2023-2024学年上海市宝山区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市宝山区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )
A. 4aB. 2a3C. a2+1D. a−12
2.下列方程中，关于x的一元二次方程的是( )
A. x(x−5)=0B. ax2−3=0C. x2−1x=2D. 2x−x3=1
3.随着互联网购物急速增加，快递业逐渐成为我国发展最快的行业之一，某快递店十月份揽件5000件、十月、十一月、十二月合计揽件20000件，如果该快递店十一月、十二月月揽件量的增长率都是x，那么由题意可得方程( )
A. 50000(1+x)2=20000
B. 5000+5000(1+x)+5000(1+x)2=20000
C. 5000+5000×3x=20000
D. 5000+5000×2x=20000
4.直角三角形的两条直角边分别为1和2 2，那么它斜边上的中线长是( )
A. 12B. 2C. 3D. 32
5.已知反比例函数y=kx(k≠0)的图象有一支在第四象限，点P(m, 5)在正比例函数y=−kx的图象上，那么点P在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限．
6.下列命题中，逆命题是假命题的是( )
A. 两直线平行，内错角相等
B. 直角三角形的两个锐角互余
C. 关于某个点成中心对称的两个三角形全等
D. 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等
二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分。
7.计算： 8× 12=______．
8.函数y= x−1的定义域为______．
9.已知f(x)=2x+3，那么f(−1)= ______ ．
10.如果关于x的方程x2−4x+m=0有两个相等的实数根，那么m的值是______．
11.如果点A(2,1)是反比例函数y=kx图象上一点，那么k= ______ ．
12.已知y是x的正比例函数，当x=2时，y=3，那么当x= 3时，y= ______ ．
13.化简： ( 7−3)2=______．
14.在实数范围内分解因式：x2+4x+1= ______ ．
15.如图，射线lA、lB分别表示两个物体A和B所受压力F与受力面积S的函数关系，当受力面积相同时，它们所受的压力分别为FA、FB，则FA ______ FB.(填“>”、“<”或“=”)
16.已知等腰直角三角形斜边上的高为方程x2−5x−6=0的根，那么这个直角三角形斜边的长是______ ．
17.如图，四边形ABCD中，∠A=90°，∠ABD=∠DBC，AD=6，BC=8，那么△DBC的面积是______ ．
18.已知点D、E分别是等边△ABC边AB、AC上的动点，将△ADE沿直线DE翻折，使点A恰好落在边BC上的点P处，如果△BPD是直角三角形，且BP=2，那么EC的长是______ ．
三、解答题：本题共8小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算：(1− 2)2+4 3+1．
20.(本小题6分)
解方程：x(x−2)=7．
21.(本小题6分)
已知y=y1+y2，并且y1与(x−2)成正比例，y2与x成反比例，当x=−1时，y=3；当x=4时，y=74．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)求x=−1时的函数值．
22.(本小题6分)
如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分∠BAC．
23.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,6)、B(3,m)是反比例函数y=kx(x>0)的图象上的两点，联结AB．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)线段AB的垂直平分线交x轴于点P，求点P的坐标．
24.(本小题8分)
越来越多的人选择骑自行车这种低碳方便又健身的方式出行.某日，一位家住宝山的骑行爱好者打算骑行去上海蟠龙天地，记骑行时间为t小时，平均速度为v千米/小时(骑行速度不超过40千米/小时).根据以往的骑行经验，v、t的一些对应值如下表：
(1)根据表中的数据，求出平均速度v(千米/小时)关于行驶时间t(小时)的函数表达式；
(2)如果这位骑行爱好者上午8：30从家出发，能否在上午9：10之前到达上海蟠龙天地？请说明理由；
(3)若骑行到达上海蟠龙天地的行驶时间t满足0.8≤t≤1.6，求平均速度v的取值范围．
25.(本小题8分)
如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD是边AB上的中线，E是边BC上一点，F是边AC上一点，且DF⊥DE，联结EF．
(1)求证：AF=CE；
(2)如果AF=4，DF=3.求边AC的长．
26.(本小题10分)
如图，∠AOB=30°，C是射线OB上一点，且OC=2，D是射线OA上一点，联结CD，将△COD沿着直线CD翻折，得到△CDE．
(1)设OD=x，S△COD=y，求y与x的函数关系式；
(2)如果线段DE与射线OB有交点，设交点为G．
①直接写出OD的取值范围______ ；
②若△CEG是等腰三角形，求∠ODE的度数．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、 4a=2 a，不符合题意；
B、 2a3= 2a，不符合题意；
C、 a2+1是最简二次根式，符合题意；
D、 a−12= 2a−22，不符合题意；
故选：C．
根据最简二次根式的定义进行解题即可
本题考查最简二次根式，掌握化简最简二次根式的方法是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A.方程x(x−5)=0是一元二次方程，故本选项符合题意；
B.当a=0时，ax2−3=0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C.方程x2−1x=2是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D.方程2x−x3=1，未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：A．
根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可求解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：设该快递店十一月、十二月月揽件量的增长率都是x，由题意可得方程：
5000+5000(1+x)+5000(1+x)2=20000．
故选：B．
设该快递店十一月、十二月月揽件量的增长率都是x，关系式为：三个月总揽件数=十月揽件数+十一月揽件数+揽件数×(1+揽件平均增长率)2，把相关数值代入即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．
4.【答案】D
【解析】解：∵直角三角形的两条直角边分别为1和2 2，
∴斜边长= 12+(2 2)2=3，
∴它斜边上的中线长是12×3=32，
故选：D．
根据勾股定理求出斜边长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可．
本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键
5.【答案】A
【解析】解：∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象有一支在第四象限，
∴k<0，
∴−k>0，
∴正比例函数y=−kx的图象经过一、三象限，
∵点P(m, 5)在正比例函数y=−kx的图象上，
∴点P在第一象限．
故选：A．
先根据反比例函数y=kx(k≠0)的图象有一支在第四象限判断出k的符号，再由一次函数图象上点的坐标特征解答即可．
本题考查的是反比例函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征，熟知函数图象与系数的关系是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：A、两直线平行，内错角相等，逆命题是内错角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意；
B、直角三角形的两个锐角互余，逆命题是有两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，不符合题意；
C、关于某个点成中心对称的两个三角形全等，逆命题是两个全等三角形关于某个点成中心对称，是假命题，符合题意；
D、线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等，逆命题是到线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直平分线上，是真命题，不符合题意；
故选：C．
关键逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据平行线的判定、直角三角形的判定、中心对称、线段垂直平分线的判定定理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7.【答案】2
【解析】【分析】
本题主要考查了二次根式的乘法运算，在解题时要能根据二次根式的乘法法则，求出正确答案是本题的关键．
直接根据二次根式的乘法法则进行计算即可求出结果．
【解答】
解： 8× 12
= 8×12
= 4
=2．
故答案为2．
8.【答案】x≥1
【解析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
解：根据题意得：x−1≥0，
解得：x≥1．
故答案为x≥1．
本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
9.【答案】1
【解析】解：∵f(x)=2x+3，
∴f(−1)=2−1+3=1．
故答案为：1．
将x=−1代入该函数解析式进行计算可得此题结果．
本题考查求函数值，理解题中函数关系式是解答的关键．
10.【答案】4
【解析】解：依题意，
∵方程x2−4x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=b2−4ac=(−4)2−4m=0，解得m=4，
故答案为：4．
一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式△=b2−4ac=0，即可求m值．
此题主要考查的是一元二次方程的根判别式，当△=b2−4ac=0时，方程有两个相等的实根，当△=b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实根，当△=b2−4ac<0时，方程无实数根．
11.【答案】2
【解析】解：∵点A(2,1)是反比例函数y=kx图象上一点，
∴1=k2，
∴k=2，
故答案为：2．
把A(2,1)代入函数y=kx中即可求出k的值．
本题考查了待定系数法求解反比例函数解析式，此为近几年中考的热点问题，同学们要熟练掌握．
12.【答案】3 32
【解析】解：设正比例函数的解析式为y=kx(k≠0)，
∵当x=2时，y=3，
∴3=2k，
解得：k=32，
∴正比例函数的解析式为y=32x.
当x= 3时，y=32× 3=3 32．
故答案为：3 32．
设正比例函数的解析式为y=kx(k≠0)，由当x=2时，y=3，可求出k值，进而可得出正比例函数解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出当x= 3时y的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征，求出正比例函数解析式是解题的关键．
13.【答案】3− 7
【解析】解：∵ 7<3，即 7−3<0，
∴ ( 7−3)2=3− 7．
此题考查二次根式的化简 a2=a(a≥0)−a(a<0)．
主要考查了根据二次根式的意义化简．
二次根式 a2规律总结：当a≥0时， a2=a；当a≤0时， a2=−a．
14.【答案】(x+2+ 3)(x+2− 3)
【解析】解：x2+4x+1，
=x2+4x+4−3，
=(x+2)2−( 3)2，
=(x+2+ 3)(x+2− 3).
故答案为：(x+2+ 3)(x+2− 3).
根据完全平方公式配方，然后再把3写成( 3)2利用平方差公式继续分解因式．
本题考查了实数范围内因式分解，主要利用了完全平方公式以及平方差公式，把3写成( 3)2的形式是解题的关键．
15.【答案】>
【解析】解：由图象知受力面积相同时，压力FA>FB，
故答案为：>．
根据图象可知，当受力面积S相同时，压力FA>FB．
本题考查了一次函数的应用，关键是理解函数图象．
16.【答案】12
【解析】解：方程x2−5x−6=0，
(x−6)(x+1)=0，
解得：x=6或x=−1(舍去)，
∴等腰直角三角形斜边上的高为6，即为斜边上的中线，
则这个直角三角形斜边的边长为12．
故答案为：12．
求出已知方程的解，确定出等腰直角三角形斜边上的高，利用三线合一得到此高为斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出斜边的长．
此题考查了解一元二次方程−因式分解法，等腰三角形的性质，以及直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握性质是解本题的关键．
17.【答案】24
【解析】解：过D作DH⊥BC于H，
∵∠A=90°，∠ABD=∠DBC，
∴DH=DA=6，
∵BC=8，
∴△DBC的面积=12BC⋅DH=12×6×8=24．
给答案为：24．
过D作DH⊥BC于H，由角平分线的性质得到DH=DA=6，而BC=8，即可求出△DBC的面积．
本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到DH=DA=6．
18.【答案】 3+1或2 3−2
【解析】解：如图1，△BPD是直角三角形，且∠BPD=90°，
∵△ABC是等边三角形，BP=2，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴∠BDP=30°，
∴BD=2BP=4，
∴PD= BD2−BP2= 42−22=2 3，
由翻折得AD=PD=2 3，∠A=∠DPE=60°，
∴BC=AB=AD+BD=2 3+4，∠CPE=180°−∠BPD−∠DPE=30°，
∴CP=BC−BP=2 3+4−2=2 3+2，∠CEP=180°−∠C−∠CPE=90°，
∴EC=12CP=12×(2 3+2)= 3+1；
如图2，△BPD是直角三角形，且∠BDP=90°，则∠BPD=30°，
∴BD=12BP=1，
∴AD=PD= BP2−BD2= 22−12= 3，
∴BC=AB=BD+AD=1+ 3，
∴CP=BC−BP=1+ 3−2= 3−1，
∵∠CPE=180°−∠BPD−∠DPE=90°，
∴∠CEP=30°，
∴EC=2CP=2×( 3−1)=2 3−2，
故答案为： 3+1或2 3−2．
分两种情况讨论，一是∠BPD=90°，由等边三角形的性质得∠A=∠B=∠C=60°，所以∠BDP=30°，则BD=2BP=4，由勾股定理得PD= BD2−BP2=2 3，由翻折得AD=PD=2 3，∠A=∠DPE=60°，则BC=AB=2 3+4，∠CPE=30°，所以CP=2 3+2，∠CEP=90°，则EC=12CP= 3+1；二是∠BDP=90°，则∠BPD=30°，所以BD=12BP=1，则AD=PD= BP2−BD2= 3，所以BC=1+ 3，则CP= 3−1，再证明∠CPE=90°，则∠CEP=30°，所以EC=2CP=2 3−2，于是得到问题的答案．
此题重点考查等边三角形的性质、轴对称的性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地求出CP的长是解题的关键．
19.【答案】解：原式=1−2 2+2+4( 3−1)2
=1−2 2+2+2 3−2
=1−2 2+2 3．
【解析】先根据完全平方公式计算，然后进行分母有理化后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
20.【答案】解：x(x−2)=7，
x2−2x=7，
x2−2x+1=7+1，即(x−1)2=8，
∴x−1=±2 2，
∴x1=1+2 2，x2=1−2 2．
【解析】利用配方法求解即可．
本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
21.【答案】解：(1)设y1=m(x−2)，y2=nx，
则y=m(x−2)+nx，
根据题意，得：−3m−n=32m+n4=74，
解得：m=2n=−9，
∴y=2x−4−9x；
(2)当x=−1时，y=−2−4+9=3．
【解析】(1)根据正比例和反比例函数的定义设表达式，再根据给出自变量和函数的对应值求出待定的系数则可；
(2)将x=−1代入(1)中求值即可．
此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，设出解析式是解题的关键一步．
22.【答案】证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠BFD=∠CED=90°．
在△BDF与△CDE中，
∠BFD=∠CED,∠BDF=∠CDE,BD=CD,
∴△BDF≌△CDE(AAS)．
∴DF=DE，
∴AD平分∠BAC．
【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及到角两边距离相等的点在角平分线上等知识．发现并利用△BDF≌△CDE是正确解答本题的关键．
要证AD平分∠BAC，只需证DF=DE.可通过证△BDF≌△CDE(AAS)来实现．
根据已知条件，利用AAS可直接证明△BDF≌△CDE，从而可得出AD平分∠BAC．
23.【答案】解：(1)A(1,6)是反比例函数y=kx(x>0)的图象上的点，
∴k=1×6=6，
∴反比例函数的解析式为y=6x；
(2)把B(3,m)代入y=6x得，m=63=2，
∴B(3,2)，
设P点的坐标为(x,0)，
∵线段AB的垂直平分线交x轴于点P，
∴PA=PB，
∴(x−1)2+62=(x−3)2+22，
解得x=−6，
∴点P的坐标为(−6,0)．
【解析】(1)利用待定系数法求得即可；
(2)由反比例函数的解析式求得点B的坐标，设P点的坐标为(x,0)，根据垂直平分线的性质得出PA=PB，即可得出(x−1)2+62=(x−3)2+22，解方程即可．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，线段垂直平分线的性质，熟练掌握待定系数法已经线段垂直平分线的性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)根据表中数据可知，vt=30，
∴v=30t，
∴平均速度v(千米/小时)关于行驶时间t(小时)的函数表达式v=30t；
(2)骑行者在上午9：10之前不能到达上海蟠龙天地，理由：
∵从上午8：30到上午9：10，骑行者用时40分钟，即23小时，
当t=23时，v=3023=45(千米/小时)，
∵骑行速度不超过40千米/小时，
∴骑行者在上午9：10之前不能到达上海蟠龙天地；
(3)∵t=30v，
∴当0.8≤t≤1.6时，0.8≤30v≤1.6，
解得18.75≤v≤37.5，
∴平均速度v的取值范围为18.75≤v≤37.5．
【解析】(1)由表中数据可得vt=30，从而得出结论；
(2)把t=23代入(1)中解析式，求出v，从而得出结论；
(3)根据t=30v和t的取值范围得出结论．
本题考查反比例函数的应用，关键是求出反比例函数解析式．
25.【答案】(1)证明：∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∵CD是边AB上的中线，
∴CD=12AB=AD，∠DCE=12∠ACB=45°，CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，∠A=∠DCE，
∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°=∠CDA，
∴∠CDA−∠CDF=∠EDF−∠CDF，
即∠ADF=∠CDE，
在△ADF和△CDE中，
∠A=∠DCEAD=CD∠ADF=∠CDE，
∴△ADF≌△CDE(ASA)，
∴AF=CE；
(2)解：由(1)可知，△ADF≌△CDE，
∴AF=CE=4，DF=DE=3，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴EF= 2DE=3 2，
∴CF= EF2−CE2= (3 2)2−42= 2，
∴AC=AF+CF=4+ 2，
即边AC的长为4+ 2．
【解析】(1)证△ADF≌△CDE(ASA)，即可得出结论；
(2)由全等三角形的性质得AF=CE=4，DF=DE=3，则△DEF是等腰直角三角形，得EF= 2DE=3 2，再由勾股定理求出CF的长，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
26.【答案】OD≥4 33
【解析】解：(1)如图，过点C作CH⊥OA于H，
∵∠AOB=30°，
∴CH=12OC=1，
∵S△COD=y=12×OD⋅CH，
∴y=12x；
(2)①如图：当点E落在OB上时，
∵将△COD沿着直线CD翻折，
∴OC=CE，OD=DE，∠AOB=∠DEC=30°，
∴DC⊥OB，
∵∠AOB=30°，
∴DC=OC 3=2 33，OD=2CD=4 33，
∴当OD≥4 33时，线段DE与射线OB有交点，
故答案为：OD≥4 33；
②当CG=GE时，∠GCE=∠DEC=30°，
∴∠DGO=60°，
∴∠ODE=90°；
当CE=GE时，∠CGE=75°，
∴∠ODE=∠CGE−∠AOB=45°，
当CG=CE时，∠CGE=∠CEG=30°不合题意舍去，
综上所述：∠ODE的度数为90°或45°．
(1)由直角三角形的性质可求CH=1，由三角形的面积公式可求解；
(2)①求出DE与OB的交点为E时，OD的值，即可求解；
②分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．
本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．v(千米/小时)
15
20
25
30
t(小时)
2
1.5
1.2
1