，
，解得．
故答案是：．
16．（2019•永州）如图，直线与双曲线交于，两点，过作直线轴，垂足为，则以为直径的圆与直线的交点坐标是 和 ．
【解答】解：由求得或，
，，
，
设的中点为，以为直径的与直线的交点为、，
过点作轴于，交于，连接，
是的中点，
，，
，
轴，垂足为，
轴，
，
，
在中，，
，．
以为直径的圆与直线的交点坐标是和，
故答案为和．
17．（2019•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，反比例函数的图象经过线段的中点，则 ．
【解答】解：如图：，是的中点，
同理
，
，，
代入得：
故答案为：
18．（2019•张家界）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点为坐标原点，顶点在轴的正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，已知菱形的周长是8，，则的值是 ．
【解答】解：过点作，垂足为，
又菱形的周长是8，
，
在中，，
，
，
把代入反比例函数得：，
故答案为：．
19．（2019•长沙）如图，函数为常数，的图象与过原点的的直线相交于，两点，点是第一象限内双曲线上的动点（点在点的左侧），直线分别交轴，轴于，两点，连接分别交轴，轴于点，．现有以下四个结论：
①与的面积相等；②若于点，则；③若点的横坐标为1，为等边三角形，则；④若，则．
其中正确的结论的序号是 ①③④ ．（只填序号）
【解答】解：①设点，，
则直线的解析式为，
，，，
，，
与的面积相等，故①正确；
反比例函数与正比例函数关于原点对称，
是的中点，
，
，
，
，，
，，
不一定等于，
不一定是，
不一定是．故②错误，
点的横坐标为1，
可以假设，
为等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，故③正确，
如图，作交于．
，
，
，
，
，
，
，
，
，故④正确．
故答案为①③④．
20．（2019•郴州）如图，点，分别是正比例函数的图象与反比例函数的图象的交点，过点作轴于点，过点作轴于点，则四边形的面积为 8 ．
【解答】解：、是两函数图象的交点，
、关于原点对称，
轴，轴，
，，
，
又反比例函数的图象上，
，
，
故答案为：8．
三．解答题（共9小题）
21．（2020•郴州）为了探索函数的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．
列表：
描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：
（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；
（2）已知点，，，在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：
若，则 ；若，则 ；
若，则 （填“”，“ ”或“” ．
（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元平方米，侧面造价为0.5千元平方米．设水池底面一边的长为米，水池总造价为千元．
①请写出与的函数关系式；
②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长应控制在什么范围内？
【解答】解：（1）函数图象如图所示：
（2）若，则；若，则，
若，则．
故答案为，，．
（3）①由题意，．
②由题意，
，
可得，
解得：，
水池底面一边的长应控制在的范围内．
22．（2020•株洲）如图所示，的顶点在反比例函数的图象上，直线交轴于点，且点的纵坐标为5，过点、分别作轴的垂线、，垂足分别为点、，且．
（1）若点为线段的中点，求的值；
（2）若为等腰直角三角形，，其面积小于3．
①求证：；
②把称为，，，两点间的“距离”，记为，求，，的值．
【解答】解：（1）点为线段的中点，，
，即：点坐标为，
又轴，，
，
．
（2）①在为等腰直角三角形中，，，
，
又轴，
，
，
在和中，
，
，
②解：设点坐标为，
，
，，
，
设直线解析式为：，将两点代入得：
则．
解得，．
当时，，，，符合；
，，，
当时，，，，不符，舍去；
综上所述：，，．
23．（2020•岳阳）如图，一次函数的图象与反比例函数为常数且的图象相交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将一次函数的图象沿轴向下平移个单位，使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，求的值．
【解答】解：（1）一次函数的图象与反比例函数为常数且的图象相交于，
，
，
反比例函数解析式为：；
（2）一次函数的图象沿轴向下平移个单位，
，
平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，
，
，
△，
解得或1，
答：的值为9或1．
24．（2020•湘潭）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，菱形的顶点的坐标为．
（1）求过点的反比例函数的解析式；
（2）连接，过点作交轴于点，求直线的解析式．
【解答】解：（1）过点作轴，过作轴，垂足分别为，，如图，
，
，，
，
四边形是菱形，
，轴，
，
，
．
设过点的反比例函数解析式为，
把点坐标代入得，，
反比例函数解析式为；
（2），
，
，
，
，
又，
，
，
，
解得，，
，
．
设所在直线解析式为，
把，分别代入，
得：，解得，，
直线的解析式为．
25．（2020•常德）已知一次函数的图象经过和两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若一次函数的图象与反比例函数的图象只有一个交点，求交点坐标．
【解答】解：（1）把，代入一次函数，得
，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）一次函数的图象与反比例函数的图象只有一个交点，
只有一组解，
即有两个相等的实数根，
△，
．
把代入求得该方程的解为：，
把代入得：，
即所求的交点坐标为．
26．（2019•湘潭）如图，在平面直角坐标系中，与轴的正半轴交于、两点，与轴的正半轴相切于点，连接、，已知半径为2，，双曲线经过圆心．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求直线的解析式．
【解答】解：（1）如图，过点作轴于，
，
切轴于，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
在中，，
，
双曲线经过圆心，
，
双曲线的解析式为；
（2）如图，过点，作直线，
由（1）知，四边形是矩形，
，，
，
在中，，，
，
，
，，
，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为．
27．（2019•湘西州）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，且．
（1）求函数和的解析式；
（2）结合图象直接写出不等式组的解集．
【解答】解：（1）把点代入反比例函数，可得，
反比例函数解析式为，
，
，
把点，代入一次函数，可得，
解得，
一次函数解析式为；
（2）不等式组的解集为：．
28．（2019•岳阳）如图，双曲线经过点，且与直线有两个不同的交点．
（1）求的值．
（2）求的取值范围．
【解答】解：（1）双曲线经过点，
；
（2）双曲线与直线有两个不同的交点，
，整理为：，
△，
，
的取值范围是．
29．（2019•株洲）如图所示，在平面直角坐标系中，等腰的边与反比例函数的图象相交于点，其中，点在轴的正半轴上，点的坐标为，过点作轴于点．
（1）已知一次函数的图象过点，，求该一次函数的表达式；
（2）若点是线段上的一点，满足，过点作轴于点，连结，记的面积为，设，
①用表示（不需要写出的取值范围）；
②当取最小值时，求的值．
【解答】解：（1）将点、的坐标代入一次函数表达式：得：，
解得：，
故一次函数表达式为：，
（2）①过点作，
则，
则，，
，则，则点，
设：，则，
在中，，
同理，
则，，
则点，，
，
②，有最小值，当时，
取得最小值，
而点，，
故：．
1
2
3
4
5
2
1
2
3
4
5
2